外部運動と内部運動

外部運動と内部運動の計算

著者：柚木芹香

前の節の主張を和の計算で確かめ，重心の仕事と実際の仕事の違いが現れる例題に進みます．

定理数学の道具：重心のまわりの和

内部運動の運動量の和は0． $V = \frac{\sum m_{i} v_{i}}{M}$ なので

\sum m_{i} v_{i}^{'} = \sum m_{i} v_{i} - V \sum m_{i} = M V - M V = 0

ケーニッヒの定理． ${| v_{i} |}^{2} = V^{2} + 2 V \cdot v_{i}^{'} + {| v_{i}^{'} |}^{2}$ を $\frac{1}{2} m_{i}$ 倍して足すと

K = \frac{1}{2} M V^{2} + V \cdot \sum m_{i} v_{i}^{'} + K_{内} = \frac{1}{2} M V^{2} + K_{内}

交差項は $\sum m_{i} v_{i}^{'} = 0$ で消える．

重心の仕事． 質点系の運動方程式 $M \frac{d V}{d t} = F_{外}$ に $V$ を掛けると $\frac{d (\frac{1}{2} M V^{2})}{d t} = F_{外} \cdot V$ ． $V d t = d R$ だから，積分して $Δ (\frac{1}{2} M V^{2}) = \int F_{外} \cdot d R$ ．

練習 1． 質量 $50 kg$ の人が，静止から一定の静止摩擦力 $100 N$ で走り出す．重心が $9.0 m$ 進んだときの速さを求めよ．

答え：重心の仕事は $100 \times 9.0 = 900 J$ ． $\frac{1}{2} \cdot 50 v^{2} = 900$ より $v = 6.0 m s^{- 1}$ ．

練習 2． 質量 $60 kg$ の人がその場で跳び上がる．床が足を押す力が一定の $1500 N$ で $0.30 s$ 続いたとする．重心の運動方程式から，足が床を離れるときの重心の速さを求めよ（ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）．

答え： $60 a = 1500 - 60 \times 9.8 = 912$ より $a \approx 15 m s^{- 2}$ ． $v = a t \approx 4.6 m s^{- 1}$ ．床の力は仕事をしないが，重心の運動は外力の合力で決まる．

練習 3． 質量 $2.0 kg$ の質点Aと質量 $1.0 kg$ の質点Bが，それぞれ速度 $(3.0, 0) m s^{- 1}$ と $(0, 3.0) m s^{- 1}$ で動いている．重心速度 $V$ を求め，全運動エネルギー $K$ を外部運動の分 $K_{外}$ と内部運動の分 $K_{内}$ に分けよ．

答え： $V = \frac{2.0 \times (3.0, 0) + 1.0 \times (0, 3.0)}{3.0} = (2.0, 1.0) m s^{- 1}$ ． $K_{外} = \frac{1}{2} \times 3.0 \times ({2.0}^{2} + {1.0}^{2}) = 7.5 J$ ． $K = \frac{1}{2} \times 2.0 \times {3.0}^{2} + \frac{1}{2} \times 1.0 \times {3.0}^{2} = 13.5 J$ より $K_{内} = 6.0 J$ ．（重心に対する速度 $(1.0, - 1.0)$ ， $(- 2.0, 2.0)$ から直接 $\frac{1}{2} \times 2.0 \times 2.0 + \frac{1}{2} \times 1.0 \times 8.0 = 6.0 J$ と確かめられる．）

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

水平な床の上で，質量 $60 kg$ の人が静止から一定の加速度で走り出し， $2.0 s$ 後に $4.0 m s^{- 1}$ になった．

**［図：走り出す人の作用点と重心］**
走り出す人を横から描く．後ろの足の接地点（印）に前向きの静止摩擦力 $f$ を，重心 G に右向きの速度と加速度を示す．$2.0\,\mathrm{s}$ 間の G の変位を矢印で書き入れる．

床が人に及ぼす摩擦力を求めよ．
重心の仕事と，摩擦力の実際の仕事を求めよ．
増えた運動エネルギーは，どこから来たか．

解答を見る

考え方 水平方向の外力は静止摩擦力だけである．重心の仕事は重心の変位で，実際の仕事は力の作用点（足の接地点）の変位で計算する．

加速度 $a = \frac{4.0}{2.0} = 2.0 m s^{- 2}$ より， $f = M a = 60 \times 2.0 = 120 N$ ．
重心の変位は $\frac{1}{2} \cdot 2.0 \cdot {2.0}^{2} = 4.0 m$ なので，重心の仕事は $120 \times 4.0 = 480 J$ ．これは $\frac{1}{2} \cdot 60 \cdot {4.0}^{2} = 480 J$ に等しい．一方，足は床に接している間は静止していて作用点の変位が0なので，摩擦力の実際の仕事は $0$ である．
床は仕事をしていないので，人の体の内部（筋肉の化学エネルギーなど）から来た．床は運動量 $M v = 240 kg m s^{- 1}$ を渡す役をしただけである．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

頂点で水平に $10 m s^{- 1}$ で飛ぶ質量 $3.0 kg$ の花火の玉が，等しい質量 $1.0 kg$ の3つに割れた．割れた直後，重心から見て3つの破片は水平面内で，速さ $4.0 m s^{- 1}$ で互いに $120^{\circ}$ の向きに飛び，1つは玉の進行方向に飛んだ．空気の抵抗は無視する．

**［図：3破片の与えられた内部速度］**
120度ずつ離れた等しい内部速度と，別に描いた共通の重心速度．実験室系での合成結果は表示しない．

3つの破片の速度（進行方向を $x$ ，水平で垂直な向きを $y$ ）を求めよ．
割れる前後の運動エネルギーの差を求め， $K_{内}$ と比べよ．

解答を見る

考え方 破片の速度は $v_{i} = V + v_{i}^{'}$ である．内部運動の速度の和は0になっている．

$V = (10, 0)$ ． $v_{i}^{'}$ は $(4.0, 0)$ ， $(- 2.0, 2 \sqrt{3})$ ， $(- 2.0, - 2 \sqrt{3})$ （ $m s^{- 1}$ ）で，和は $0$ になる．よって

v_{1} = (14, 0), v_{2} = (8.0, 3.5), v_{3} = (8.0, - 3.5) m s^{- 1}

運動量の和は $1.0 \times (30, 0) = (30, 0) = 3.0 \times (10, 0)$ で，割れる前に等しい．

割れた後は $\frac{1}{2} \cdot 1.0 \cdot (14^{2} + {8.0}^{2} + {3.5}^{2} + {8.0}^{2} + {3.5}^{2}) \approx 174 J$ ，前は $\frac{1}{2} \cdot 3.0 \cdot 10^{2} = 150 J$ ．差は $24 J$ ． $K_{内} = 3 \times \frac{1}{2} \cdot 1.0 \cdot {4.0}^{2} = 24 J$ と一致し，外部の分 $\frac{1}{2} M V^{2} = 150 J$ は変わらない．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

傾いた面の高さ $h = 0.50 m$ の所から，質量 $M$ ，半径 $r$ の一様な円柱を静かに放し，滑らずに転がして下まで降ろす．重力加速度を $9.8 m s^{- 2}$ とし，円柱の慣性モーメントは $I_{G} = \frac{1}{2} M r^{2}$ である．比べるために，同じ高さから滑らかな面を滑る質量 $M$ の箱も考える．

**［図：同じ高さの円柱と箱］**
円柱と箱を同じ高さから放す設定．円柱の接点の摩擦は斜面上向き，垂直抗力は面に垂直．到着速度の答えは表示しない．

下端での，円柱の重心の速さ $v$ と，箱の速さを求めよ．
円柱の運動エネルギーのうち， $K_{内}$ が占める割合を求めよ．
静止摩擦力の実際の仕事と，重心の仕事を求めよ．

解答を見る

考え方 接点は瞬間的に静止しているので，静止摩擦力の実際の仕事は0で，力学的エネルギーが保存する（第8章）．滑らずに転がるので $ω = v / r$ ．

円柱は $K = \frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} M r^{2} \cdot {(\frac{v}{r})}^{2} = \frac{3}{4} M v^{2}$ で， $\frac{3}{4} M v^{2} = M g h$ より

v = \sqrt{\frac{4 g h}{3}} = \sqrt{\frac{4 \times 9.8 \times 0.50}{3}} \approx 2.6 m s^{- 1}

箱は $\frac{1}{2} M v^{2} = M g h$ より $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{9.8} \approx 3.1 m s^{- 1}$ ．

$K_{内} = \frac{1}{2} I_{G} ω^{2} = \frac{1}{4} M v^{2}$ なので， $K$ の $\frac{1}{3}$ である．重力が与えた $M g h$ のうち， $\frac{2}{3}$ が重心の運動， $\frac{1}{3}$ が回転（内部運動）に入った．この分だけ円柱は箱より遅い．
静止摩擦力の実際の仕事は $0$ ．重心の仕事は $Δ (\frac{1}{2} M v^{2}) = \frac{2}{3} M g h$ で，重力の仕事 $M g h$ と摩擦力が重心に対して行う $- f s$ の和（ $s$ は面に沿った距離）に等しい．よって $f s = \frac{1}{3} M g h$ である．摩擦力は円柱から運動エネルギーを奪うのではなく，重心の運動のエネルギーを回転に移している．

ポイントここまでのまとめ

重心のまわりで足すと $\sum m_{i} v_{i}^{'} = 0$ ．これで交差項が消え， $K = \frac{1}{2} M V^{2} + K_{内}$ が出る．
外力の仕事のうち重心の運動を変える分は，重心の変位で計算する $\int F_{外} \cdot d R$ で，実際の仕事とは違う．走り出す人や転がる円柱では，静止摩擦力の実際の仕事は0である．
転がる剛体では，重力の仕事が重心の運動と回転（ $K_{内}$ ）に配分される．分裂や爆発は，外部の分を変えず $K_{内}$ だけを増やす．