仕事とエネルギー

ニュートンダイアグラムの演習

著者：柚木芹香

定規とコンパスを使い，速度の先端を実際に描いてから答えを読んでみましょう．以下では外力の力積を無視し，散乱角 $χ$ は衝突前の相対速度から反時計回りに測ります．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $3 m$ のAと $m$ のBの速度が，それぞれ $(0, 4 u)$ ， $(4 u, 0)$ である． $m, u > 0$ とする．2物体は衝突して一体になる．

速度空間に $A_{1}$ ， $A_{2}$ を描き，内分点Gを作図せよ．
衝突後の先端 $B_{1}$ ， $B_{2}$ を記入し，速度と速さを読み取れ．

**［図：演習1の作図の出発点］**
衝突前の速度の先端と指定された条件のみを示す．G，円，衝突後の先端は読者が作図する．

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考え方 重いAの速度の先端にGが近くなるよう， $A_{1} G : G A_{2} = 1 : 3$ に分ける．完全非弾性では2つの円がGへ縮む．

$A_{1} A_{2}$ を4等分し， $A_{1}$ から1区間だけ進んだ点をGとする．座標は $(u, 3 u)$ である． $A_{1} G = \sqrt{2} u$ ， $G A_{2} = 3 \sqrt{2} u$ で比が確かめられる．
$B_{1} = B_{2} = G$ と記入する．OからGへの矢印を読むと $v_{後} = (u, 3 u)$ ，速さは $\sqrt{10} u$ ．運動量は初めの $(4 m u, 12 m u)$ と，後の $4 m (u, 3 u)$ で等しい．速度図の目盛は距離ではなく速さの単位であることにも注意する．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ のA，Bが速度 $(3 u, u)$ ， $(- u, u)$ で衝突し，弾性衝突後の散乱角が $χ = 90^{\circ}$ となった．

Gと円を作図し， $B_{1}$ ， $B_{2}$ を打て．
Oからの矢印を描き，各速度を読み取れ．2つの速度は直角であるか．

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考え方 等質量なら円は1つだが，直角の結論にはOが円周上にあることも必要である．

$A_{1} A_{2}$ の中点 $G = (u, u)$ を取り，半径 $2 u$ の円を描く． ${GA}_{1}$ は右向きなので，反時計回りに $90^{\circ}$ 回した ${GB}_{1}$ は上向き．Gの上 $2 u$ に $B_{1}$ ，下 $2 u$ に $B_{2}$ を置く．
読み取ると $v_{1 後} = (u, 3 u)$ ， $v_{2 後} = (u, - u)$ ．内積は $- 2 u^{2}$ で0ではない．なす角は鈍角で， $\cos α = - 1 / \sqrt{5}$ より約 $117^{\circ}$ ．図でも $OG = \sqrt{2} u < 2 u$ でOは円の内側にあり，タレスの定理の条件を満たさない．エネルギーは前後とも $\frac{1}{2} m (12 u^{2}) = 6 m u^{2}$ である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ のAが速度 $(5 u, 0)$ ，質量 $4 m$ のBが静止していて，正面衝突する．反発係数は $e = 1 / 2$ である．

Gと2つの円を描き，Gからの距離を半分に縮めて反対側に $B_{1}$ ， $B_{2}$ を作図せよ．
各速度と失われる運動エネルギーを求めよ．

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考え方 正面衝突なので $χ = 180^{\circ}$ ，半径の縮小率は $k = e$ ．G自体は移動させない．

$A_{1} G : G A_{2} = 4 : 1$ より $G = (u, 0)$ ．初めの半径は $4 u$ ， $u$ ．縮めた半径は $2 u$ ， $u / 2$ である．A側の先端をGの左に，B側の先端をGの右に置くと， $B_{1} = (- u, 0)$ ， $B_{2} = (3 u / 2, 0)$ となる．
Oから読む速度はAが $- u$ ，Bが $+ 3 u / 2$ ．エネルギー損失は $μ = 4 m / 5$ として

Δ K = \frac{1}{2} \frac{4 m}{5} (1 - \frac{1}{4}) (5 u)^{2} = \frac{15}{2} m u^{2}

である．前の $25 m u^{2} / 2$ から後の $m u^{2} / 2 + \frac{1}{2} (4 m) (3 u / 2)^{2} = 5 m u^{2}$ を引いても同じになる．反発係数は速さの比ではなく，離れる相対速さ $5 u / 2$ と接近する相対速さ $5 u$ の比である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

質量 $2 m$ のAと $m$ のBが速度 $(3 u, 0)$ ， $(0, 3 u)$ で衝突する．衝突後の相対速さは衝突前の $k = 1 / 2$ 倍，散乱角は $χ = 90^{\circ}$ である．

$A_{1}$ ， $A_{2}$ ，Gと2つの円を描き，半径を半分にした円上に $B_{1}$ ， $B_{2}$ を作図せよ．
各速度を読み取り，エネルギー損失を求めよ．

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考え方 回すのはOからの矢印ではなく，Gからの矢印である．縮小後も2つの先端はGをはさんで同一直線上に置く．

Gは $(2 u, u)$ ．初めの ${GA}_{1}$ は $(u, - u)$ ， ${GA}_{2}$ は $(- 2 u, 2 u)$ で，半径は $\sqrt{2} u$ ， $2 \sqrt{2} u$ ．それぞれ半分にし，反時計回りに直角だけ回すと ${GB}_{1} = (u / 2, u / 2)$ ， ${GB}_{2} = (- u, - u)$ ．これを図に記入する．
Oからの矢印は $(5 u / 2, 3 u / 2)$ ， $(u, 0)$ である． $μ = 2 m / 3$ ， $v_{rel}^{2} = 18 u^{2}$ より，初めの相対運動のエネルギーは $6 m u^{2}$ ，損失はその $1 - k^{2} = 3 / 4$ 倍の $9 m u^{2} / 2$ ．前後の全エネルギー $27 m u^{2} / 2$ ， $9 m u^{2}$ の差とも一致する．斜めの衝突なので，ここで指定した $k$ を法線方向の反発係数と同一視してはいけない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $2 m$ のAが速度 $(3 u, 0)$ で，静止した質量 $m$ のBに弾性衝突する．Aの衝突後の速度が入射方向から上へ角 $θ$ をなし， $\tan θ = 1 / 2$ であることだけが分かっている．

ニュートンダイアグラムを描き，Oから傾き $1 / 2$ の半直線を引け．Aの先端の候補はいくつあるか．
交点の座標と，対応するBの速度をすべて求めよ．

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考え方 観測した向きは速度空間の半直線を指定する．速さが未測定なら，円との交点をすべて調べる必要がある．

$G = (2 u, 0)$ ，半径はA側が $u$ ，B側が $2 u$ ．Oから引いた半直線はAの円と2点で交わる．したがって候補は2つである．
$B_{1} = (x u, y u)$ とおくと，円と直線の式は $(x - 2)^{2} + y^{2} = 1$ ， $y = x / 2$ ．代入して $5 x^{2} - 16 x + 12 = 0$ より $x = 2, 6 / 5$ ．2つの組は

v_{1 後} = (2 u, u), v_{2 後} = (2 u, - 2 u)

v_{1 後} = (6 u / 5, 3 u / 5), v_{2 後} = (18 u / 5, - 6 u / 5)

である．Bの先端は ${GB}_{2} = - 2 {GB}_{1}$ となるよう作図する．Aの速さは $\sqrt{5} u$ と $3 u / \sqrt{5}$ で異なる．どちらの組も運動量は $(6 m u, 0)$ ，エネルギーは $9 m u^{2}$ で，保存則だけでは一方を除けない．

ポイント教える人へ

解答を式で始める前に，内分点Gと円を必ず描かせる．Gが重い物体の先端に近いかを確かめる．
Oからの矢印とGからの矢印を色分けし，どちらを回しているか説明させる．
等質量だから直角，という短絡には，演習2でOが円の内側にあることを指摘させる．
観測方向と円の交点を数えると，角度だけでは速さが一意に定まらないことが分かる．計算結果を元の図の2点へ戻させる．