力と運動の法則

運動方程式の例題

著者：柚木芹香

運動方程式を使って，力から運動を求める練習をします．前の節で確かめた4つの手順の通りに進めましょう．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

なめらかな水平面上に，質量 $m = 2.0 kg$ の物体が，初速度 $v_{0} = 1.0 m s^{- 1}$ で運動している．時刻 $t = 0$ から，運動の向きに一定の力 $F = 6.0 N$ を加える．運動の向きを $x$ 軸の正とし， $t = 0$ の位置を原点とする．

時刻 $t$ の速度 $v (t)$ と位置 $x (t)$ を， $m$ ， $F$ ， $v_{0}$ を用いて表せ．
$t = 4.0 s$ の速度と位置を求めよ．
$t = 4.0 s$ で力を取り除いた．それから $2.0 s$ の間に物体が進む距離を求めよ．

**［図：水平面の物体に加える力］**
物体の初速度v₀と，運動方向の一定の力F，正のx方向を示す．

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考え方 運動の向きを正にとり，水平方向の運動方程式を立てる．力が一定なので，加速度も一定である．

運動方程式は $m a = F$ であり，加速度は $a = F / m$ で一定である．初速度 $v_{0}$ ，初期位置 $0$ より，

v (t) = v_{0} + \frac{F}{m} t, x (t) = v_{0} t + \frac{F}{2 m} t^{2}

である．

$a = 6.0 / 2.0 = 3.0 m s^{- 2}$ なので，

v (4.0) = 1.0 + 3.0 \times 4.0 = 13 m s^{- 1}

x (4.0) = 1.0 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times 3.0 \times {4.0}^{2} = 28 m

である．

力を取り除いた後は合力が $0$ なので，物体は $13 m s^{- 1}$ で等速直線運動を続ける（慣性の法則）． $2.0 s$ の間に進む距離は， $13 \times 2.0 = 26 m$ である．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面上で，原点に静止していた質量 $m = 2.0 kg$ の物体に， $x$ 軸の正の向きに，時間とともに増える力 $F = k t$ （ $k = 4.0 N s^{- 1}$ ）を加える．

**［図：時間とともに増える力］**
なめらかな水平面上の質量mの物体に正のx方向へF=ktを加える．初め原点で静止している．

時刻 $t$ の速度と位置を， $k$ ， $m$ を用いて表せ．
$t = 3.0 s$ の速度と位置を求めよ．
$t = 0$ から $T = 3.0 s$ までの力の時間平均 $\bar{F} = k T / 2$ を，一定の力として同じ物体に $T$ の間だけ加えた場合の， $t = T$ での速度と位置を求めよ．(2) と比べて，何が同じで何が違うか．

解答を見る

考え方 力が時間で変わっても，各瞬間に運動方程式 $m a = F$ は成り立つ．加速度が時間の関数になるので，積分で速度と位置を求める．

運動方程式は $m \frac{d v}{d t} = k t$ である．時間で積分して，初速度が $0$ なので

v (t) = \frac{k}{2 m} t^{2}

さらに積分し，初期位置が $0$ なので

x (t) = \frac{k}{6 m} t^{3}

である．

数値を入れると，

v (3.0) = \frac{4.0}{2 \times 2.0} \times {3.0}^{2} = 9.0 m s^{- 1}

x (3.0) = \frac{4.0}{6 \times 2.0} \times {3.0}^{3} = 9.0 m

である．

平均の力は $\bar{F} = 4.0 \times 3.0 / 2 = 6.0 N$ で，加速度は $\bar{F} / m = 3.0 m s^{- 2}$ である．よって

v = 3.0 \times 3.0 = 9.0 m s^{- 1}, x = \frac{1}{2} \times 3.0 \times {3.0}^{2} = 13.5 m

である．速度は (2) と同じ $9.0 m s^{- 1}$ だが，位置は一定の力のほうが大きい．時間とともに増える力では，前半の加速度が小さく，速度が小さい時間が長いので，その間に進む距離が少ないからである．最終的な速度が同じになる理由は，速度の変化 $\int_{0}^{T} a d t = \frac{1}{m} \int_{0}^{T} F d t$ を決める力の時間積分（第5章で学ぶ力積）が，どちらも同じ $k T^{2} / 2$ だからである．

ポイントここまでのまとめ

手順どおりに，物体・力・座標軸・成分ごとの式を順に書くと，力が与えられた問題は機械的に解ける．
力が一定なら加速度も一定（等加速度運動）．力が時間とともに変わるときは，加速度が時間の関数になるので積分で速度と位置を求める．
力を取り除けば合力は 0 になり，物体は等速直線運動を続ける（慣性の法則）．