仕事とエネルギー

ニュートンダイアグラム

著者：柚木芹香

問い

ビリヤードで，止まっている的球に同じ質量の手球を斜めに当てると，2つの球はほぼ直角に分かれて進みます．式を追わずに，作図1つでこの直角を「見て分かる」ようにできないでしょうか．

考えてみる

質量 $m$ の手球が速度 $v_{1}$ で進み，静止した質量 $m$ の的球に弾性衝突するとします．衝突後の速度を $v_{1 後}$ ， $v_{2 後}$ （第5章の $u_{1}$ ， $u_{2}$ ）とすると，運動量保存とエネルギー保存から

v_{1} = v_{1 後} + v_{2 後}, v_{1}^{2} = v_{1 後}^{2} + v_{2 後}^{2}

です．上の式を2乗して下の式と比べると $v_{1 後} \cdot v_{2 後} = 0$ ，つまり直角です．

ただし，この手は等質量の弾性衝突に限ります．未知数は速度の成分4つなのに式は3つで，1つ足りません．その1つが何かを，質量や反発係数と一緒に見渡せる地図があります．

速度の地図

各物体の速度ベクトルを共通の原点 $O$ から描き，矢印の先端に点を打つと，平面は速度空間になります． $v_{1}$ ， $v_{2}$ の先端を $A_{1}$ ， $A_{2}$ とすると，相対速度 $v_{rel} = v_{1} - v_{2}$ は $A_{2}$ から $A_{1}$ へ向かう矢印です．完成した地図を先に動かしてみましょう．

［図：動くニュートンダイアグラム］

初期状態は質量比2，χ=100°，k=1，反対向きの入射速度の衝突後を示す．質量比，散乱角，相対速さの比，入射方向を変更できる．再生すると上の接近・衝突・分離と，下のGからの矢印の回転・縮小が同期する．

重心の速度 $V$ の先端を G とします． $v_{1} - V = \frac{m_{2}}{M} v_{rel}$ （ $M = m_{1} + m_{2}$ ）なので，G は $A_{1}$ から $A_{2}$ へ向かって線分の $m_{2} / M$ の所にあります．

定理速度空間での重心

G は線分 $A_{1} A_{2}$ を $m_{2} : m_{1}$ に内分する点である（重い方の点に近い）．
G から $A_{1}$ ， $A_{2}$ へ向かう矢印が，重心系の速度 $v_{1}^{'}$ ， $v_{2}^{'}$ である．逆向きで，長さは $\frac{m_{2}}{M} v_{rel}$ ， $\frac{m_{1}}{M} v_{rel}$ である．

**［図：速度空間での重心］**
m₁=2m₂の例．A₁G:GA₂=1:2で，Gからの矢印は互いに逆向きになる．

衝突で G は動かない

衝突の力は内力だけで，全運動量 $M V$ は変わりません．G は動きません．衝突後の速度の先端を $B_{1}$ ， $B_{2}$ とすると， $V = \frac{m_{1} v_{1 後} + m_{2} v_{2 後}}{M}$ も同じ G を指すので，G は線分 $B_{1} B_{2}$ も $m_{2} : m_{1}$ に内分します．運動量保存則は，この作図の約束そのものです．

弾性衝突は2つの円の上

前の題材で見たように，運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ と分かれます．弾性衝突では $K$ も $V$ も変わらないので，相対運動のエネルギーが変わらず， $v_{rel}$ も，G から各点までの距離も変わりません．

定理弾性衝突のニュートンダイアグラム

$B_{1}$ は G を中心に $A_{1}$ を通る円， $B_{2}$ は G を中心に $A_{2}$ を通る円の上にある．
G， $B_{1}$ ， $B_{2}$ は一直線上で，G は $B_{1}$ と $B_{2}$ の間にある．

衝突後の相対速度を $w$ とすると，弾性衝突では $| w | = v_{rel}$ で，

v_{1 後} = V + \frac{m_{2}}{M} w, v_{2 後} = V - \frac{m_{1}}{M} w

です． $w$ は $v_{rel}$ を回したものにすぎません．

**［図：弾性衝突の2つの円］**
m₁=2m₂の弾性衝突．Gを中心とする円上にB₁，B₂があり，両点とGは一直線上に並ぶ．

決まらないのは $χ$ だけ

未知数4つに保存則3つ．足りない1つが， $B_{1}$ が円周上のどこにあるかを表す角 $χ = ∠ A_{1} G B_{1}$ （重心系での散乱角）です． $χ$ は力の詳細（どこに当たったか）で決まり，正面衝突は $χ = 180^{\circ}$ ，かすめるだけなら $χ \approx 0$ です．

非弾性衝突は円が縮む

非弾性衝突でも G は動かず， $B_{1}$ ， $B_{2}$ は G をはさんで同じ比で並びます．違うのは，円の内側に入ることだけです．衝突後の相対速さが $k$ 倍（ $0 \leq k \leq 1$ ）なら， $w$ を「 $v_{rel}$ を $χ$ 回して $k$ 倍したもの」として上の式を使え，2つの円が同じ比 $k$ で縮みます．正面衝突では $k = e$ で，斜めの衝突では $k$ は $e$ と 1 の間です（法線成分だけが $e$ 倍になるため）．完全非弾性衝突は $k = 0$ で， $B_{1} = B_{2} = G$ ．失われる運動エネルギーは $\frac{1}{2} μ (1 - k^{2}) v_{rel}^{2}$ です．

**［図：非弾性衝突で縮む円］**
破線は衝突前の円，実線はk=0.55倍の円．k=0ではB₁とB₂がGに重なる．

問いの答え

静止した的は $A_{2} = O$ で，等質量なら G は ${OA}_{1}$ の中点です．2つの円は半径も中心も同じで，1つの円になり，O と $A_{1}$ を通ります． $B_{1} B_{2}$ はその直径で，O も円の上にあるので，タレスの定理（直径に対する円周角は $90^{\circ}$ ）から $∠ B_{1} O B_{2} = 90^{\circ}$ です．これが2つの速度のなす角です．ただし， $χ = 0$ または $180^{\circ}$ では一方の速さが0となり，その速度の方向と2つの速度のなす角は定まりません．反発が弱いと O は縮んだ円の外に出て，角は $90^{\circ}$ より少し小さくなります．

**［図：等質量の直角散乱］**
Oを通る1つの円と，異なるχの2本の直径．どちらもOから両端への矢印は直角になる．

ポイントニュートンダイアグラムの描き方

原点 O から $v_{1}$ ， $v_{2}$ を描き，先端を $A_{1}$ ， $A_{2}$ とする．
線分 $A_{1} A_{2}$ を $m_{2} : m_{1}$ に内分する G を打つ．OG が $V$ である．
G を中心に， $A_{1}$ を通る円と $A_{2}$ を通る円を描く（非弾性なら $k$ 倍に縮める）．
$χ$ を与え， $B_{1}$ を円周上に， $B_{2}$ を G の反対側に打つ（G， $B_{1}$ ， $B_{2}$ は一直線）．
O から $B_{1}$ ， $B_{2}$ への矢印が衝突後の速度である．長さが速さ，向きが進む向きである．

**［図：ニュートンダイアグラムの作図手順］**
速度とG，2つの円，衝突後の先端，Oからの速度矢印の順に描き加える．

ポイントここまでのまとめ

速度空間で，G は $A_{1} A_{2}$ を $m_{2} : m_{1}$ に内分する．G から見ると重心系の速度になる．
運動量保存より G は衝突で動かず， $B_{1} B_{2}$ も G で $m_{2} : m_{1}$ に内分される．
弾性衝突では $B_{1}$ ， $B_{2}$ は G を中心とする2つの円の上にあり，決まらないのは $χ$ だけである．非弾性では円が $k$ 倍に縮み，完全非弾性では G に集まる．
問いの答え：等質量・静止した的への弾性衝突では円が1つで O がその上にあるので，タレスの定理から速度は直角になる．