力と運動の法則

慣性の法則の演習

著者：柚木芹香

慣性の法則の考え方と，慣性系の見分け方を確かめる演習です．速度が 0 であることと合力が 0 であることは別のことだ，という点に気をつけてください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

次の (1)〜(4) の文は，アリストテレスの見方（力は速度に比例する）とニュートンの見方（力は速度の変化に関係する）のどちらに沿った考えか，答えよ．

**［図：力と運動を考える四つの場面］**
荷車，宇宙探査機，走る車，落とす二球を並べる．各主張がどの見方に沿うかは図に示さない．

荷車は押すのをやめると止まるのだから，荷車を動かし続けるには，押し続ける必要がある．
エンジンを止めた宇宙探査機は，周りに何も無い空間では，同じ速さで進み続ける．
一定の速さで直線の道を走る自動車では，エンジンが生む前向きの力と，空気抵抗などの後ろ向きの力が打ち消し合っている．
重い物体は大きな力で引かれているのだから，軽い物体よりも速く落ちる．

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アリストテレスの見方．荷車が止まる原因は，押す力が無くなったことではなく，床の摩擦などの後ろ向きの力である．この文は，その力を見落としている．
ニュートンの見方．力が働かなければ速度は変わらない．
ニュートンの見方．等速で進むのは合力が 0 だからだと考えている．
アリストテレスの見方．力の大きさをそのまま速さに結びつけている．実際には，重力が大きい物体は慣性（質量）も大きく，加速度は変わらない．この点は次の「運動方程式」の節で学ぶ．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

次の (a)〜(e) のうち，物体に働く力の合力が $0$ であるものをすべて選べ．ただし，地面を慣性系とする．

**［図：合力を考える五つの場面］**
等速直進するパックと車，円軌道の衛星，最高点のボール，机上の本を示す．力の矢印は描かない．

(a) 水平でなめらかな氷の上を，一定の速さでまっすぐ滑るパック（摩擦は無視する）
(b) 直線の道路を，一定の速さで走る自動車
(c) 円軌道を，一定の速さで回る人工衛星
(d) 真上に投げたボールの，最高点に達した瞬間
(e) 机の上に静止している本

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慣性の法則より，合力が $0$ であることは，物体が静止しているか等速直線運動をしている（ $a = 0$ ）ことと同じである．したがって (a)，(b)，(e) である．

(c) は，速さが一定でも向きが変わり続けるので速度が一定ではなく，加速度がある．よって合力は $0$ ではない．(d) は，その瞬間の速度こそ 0 だが，加速度は重力加速度 $g$ のままで，合力は重力 $m g$ である．「速度が 0」と「合力が 0」は別のことである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

次の基準系のうち，慣性系とみなせるものをすべて選び，選ばなかったものについては理由を述べよ．ただし，地面は慣性系とする．

**［図：基準系の運動］**
直進する電車と船，発進する電車，回転するカップ，カーブの電車を並べる．慣性系の判定は示さない．

(a) 一定の速さで直線の線路を走る電車
(b) 発進して加速している最中の電車
(c) 一定の速さで直進する船の甲板
(d) 一定の速さで回っている遊園地のコーヒーカップ
(e) 急なカーブを曲がっている電車

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慣性系に対して等速直線運動をする基準系だけが慣性系である．したがって (a) と (c) が慣性系である．

(b) は加速しているので慣性系ではない．(d) は，円運動なので速さが一定でも向きが変わり続けており，加速度運動である．よって慣性系ではない．(e) も同じ理由で，カーブを曲がる電車は加速度運動をしており，慣性系ではない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

水平な台の上に，滑らかな小球が静止して置かれている．台とともに動く観測者が見ていると，小球は時刻 0 に静止していたが，その後，右向きに一定の加速度 $a_{0}$ で動き始めた．小球と台の間の摩擦は無く，他の水平方向の力も働いていないとする．この台は，慣性系に対してどのような運動をしているか．

**［図：台から見た小球］**
台とともに動く観測者から見た，小球の右向き加速度a₀を示す．台自体の運動の答えは描かない．

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慣性系（地面）から見ると，小球には水平方向の力が働かないので，小球は静止したまま（または等速直線運動を続ける）である．台の上の観測者から見て小球が右向きに加速度 $a_{0}$ を持つのは，台のほうが加速しているからである．

台に対する小球の加速度は，（地面から見た小球の加速度） $-$ （地面から見た台の加速度）であり，前者は $0$ なので，台の加速度は左向きに大きさ $a_{0}$ となる．よって，台は慣性系に対して，左向きに加速度 $a_{0}$ で加速している．台の上の観測者は慣性系にいない．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

エンジンを止めて宇宙空間を慣性運動する宇宙船があり，この宇宙船は慣性系とみなせる．船内では，船尾側の面を「床」として使っている．その後，エンジンを噴かし，宇宙船が進行方向に一定の加速度 $A = 2.0 m s^{- 2}$ で加速し始めた．船内で，床から高さ $h = 1.0 m$ の位置にボールを静かに放した（放した瞬間，ボールは船に対して静止している）．ボールは船内の人から見るとどう動くか．床に達するまでの時間も求めよ．ただし，船内では重力は無視でき，ボールの運動にエンジンの噴射は直接は影響しないとする．

**［図：加速し始めた宇宙船］**
船尾を床とする宇宙船の初期状態．船尾から距離hの球と，船の加速度Aを示す．球がその後どう動くかは描かない．

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考え方 まず，船の外の慣性系から，ボールと船の運動を別々に見る．

ボールには力が働かないので，慣性の法則から，放した瞬間の速度 $v_{0}$ （船の速度と同じ）で等速直線運動を続ける．一方，船の床は加速度 $A$ で加速するので，床はボールのほうへ近づいてくる．

船内の人から見たボールの運動は，床に対する相対運動である．床は船の進行方向に加速するので，船内の人から見ると，ボールは進行方向と逆向き（床に向かう向き）に，大きさ $A$ の加速度で動くように見える．つまりボールは，一定の加速度 $A$ で「落ちる」．

時間は $h = \frac{1}{2} A t^{2}$ から

t = \sqrt{\frac{2 h}{A}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.0}{2.0}} = 1.0 s

である．この結果は，重力加速度 $g$ の下で物体が落ちる運動と同じ形をしている．

演習 6

オリジナル ★★☆☆☆

一定の速さ $v_{0}$ で走っていた電車が，時刻 0 から進行方向に一定の加速度 $a = 1.5 m s^{- 2}$ で加速し始めた．時刻 0 に，天井の高さ $h = 2.0 m$ の位置から，ボールを電車に対して静止した状態で静かに放した．重力加速度を $g = 9.8 m s^{- 2}$ とし，空気抵抗は無視する．

ボールが床に達するまでの時間を求めよ．
ボールは，放した位置の真下の点に対して，床の上でどれだけずれた所に落ちるか．ずれの向きも答えよ．

**［図：加速する電車内で放す球］**
天井から球を放した瞬間の車内を示す．高さh，電車の初速度v₀と加速度aを示し，落下位置は描かない．

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考え方 地面から見ると，ボールの水平方向には力が働かないので，水平速度は $v_{0}$ のまま変わらない．一方，電車は加速する．この差が，電車の中で見えるずれになる．

鉛直方向は重力だけを受ける自由落下で， $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ より

t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 2.0}{9.8}} \approx 0.64 s

である．

時間 $t$ の間に，ボールは水平に $v_{0} t$ 進む．電車は $v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ 進むので，電車に対するボールの水平方向のずれは $\frac{1}{2} a t^{2}$ だけ後ろ（進行方向と逆向き）になる．

\frac{1}{2} a t^{2} = \frac{1}{2} a \cdot \frac{2 h}{g} = \frac{a h}{g} = \frac{1.5 \times 2.0}{9.8} \approx 0.31 m

よって，ボールは真下の点から約 $0.31 m$ だけ後ろに落ちる．

ポイント教える人へ

問いかけ：「摩擦を無くしたら，パックはどうなる？」と聞き，答えのあとに「では，押し続けないと止まるのはなぜ？」と戻すと，見かけの力と本当の力の区別が育つ．
つまずき：「速度が 0 の瞬間は合力も 0」という思い違い（最高点の例）．「等速円運動は力が要らない」という思い違い．慣性は「物体が持つ力」ではなく，「速度を保つ性質」であると言い直させる．
確かめ方：電車の中のボールの例を，慣性系と非慣性系の両方から説明させる．自分の言葉で，「だれから見ているか」を先に言えれば，理解できている．