仕事とエネルギー

ニュートンダイアグラムの計算

著者：柚木芹香

この節では，作図に使う数学の道具を確かめ，数値を与えてニュートンダイアグラムを描き，衝突後の速度を読みます．

定理数学の道具：内分点，タレスの定理，余弦定理・正弦定理

内分点　速度空間では，点の位置ベクトルがそのまま速度である．線分 $AB$ （位置ベクトル $a$ ， $b$ ）を $s : t$ に内分する点 $X$ は， $x = a + \frac{s}{s + t} (b - a)$ すなわち

x = \frac{t a + s b}{s + t}

である．重心 $V = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ は $t = m_{1}$ ， $s = m_{2}$ の場合で， $A_{1} G : G A_{2} = m_{2} : m_{1}$ ，重い方の点に寄る．

タレスの定理　円の直径 $AB$ と円周上の点 $X$ について $∠ AXB = 90^{\circ}$ ．中心を C とすると $CA = CB = CX$ で，三角形 $CAX$ ， $CBX$ は二等辺三角形．底角を $α$ ， $β$ とすると，三角形 $ABX$ の内角の和 $2 α + 2 β = 180^{\circ}$ から $∠ AXB = α + β = 90^{\circ}$ である．円周角の定理（円周角は中心角の半分）の，中心角が $180^{\circ}$ の場合にあたる．

余弦定理・正弦定理　三角形 $OGB$ で $OG = V$ ， $GB = r$ ， $∠ OGB = γ$ ， $θ = ∠ GOB$ とする． $\vec{OB} = \vec{OG} + \vec{GB}$ で，2つのベクトルのなす角は $180^{\circ} - γ$ だから

{OB}^{2} = V^{2} + r^{2} + 2 V r \cos (180^{\circ} - γ) = V^{2} + r^{2} - 2 V r \cos γ, \frac{r}{\sin θ} = \frac{OB}{\sin γ}

である（B から直線 OG へ下ろした垂線の長さを $r \sin γ$ と $OB \sin θ$ の2通りに書くと，右の式が出る）．速度空間では，OB が速さ， $θ$ が向きを表す．

練習 1．

$m_{1} = 1.0 kg$ ， $m_{2} = 3.0 kg$ ， $v_{1} = (8.0, 0) m s^{- 1}$ ， $v_{2} = (0, 4.0) m s^{- 1}$ のとき，G の座標と $A_{1} G : G A_{2}$ を求めよ．
$OG = 5.0$ ， $GB = 3.0$ ， $γ = 60^{\circ}$ のとき， $OB$ と $θ$ を求めよ．

答え：(1) $V = \frac{1.0 \cdot (8.0, 0) + 3.0 \cdot (0, 4.0)}{4.0} = (2.0, 3.0)$ ． $A_{1} G = \sqrt{45}$ ， $G A_{2} = \sqrt{5}$ で，比は $3 : 1 = m_{2} : m_{1}$ ．　(2) ${OB}^{2} = 25 + 9 - 15 = 19$ より $OB \approx 4.4$ ． $\sin θ = \frac{3 \sin 60^{\circ}}{\sqrt{19}} \approx 0.60$ ． $GB < OG$ で $θ$ は鋭角だから $θ \approx 37^{\circ}$ ．

練習 2． (1) 2辺の長さが $3.0$ と $5.0$ で，その間の角が $120^{\circ}$ の三角形の残りの辺の長さを求めよ．(2) この三角形で，長さ $3.0$ の辺に向かい合う角を正弦定理で求めよ．

答え：(1) 余弦定理で $c^{2} = 9.0 + 25 - 2 \times 3.0 \times 5.0 \cos 120^{\circ} = 49$ ， $c = 7.0$ ．(2) $\sin α = \frac{3.0 \sin 120^{\circ}}{7.0} \approx 0.37$ ．最大の角が $120^{\circ}$ なので $α$ は鋭角で， $α \approx 22^{\circ}$ ．

**［図：作図の数学の道具］**
ABの内分点X，直径ABに対する円周角，三角形OGBの辺V，rと角γ，θを示す．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面上で，質量 $2.0 kg$ の球Aが速さ $6.0 m s^{- 1}$ で，静止した質量 $1.0 kg$ の球Bに弾性衝突する．重心系での散乱角が $χ = 90^{\circ}$ のとき，ニュートンダイアグラムを描いて，衝突後のAとBの速さと，Aの元の進行方向に対する向きを求めよ．

**［図：例題1の作図の出発点］**
O=A₂とA₁=(6.0,0)のみを与え，Gと円は読者が描く．

解答を見る

考え方 進行方向を x 軸に取り， $A_{1} = (6.0, 0)$ ， $A_{2} = O$ とする．G と2つの円を描き，三角形で読む．

$V = \frac{2.0}{3.0} \times 6.0 = 4.0 m s^{- 1}$ ，G は $(4.0, 0)$ ． $v_{rel} = 6.0$ で，円の半径は A 側が $\frac{1.0}{3.0} \times 6.0 = 2.0$ ，B 側が $\frac{2.0}{3.0} \times 6.0 = 4.0$ （O を通る）． $χ = 90^{\circ}$ なので， $B_{1}$ は G の真上 $2.0$ ， $B_{2}$ は G をはさんで真下 $4.0$ の点である．

三角形 ${OGB}_{1}$ （ $OG = 4.0$ ， ${GB}_{1} = 2.0$ ，直角）から

v_{A 後} = \sqrt{{4.0}^{2} + {2.0}^{2}} \approx 4.5 m s^{- 1}, \tan θ = \frac{2.0}{4.0} ⟹ θ \approx 27^{\circ}

三角形 ${OGB}_{2}$ （ $OG = {GB}_{2} = 4.0$ ，直角）から

v_{B 後} = 4.0 \sqrt{2} \approx 5.7 m s^{- 1}, φ = 45^{\circ}

である．Aは上向き $27^{\circ}$ ，Bは下向き $45^{\circ}$ に進む．

確かめ：成分は $(4.0, 2.0)$ ， $(4.0, - 4.0)$ で，運動量 $(12, 0)$ と運動エネルギー $36 J$ が衝突前と一致する．

**［図：例題1の完成図］**
G=(4.0,0)，半径2.0と4.0の円．B₁=(4.0,2.0)，B₂=(4.0,−4.0)をOから読む．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面上で，質量 $1.0 kg$ の円板A，Bが衝突する．衝突前の速度は A が $(4.0, 0) m s^{- 1}$ ，B が $(0, 3.0) m s^{- 1}$ である．

**［図：直交する入射速度］**
Aは右へ4.0 m s⁻¹，Bは上へ3.0 m s⁻¹で衝突する直前．衝突後は描かない．

衝突でくっついて一体になるとき，衝突後の速度と，失われる運動エネルギーを求めよ．
衝突後の相対速さが衝突前の $0.6$ 倍で，散乱角が $χ = 90^{\circ}$ （相対速度を反時計回りに回す向き）のとき，衝突後のAとBの速さと向き，失われるエネルギーを求めよ．

解答を見る

考え方 速度空間に $A_{1} = (4.0, 0)$ ， $A_{2} = (0, 3.0)$ を打つ．等質量なので G は中点 $(2.0, 1.5)$ である． $v_{rel} = (4.0, - 3.0)$ ， $v_{rel} = 5.0 m s^{- 1}$ ， $μ = 0.50 kg$ ．

$B_{1} = B_{2} = G$ なので，速度は $V = (2.0, 1.5)$ ，速さ $2.5 m s^{- 1}$ ，x 軸から $37^{\circ}$ 上向きである．失われるエネルギーは

\frac{1}{2} μ v_{rel}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0.50 \cdot {5.0}^{2} \approx 6.3 J

で，初めの運動エネルギー $12.5 J$ の半分である．

$v_{rel}$ を反時計回りに $90^{\circ}$ 回すと $(3.0, 4.0)$ ， $0.6$ 倍して $w = (1.8, 2.4)$ ．等質量なので $\frac{m_{2}}{M} = \frac{m_{1}}{M} = \frac{1}{2}$ で

v_{A 後} = V + \frac{1}{2} w = (2.9, 2.7), v_{B 後} = V - \frac{1}{2} w = (1.1, 0.3)

Aの速さは $\sqrt{{2.9}^{2} + {2.7}^{2}} \approx 4.0 m s^{- 1}$ ，向きは x 軸から $43^{\circ}$ ．Bの速さは $\sqrt{{1.1}^{2} + {0.3}^{2}} \approx 1.1 m s^{- 1}$ ，向きは $15^{\circ}$ である．失われるエネルギーは

\frac{1}{2} μ (1 - {0.6}^{2}) v_{rel}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 0.50 \cdot 0.64 \cdot 25 = 4.0 J

である（衝突後の運動エネルギーは $8.5 J$ ）．

**［図：例題2の縮小する円］**
G=(2.0,1.5)を中心とする半径2.5の円が1.5へ縮み，B₁=(2.9,2.7)，B₂=(1.1,0.3)となる．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

なめらかな水平面上で，質量 $1.0 kg$ の球Aが速さ $8.0 m s^{- 1}$ で，静止した質量 $3.0 kg$ の球Bに弾性衝突した．衝突後，Bは Aの元の進行方向から $60^{\circ}$ の向きに飛び出した．衝突後のAとBの速さ，Aの進む向き，重心系での散乱角 $χ$ を求めよ．

**［図：的の反跳方向の観測］**
Aが右へ8.0 m s⁻¹で入射し，Bの反跳方向は下へ60°と観測された．Aの方向と両球の速さは未記入．

解答を見る

考え方 Bは静止していたので，Bの円は O を通る．タレスの定理でBの速さが決まり，G が $B_{1} B_{2}$ を $3 : 1$ に内分することでAが決まる．

進行方向を x 軸に取る． $V = \frac{1.0}{4.0} \times 8.0 = 2.0$ ，G は $(2.0, 0)$ ．円の半径は A 側が $6.0$ ，B 側が $2.0$ ．B 側の円は O を通り，その直径の O と反対の端を $D = (4.0, 0)$ とする．

Bの速さ：タレスの定理で $∠ {OB}_{2} D = 90^{\circ}$ ，また $∠ B_{2} OD = 60^{\circ}$ だから

v_{B 後} = {OB}_{2} = OD \cos 60^{\circ} = 4.0 \times 0.50 = 2.0 m s^{- 1}

$B_{2} = 2.0 (\cos 60^{\circ}, - \sin 60^{\circ}) \approx (1.0, - 1.73)$ である．

Aの速度： $B_{1} G : G B_{2} = 3 : 1$ なので $B_{1} = G + 3 (G - B_{2}) \approx (5.0, 5.2)$ ．

v_{A 後} = \sqrt{{5.0}^{2} + {5.2}^{2}} \approx 7.2 m s^{- 1}, \tan θ = \frac{5.2}{5.0} ⟹ θ \approx 46^{\circ}

Aは上向き $46^{\circ}$ に進む．

散乱角：三角形 ${OGB}_{2}$ は $GO = {GB}_{2}$ の二等辺三角形で底角が $60^{\circ}$ だから $∠ {OGB}_{2} = 60^{\circ}$ ．G から O への向きは $A_{1}$ への向きの反対， $B_{2}$ は $B_{1}$ の反対側なので， $χ = ∠ {OGB}_{2} = 60^{\circ}$ である．

確かめ：三角形 ${OGB}_{1}$ （ $OG = 2.0$ ， ${GB}_{1} = 6.0$ ， $γ = 120^{\circ}$ ）に余弦定理を使うと ${OB}_{1}^{2} = 4 + 36 + 12 = 52$ で一致する．エネルギーは $\frac{1}{2} \cdot 52 + \frac{1}{2} \cdot 3.0 \cdot {2.0}^{2} = 32 J = \frac{1}{2} \cdot 1.0 \cdot {8.0}^{2}$ で保存している．

**［図：例題3の完成図］**
的の小円の直径ODとタレスの直角を使う．χ=60°，反跳角φ=60°で，B₁=(5,3√3)，B₂=(1,−√3)となる．

ポイントここまでのまとめ

G は $A_{1} A_{2}$ も $B_{1} B_{2}$ も $m_{2} : m_{1}$ に内分する．静止した的の円は O を通り，タレスの定理から的の速さが反跳角で決まる．
三角形 $OGB$ に余弦定理・正弦定理を使えば，衝突後の速さと向きが読める．
衝突後の速度は $V + \frac{m_{2}}{M} w$ ， $V - \frac{m_{1}}{M} w$ ． $w$ は $v_{rel}$ を $χ$ 回して $k$ 倍したもので，失われるエネルギーは $\frac{1}{2} μ (1 - k^{2}) v_{rel}^{2}$ である．