外部運動と内部運動

著者：柚木芹香

この章では，第5章の重心 $r_{G}$ を $R$ ，その速度を $V$ と書きます（同じものです）．

問い

打ち上げ花火の玉が高く上がり，頂点の近くで割れて，星（光る粒）が四方へ広がります．空気の抵抗を無視すると，星全体の重心は，割れたことなど無かったかのように，割れる前の玉と同じ放物線を描いて落ちていきます．第5章で見たように，重心の運動は外力（重力）だけで決まるからです．

では，玉を割るとき火薬の化学エネルギーが運動エネルギーに変わって，破片の運動エネルギーの合計は増えています．重心の運動が変わらないのなら，増えた運動エネルギーは，いったいどこへ入ったのでしょうか．

考えてみる

第6章では，2つの物体の運動エネルギーが $K = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ と，重心の分と相対運動の分に分かれることを見ました．花火の玉は2つではなく多数の破片になりますが，同じことが言えるはずです．一直線上で，等しい質量 $m$ （ $M = 2 m$ ）の2つに割れ，速度が $V \pm u$ になる場合で確かめます．運動量は $m (V + u) + m (V - u) = M V$ で変わらず，運動エネルギーは

\frac{1}{2} m (V + u)^{2} + \frac{1}{2} m (V - u)^{2} = \frac{1}{2} M V^{2} + m u^{2}

と $m u^{2}$ だけ増えます．増えた分は $V$ に関係せず，破片が重心に対してどう動くかだけで決まります．

そこで，多数の物体でも，剛体でも，運動を重心の動きと，重心から見た動きに分けて数えることにします．

外部運動と内部運動

定義外部運動と内部運動

質量 $m_{i}$ ，位置 $r_{i}$ ，速度 $v_{i}$ の質点の集まりで，全質量を $M = \sum m_{i}$ ，重心を $R$ ，重心の速度を $V = \frac{d R}{d t}$ とする．

r_{i} = R + r_{i}^{'}, v_{i} = V + v_{i}^{'}

と分けたとき，重心そのものの運動を外部運動，重心から見た運動 $r_{i}^{'}$ ， $v_{i}^{'}$ を内部運動という．

重心の定義から，重心から見た位置と速度を質量で重みづけして足すと0になります．

\sum m_{i} r_{i}^{'} = 0, \sum m_{i} v_{i}^{'} = 0

**［図：花火の重心と破片の速度］**
割れた花火の玉．各破片の速度 $\vb*{v}_i$ が，重心 G の速度 $\vb*{V}$（全破片に共通の太い矢印）と，G から放射状に広がる $\vb*{v}_i'$ の和に分かれる様子を，3つの破片について描く．G は放物線上にあり，破片の位置 $\vb*{r}_i=\vb*{R}+\vb*{r}_i'$ も矢印で示す．

運動量と運動エネルギーの分解

全運動量は $P = \sum m_{i} v_{i} = M V + \sum m_{i} v_{i}^{'} = M V$ です．運動量は外部運動だけが持ち，第5章で見たように $\frac{d P}{d t} = F_{外}$ なので，外力だけが $P$ を変えます．

法則ケーニッヒの定理

質点系の運動エネルギーは，外部運動の分と内部運動の分の和になる．

K = \frac{1}{2} M V^{2} + K_{内}, K_{内} = \sum \frac{1}{2} m_{i} {| v_{i}^{'} |}^{2}

2体では $K_{内} = \frac{1}{2} μ v_{rel}^{2}$ （第6章）．形の変わらない剛体が重心のまわりを角速度 $ω$ で回るなら， $K_{内} = \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ （ $I_{G}$ は重心のまわりの慣性モーメント）．

証明は次の節で行います．剛体の内部運動は回転だけで，重心から距離 $ρ_{i}$ の質点の速さが $ρ_{i} ω$ だから， $K_{内} = \sum \frac{1}{2} m_{i} ρ_{i}^{2} ω^{2} = \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ となります．第8章で転がる物体の運動エネルギーを $\frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ と書いたのは，この定理の一例だったのです．

外力は何をするか

外力の合力は外部運動を変えます．外力は，作用点によっては内部の回転や変形も変えます． $M \frac{d V}{d t} = F_{外}$ に $V$ を掛けて時間で積分すると

Δ (\frac{1}{2} M V^{2}) = \int F_{外} \cdot d R

となります．右辺は力の作用点ではなく重心の変位で計算するので，これを「重心の仕事」と呼びます．物体に外力が実際にする仕事 $\sum F_{i} \cdot d r_{i}$ とは，一般に違います．

たとえば静止から走り出す人を考えます．水平方向の外力は，床が足にはたらく静止摩擦力 $f$ だけです．足は床に接している間は止まっているので，摩擦力の実際の仕事は0です．ところが重心は加速し， $Δ (\frac{1}{2} M V^{2}) = \int f d R > 0$ になります．運動エネルギーを与えたのは床ではなく，人の体の内部（筋肉の化学エネルギー）です．床の役目は，運動量 $P$ を渡す外力になることだけです．車が走り出すときも同じです．

**［図：重心の変位と静止した足］**
走り出す人を横から描く．後ろの足が床に接して静止し，床から前向きの静止摩擦力 $f$ を受けている．重心 G が右へ進むこと，力の作用点（足の接地点）は動かないことを，G の矢印と接地点の印で対比する．

内力は $P$ を変えませんが， $K_{内}$ は変えられます．爆発は化学エネルギーを，ばねは弾性エネルギーを，筋肉は体のエネルギーを $K_{内}$ に変えます．逆に，摩擦や衝突の変形は $K_{内}$ を分子の乱雑な運動に変えます．このように蓄えられる微視的なエネルギーは内部エネルギーに含まれます．熱は温度差によるエネルギーの移動を指し，内部エネルギーそのものとは区別します．詳しくは熱の章で扱います．形の変わらない剛体では，物体を作る粒子どうしの距離が変わらないので，内力の仕事は0です．

ポイント出入りできるのは $K_{内}$ だけ

外力が無視できる短い出来事（衝突，爆発，分裂）では， $P$ も $V$ も $\frac{1}{2} M V^{2}$ も変わらない．運動エネルギーの出入りは，すべて $K_{内}$ で起きる．

ポイントここまでのまとめ

位置と速度を $r_{i} = R + r_{i}^{'}$ ， $v_{i} = V + v_{i}^{'}$ と分けると， $\sum m_{i} r_{i}^{'} = 0$ ， $\sum m_{i} v_{i}^{'} = 0$ ．運動量は外部運動だけが持ち， $P = M V$ で，外力だけが変える．
運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} M V^{2} + K_{内}$ ．剛体では $K_{内} = \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ ．
$Δ (\frac{1}{2} M V^{2}) = \int F_{外} \cdot d R$ は重心の仕事で，実際の仕事とは違う．走り出す人では，摩擦力の実際の仕事は0でも運動エネルギーが増える．
問いの答え：割れても重心は変わらず，増えた運動エネルギーは全部 $K_{内}$ ，つまり破片が重心から離れていく運動に入った．