重心運動と相対運動のエネルギーの演習

考え方 速度の大きさを平均せず，成分ごとに質量を重みとして平均する．相対速さは2つの速さの差ではない．

1. $M=3.0\mathrm{kg}$ なので $\mathit{V}=(2.0,2.0)\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$．${\mathit{v}}_{\mathrm{rel}}=(3.0,-6.0)\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ で，速さの2乗はそれぞれ $8.0$，$45$ である．

2. $\mu =2.0/3.0\mathrm{kg}$ より $K_{\mathrm{G}}=\frac{1}{2}\cdot 3.0\cdot 8.0=12\mathrm{J}$，$K_{\mathrm{rel}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot 45=15\mathrm{J}$．和は $27\mathrm{J}$ である．直接には $\frac{1}{2}\cdot 2.0\cdot {3.0}^2+\frac{1}{2}\cdot 1.0\cdot {6.0}^2=9.0+18=27\mathrm{J}$ となり一致する．質量と速さの2乗の積なので，どちらもエネルギーの次元をもつ．

考え方 同じ速度を両物体から引いても相対速度は変わらない．外力がないので，どの等速の観測者にも重心速度は衝突前後で一定である．

1. $V=\{3m(2u)+m(-2u)\}/(4m)=u$．初めは $K_{\text{前}}=8m{u}^2$，一体となった後は $K_{\text{後}}=\frac{1}{2}(4m)u^2=2m{u}^2$ で，損失は $6m{u}^2$．これは $\mu =3m/4$，$v_{\mathrm{rel}}=4u$ として求めた $\frac{1}{2}\mu v_{\mathrm{rel}}^2$ と等しい．

2. 観測者から見た速度はAが $+u$，Bが $-3u$．初めのエネルギーは $\frac{1}{2}(3m)u^2+\frac{1}{2}m(3u{)}^2=6m{u}^2$．合体後は静止するので0である．損失はやはり $6m{u}^2$ で，地面でのエネルギーとの差 $2m{u}^2$ は重心運動の分に当たる．全運動エネルギー自体の値は変わっても，この衝突での減少量は変わらない．

考え方 重心の速さが不明でも，損失は相対運動のエネルギーだけから決まる．ただし，実験室系の個々の速度には重心速度が要る．

1. $\mu =(2.0\times 6.0)/8.0=1.5\mathrm{kg}$．初めの相対運動のエネルギーは $\frac{1}{2}\cdot 1.5\cdot {4.0}^2=12\mathrm{J}$ なので $9.0=12(1-e^2)$．よって $e=0.50$，離れる相対速さは $2.0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ である．残る相対運動のエネルギーは $3.0\mathrm{J}$ で，初めの4分の1となる．

2. 決められない．質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体が左にあり，初めの相対速度を正に取ると，衝突後の速度は $V-1.5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$，$V+0.50\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ である．未知の $V$ が残る．損失が相対運動のエネルギー $12\mathrm{J}$ を超える測定なら，このモデルとは両立しないことも分かる．

考え方 距離が最小になる瞬間は，相対速度が0になる．実験室系で両粒子が止まるわけではない．

1. $\mu =3m/4$ なので相対運動の全エネルギーは $E_{\mathrm{rel}}=3m{u}^2/8$．最接近距離を $r_{min}$ として $C/r_{min}^2=3m{u}^2/8$ より

である．$C$ の次元はエネルギーと長さの2乗の積なので，右辺は長さになる．

2. 相対速度が0で重心速度が $V$ だから，両粒子とも速度 $V$．全運動エネルギーは $\frac{1}{2}(4m)V^2=2m{V}^2$ で，初めの相対運動の分だけが $U$ に移る．

3. 変わらない．重心運動のエネルギーは4倍になるが，相対運動の保存式に $V$ は現れない．一方，$u$ を2倍にすれば $r_{min}$ は半分となり，より深く斥力の領域へ入れる．

考え方 質量の逆比で配分されるのは重心系の運動エネルギーである．地面に戻すときは各速度に $U$ を足す．

1. 重心系でAの速さを $a$ とするとBは $a/3$．したがって $Q=\frac{1}{2}m{a}^2+\frac{1}{2}(3m)(a/3{)}^2=2m{a}^2/3$ より $a=\sqrt{3Q/(2m)}$，Bの速さは $\sqrt{Q/(6m)}$．エネルギーはAが $3Q/4$，Bが $Q/4$ で，比は $3:1$ となる．

2. 地面でのAの速度は $U-a$．これが負となる条件は $Q>2m{U}^2/3$．等号ならAは静止し，小さければ重心系で後方に飛んでも地面では前へ進む．

3. 常に逆比にはならない．例えば等号の場合，Aのエネルギーは0，Bの速度は $4U/3$ である．合計は $\frac{1}{2}(3m)(4U/3{)}^2=8m{U}^2/3$，初めの $2m{U}^2$ に $Q=2m{U}^2/3$ を足した値に一致する．