力と運動の法則

運動方程式の演習

著者：柚木芹香

運動方程式を使う演習です．単位の確認，成分ごとの式，エレベーターの中の体重計など，いろいろな場面で $m a = F$ を使ってみましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

(1)〜(3) の量の単位を， $kg$ ， $m$ ， $s$ の組み合わせで表せ．また (4) に答えよ．

運動量 $p = m v$
ばね定数 $k$ （ばねの力を $F = k x$ と書いたときの $k$ ）
前の節の例題2の $F = k t$ における $k$
質量 $2.0 kg$ の物体に $5.0 N$ の力が働くときの加速度の大きさ

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$kg m s^{- 1}$ である．なお，運動量の時間変化の割合の単位は $kg m s^{- 2} = N$ となり，力と一致する．
$F = k x$ より $k = F / x$ の単位は $N m^{- 1} = kg s^{- 2}$ である．
$F = k t$ より $k = F / t$ の単位は $N s^{- 1} = kg m s^{- 3}$ である．
$a = F / m = 5.0 / 2.0 = 2.5 m s^{- 2}$ である．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

なめらかな水平面上に，質量 $0.50 kg$ の物体が静止している．この物体に，水平面内で互いに直角な方向の力 $3.0 N$ （ $x$ 方向）と $4.0 N$ （ $y$ 方向）が同時に働く．

加速度の大きさと向き（ $x$ 軸の正の向きとなす角 $θ$ ）を求めよ．
力が働き始めてから $2.0 s$ 後の速さと，その間の変位の大きさを求めよ．

**［図：直交する二つの力］**
物体にx方向の3.0 Nとy方向の4.0 Nの力が働く．求める合力や加速度の方向は描かない．

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成分ごとに運動方程式を立てる． $0.50 a_{x} = 3.0$ ， $0.50 a_{y} = 4.0$ より， $a_{x} = 6.0 m s^{- 2}$ ， $a_{y} = 8.0 m s^{- 2}$ である．加速度の大きさは $\sqrt{{6.0}^{2} + {8.0}^{2}} = 10 m s^{- 2}$ ，向きは合力と同じで， $\tan θ = 4.0 / 3.0$ より $x$ 軸から約 $53^{\circ}$ である．
加速度の大きさが一定で，初速度は $0$ である．速さは $10 \times 2.0 = 20 m s^{- 1}$ ，変位の大きさは $\frac{1}{2} \times 10 \times {2.0}^{2} = 20 m$ である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $60 kg$ の人が，エレベーターの中の体重計に乗っている．体重計は，人が体重計を押す力（に等しい垂直抗力） $N$ を $g = 9.8 m s^{- 2}$ で割った値を「キログラム」で表示するものとする．人に働く力は，重力 $m g$ と，体重計が人を押し上げる力 $N$ （垂直抗力）の2つとする（2つの押す力が等しいことは「作用と反作用」，垂直抗力は「垂直抗力と張力」の節で詳しく扱う）．

エレベーターが等速で動いているとき，表示は何 $kg$ か．
上向きに大きさ $1.5 m s^{- 2}$ の加速度で動いているとき，表示は何 $kg$ か．
表示が $48 kg$ だった．エレベーターの加速度の向きと大きさを求めよ．また，エレベーターは上昇中か下降中か，これだけで分かるか．
ケーブルが切れて自由落下するとき，表示は何 $kg$ か．

**［図：体重計に乗る人］**
エレベーター内で体重計に乗る人に働くmgとNを示す．加速度の向きは各設問の条件による．

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考え方 人に注目し，鉛直上向きを正とする．人に働く力は，下向きの重力 $m g$ と，体重計からの上向きの垂直抗力 $N$ の2つである．加速度 $a$ （上向き正）として，運動方程式は

m a = N - m g すなわち N = m (g + a)

である．表示は $N / g$ である．

等速なので $a = 0$ ， $N = m g = 588 N$ ．表示は $60 kg$ である．
$a = 1.5$ より， $N = 60 \times (9.8 + 1.5) = 678 N$ ．表示は $678 / 9.8 \approx 69 kg$ である．
表示が $48 kg$ なので， $N = 48 \times 9.8 = 470.4 N$ である． $a = N / m - g = 470.4 / 60 - 9.8 = - 1.96 m s^{- 2}$ ．よって加速度は下向きで，大きさは約 $2.0 m s^{- 2}$ である．一方，この情報から分かるのは加速度の向きだけで，速度の向きは分からない．上昇しながら減速している場合も，下降しながら加速している場合も，同じ表示になる．
自由落下では， $a = - g$ なので， $N = m (g - g) = 0$ ．表示は $0 kg$ である．体重計が人を押さなくなる「無重量」の状態である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

$x$ 軸上を運動する質量 $m$ の物体に，位置 $x$ に応じて $F = - k x$ （ $k > 0$ ）の力が働くとする．

**［図：原点から離した物体］**
x軸上の原点Oと，静かに放す位置x=Aを示す．加速度や運動後の方向は描かない．

加速度 $a$ を $x$ で表し， $a$ と $x$ の関係を言葉で述べよ．
$x > 0$ ， $x < 0$ ， $x = 0$ の各場合に，加速度の向きはどうなるか．
物体を $x = A > 0$ の位置で静かに放したとき，その後の運動を定性的に述べよ．速さが最大になるのはどこか．

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運動方程式 $m a = - k x$ より， $a = - \frac{k}{m} x$ である．加速度は位置に比例し，向きは位置と反対である．
$x > 0$ では $a < 0$ （負の向き）， $x < 0$ では $a > 0$ （正の向き）， $x = 0$ では $a = 0$ である．いずれの場合も，加速度は原点に向かう向きである．
放した直後は $a < 0$ なので，物体は原点に向かって加速し始める．原点に近づくほど加速度は小さくなるが，原点に達するまでは負のままで，速さは増え続ける．原点を通り過ぎると加速度は正になり，物体は減速する．よって，速さが最大になるのは $x = 0$ の位置である．減速した物体は，やがて $x < 0$ 側のどこかで止まり，再び原点に引き戻される．このように，原点を中心に往復する運動になる．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平面上に，質量 $m_{1}$ の物体Aと質量 $m_{2} = 3 m_{1}$ の物体Bが静止している．それぞれに，同じ大きさ $F$ の一定の力を，運動の向きに加える．

**［図：異なる質量に同じ力］**
別々の物体AとBに，同じ大きさの力Fを同じ向きに加える．

力を同じ時間 $τ$ だけ加えたとき，A，Bの速さの比 $v_{1} : v_{2}$ を求めよ．
力を同じ距離 $L$ だけ進む間加えたとき，A，Bの速さの比 $v_{1} : v_{2}$ を求めよ．

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A，Bの加速度は，それぞれ $a_{1} = F / m_{1}$ ， $a_{2} = F / m_{2} = F / (3 m_{1})$ である．

静止から時間 $τ$ の間加速すると，速さは $v = a τ$ である．

v_{1} : v_{2} = a_{1} : a_{2} = \frac{F}{m_{1}} : \frac{F}{3 m_{1}} = 3 : 1

である．

距離 $L$ だけ進むときは， $v^{2} = 2 a L$ より $v = \sqrt{2 a L}$ である．

v_{1} : v_{2} = \sqrt{a_{1}} : \sqrt{a_{2}} = \sqrt{3} : 1

である．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m = 0.50 kg$ の物体が直線上を運動し，位置が時刻 $t$ （単位は秒）の関数として $x (t) = α t^{2} - β t^{3}$ （ $α = 3.0 m s^{- 2}$ ， $β = 0.50 m s^{- 3}$ ）で与えられる．物体に働く合力 $F (t)$ は，運動方程式から逆に求められる．

**［図：与えられた位置のグラフ］**
問題で与えられたxと時刻tの関係を示す．求める量やその値は記入しない．

合力 $F (t)$ を求めよ．
合力が $0$ になる時刻と，その時刻での速度を求めよ．
速度が再び $0$ になる時刻と，そのときの位置を求めよ．

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考え方 位置を時間で2回微分して加速度を求め，運動方程式に代入する．

速度は $v = \frac{d x}{d t} = 2 α t - 3 β t^{2}$ ，加速度は $a = \frac{d v}{d t} = 2 α - 6 β t$ である．したがって

F (t) = m a = m (2 α - 6 β t) = 0.50 \times (6.0 - 3.0 t) = 3.0 - 1.5 t [N]

である．

$F = 0$ となるのは $t = 2.0 s$ である．そのときの速度は

v = 2 \times 3.0 \times 2.0 - 3 \times 0.50 \times {2.0}^{2} = 12 - 6.0 = 6.0 m s^{- 1}

である．加速度が $0$ になるこの時刻に，速度は最大になる．

$v = 2 α t - 3 β t^{2} = t (6.0 - 1.5 t) = 0$ より， $t = 0$ または $t = 4.0 s$ である． $t = 4.0 s$ での位置は

x = 3.0 \times {4.0}^{2} - 0.50 \times {4.0}^{3} = 48 - 32 = 16 m

である．

ポイント教える人へ

問いかけ：「力を2倍にしたら？質量を2倍にしたら？」と順に聞き，その結果から比例・反比例の関係を言葉にさせる．その後に $F = m a$ を見せると，式が実験の要約だと分かる．
つまずき：「力＝質量×速度」と書いてしまう，加速度の向きと速度の向きを同じだと思う，といった混同がある．力は加速度の向きに働き，速度の向きとは限らないことを，例題と演習3の (3) で確かめる．
確かめ方：「重さ」と「質量」の違いを，月の上での押しやすさ・持ち上げやすさを使って説明させる．エレベーターの体重計の表示が変わる理由を，運動方程式で式にできれば，理解できている．