力と運動の法則

運動方程式

著者：柚木芹香

問い

なめらかな床の上で，空の台車を一定の力で押すと，ある加速度で動き始めました．次に，台車に荷物を積んで全体の質量を2倍にし，先ほどと「同じ力」で押します．加速度は，空のときの何倍になるでしょうか．

もうひとつ．ここでいう「同じ力」は，どうすれば保証できるでしょうか．手で押している感覚は，力を測る道具としては頼りになりません．力の大きさを数で表すには，どうしたらよいでしょうか．まず自分で予想を立ててみてください．

考えてみる

台車と荷物を合わせた質量を2倍にすると，同じ力では動き出しが鈍くなることは，経験から分かります．加速度は半分になると予想した人が多いでしょう．その予想は正しいのですが，「同じ力で」と言い切るには，力を一定に保つ方法が要ります．

そこで，力の大きさを「ばねの伸び」で約束することにします．同じばねを同じ長さだけ伸ばせば，ばねは同じ力で引くと考えるのです．伸びを一定に保ちながらばねで台車を引けば，同じ力で引き続けられます．同じばねを2本そろえて並べて引けば，2倍の力です．

このようにして台車の質量 $m$ とばねの本数（力の大きさ）を変えて加速度を測ると，たとえば次のような結果になります．

力（ばねの本数）	質量	加速度
1本	$1.0 kg$	$2.0 m s^{- 2}$
2本	$1.0 kg$	$4.0 m s^{- 2}$
1本	$2.0 kg$	$1.0 m s^{- 2}$
2本	$2.0 kg$	$2.0 m s^{- 2}$
3本	$3.0 kg$	$2.0 m s^{- 2}$

力を2倍にすれば加速度も2倍になり，質量を2倍にすれば加速度は半分になっています．最後の行を見ると，力と質量が同じ割合で増えれば，加速度は変わりません．加速度は「力に比例し，質量に反比例する」と読み取れます．最初の問いの答えは，加速度は半分になる，です．

ポイント実験から読み取れること

加速度 $a$ は力 $F$ に比例する．
加速度 $a$ は質量 $m$ に反比例する．
加速度の向きは，力の向きと同じである．

［図：力と加速度のグラフ］

横軸が力F（ばねの本数），縦軸が加速度aのグラフ．原点を通る直線が2本あり，質量1 kgの直線は傾き2，質量2 kgの直線は傾き1で，前者の傾きは後者の2倍．初期状態はF=2本で，a=4.0 m/s²とa=2.0 m/s²を読み取れる．スライダーでFを動かすと，どのFでも質量1 kgの加速度が質量2 kgの2倍であることが分かる．

運動方程式

以上の実験事実を，ニュートンは第2法則として式にまとめました．

法則ニュートンの第2法則（運動方程式）

質量 $m$ の物体に力 $F$ が働くとき，物体の加速度 $a$ について

m a = F

が成り立つ．複数の力が働くときは， $F$ はそれらのベクトル和（合力）である．

質量は，「加速されにくさ」を表す量です．同じ力で押したとき，質量の大きい物体ほど加速度が小さくなります．慣性の大きさを表すこの質量を，慣性質量と呼びます．質量は物体そのものの量で，地球でも月でも宇宙空間でも変わりません．これに対して，重さ（物体に働く重力の大きさ）は，場所によって変わります．月の上では，同じ物体の重さは地球上の約6分の1になりますが，押したときの動かしにくさは同じです．

力の単位は，この式から決まります．質量 $1 kg$ の物体に $1 m s^{- 2}$ の加速度を生じさせる力の大きさを $1 N$ （ニュートン）とします．

1 N = 1 kg m s^{- 2}

地表で質量 $0.10 kg$ （約100g，小さなりんご1個）の物体に働く重力は， $0.10 \times 9.8 \approx 1 N$ です．先ほどの表の「ばね1本」の力は，質量 $1.0 kg$ で加速度が $2.0 m s^{- 2}$ だったので， $2.0 N$ と分かります．

運動の勢いを表す量として，運動量 $p = m v$ があります．ニュートン自身は，力を運動量の変化の割合として

F = \frac{d p}{d t}

と表しました．質量が一定のとき， $\frac{d (m v)}{d t} = m \frac{d v}{d t} = m a$ なので， $F = m a$ と同じです．運動量を使う形は，衝突や質量が変わる物体を扱うときに役立ちます．ただし質量が出入りする場合は，同じ物質を追う系について立て，流れ出入りする運動量も数える必要があります．それらは後の章で扱います．

位置 $x$ の時間微分で速度を，もう一度微分して加速度を表すと，運動方程式は

m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = F

とも書けます．力が分かれば，この式から加速度が決まり，積分を2回行って速度と位置が決まります．初期条件（最初の位置と速度）を与えれば，その後の運動がすべて決まるのです．

法則であって，定義ではない

$F = m a$ だけを見ると，「加速度を測れば，力は $m a$ と決まる」という，力の定義のようにも読めます．しかし，運動方程式は，それだけで終わる定義ではありません．

力には，運動方程式とは別に，その力がどう決まるかを述べる法則があります．たとえば，地表の物体に働く重力は $m g$ であり，ばねの力は伸びに比例します．こうした「力の法則」を運動方程式に代入して初めて，その物体が将来どう動くかという予言ができます．

たとえば，質量 $m$ の物体に重力 $m g$ だけが働くなら，鉛直下向きを正として $m a = m g$ ，すなわち $a = g$ となります．質量に関係なく同じ加速度になるという予言は，実験で確かめられる内容を持っています．運動方程式は，力の法則と組み合わせて，はじめて自然を言い当てる道具になるのです．

ポイント運動方程式の使い方

運動方程式は，「力の法則（何がどんな力を及ぼすか）」と「初期条件」を与えると，運動を決める．力を知るには，別に法則が要る．

運動方程式を立てる手順

運動方程式を立てるときは，次の4つのステップをいつも同じ順に踏みます．

注目する物体を決める．運動方程式は，その物体1つについて立てる．
その物体に働く力を，すべて見つける．触れているものから受ける力と，重力を数える．矢印で描いた図（この章の「力の種類」の節で学ぶ自由体図）にすると見落としにくい．
座標軸を決め，正の向きを定める．
軸の成分ごとに $m a_{x} = F_{x}$ ， $m a_{y} = F_{y}$ を書き，初期条件のもとで解く．

力の見つけ方は，この章の「力の種類」の節で練習します．ここでは，力が与えられている場合から始めましょう．なお，最後に答えが極端な場合（質量が非常に大きい，など）で妥当かを確かめる「検算」も，以後の節でいつも行います．

ポイントここまでのまとめ

問いの答え：同じ力で質量が2倍なら，加速度は半分になる．「同じ力」は，ばねの伸びを一定に保つなどして約束する．
運動方程式 $m a = F$ ：加速度は合力に比例し，質量に反比例する．向きは合力と同じである．
力の単位は $1 N = 1 kg m s^{- 2}$ ．質量は場所によらず，重さ（重力の大きさ）は場所で変わる．
運動方程式は，力の法則と初期条件を与えて初めて運動を予言する道具である．力の定義ではない．
立式の手順：注目する物体を決める → 働く力をすべて見つける → 座標軸を決める → 成分ごとに $m a_{x} = F_{x}$ を立てて解く．