外部運動と内部運動

外部運動と内部運動の演習

著者：柚木芹香

全体の運動を先に求め，残りを内部運動として数えてください．外力の仕事では，どの点の変位を使ったかも説明しましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

水平面上の3つの小物体A，B，Cの質量はそれぞれ $m, m, 2 m$ ，ある瞬間の速度は $(3 u, 0), (0, 3 u), (0, 0)$ である． $m, u > 0$ とする．

全運動量，重心速度，各物体の重心に対する速度を求めよ．
全運動エネルギーを外部と内部に分け，内部の運動量が0であることと矛盾しない理由を説明せよ．

**［図：3物体の質量と速度］**
AとBの直交する速度3uと，静止したCを真上から描く．質量m，m，2mを記す．

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考え方 速度の単純平均ではなく質量を重みにした平均を使う．運動量は符号付きの和，エネルギーは速度の大きさの2乗の和である．

$P = (3 m u, 3 m u)$ ， $V = (3 u / 4, 3 u / 4)$ ．したがって $v_{A}^{'} = (9 u / 4, - 3 u / 4)$ ， $v_{B}^{'} = (- 3 u / 4, 9 u / 4)$ ， $v_{C}^{'} = (- 3 u / 4, - 3 u / 4)$ ．質量を掛けて足すと各成分が0になる．
$K = 9 m u^{2}$ ．外部の分は $K_{外} = (4 m) (18 u^{2} / 16) / 2 = 9 m u^{2} / 4$ ，内部の分は差を取って $K_{内} = 27 m u^{2} / 4$ である．直接計算でも $m (90 + 90 + 36) u^{2} / 32 = 27 m u^{2} / 4$ ．逆向きの運動量は相殺するが，正のエネルギーは相殺しない．どの項も質量×速度の2乗というエネルギーの次元を持つ．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $M = 4.0 kg$ の密閉された装置が，水平な実験台に対して $V = 3.0 m s^{- 1}$ で並進している．内部の部品の，装置全体の重心に対する運動エネルギーは $8.0 J$ ，ばねの弾性エネルギーは $5.0 J$ である．

実験台から見た運動エネルギーと，ばねを含めた力学的エネルギーを求めよ．
同じ向きへ $1.0 m s^{- 1}$ で等速運動する観測者には，それぞれいくらになるか．内部の量が変わらない理由も説明せよ．

**［図：動く装置と等速の観測者］**
並進する装置の箱の中にばねと部品を描き，箱のVと観測者の速度を同方向に示す．

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考え方 観測者を変えるとすべての速度から同じ速度を引く．重心速度も同じだけ変わるので，差である内部速度は変わらない．

$K_{外} = 4.0 \times {3.0}^{2} / 2 = 18 J$ より $K = 26 J$ ， $E = K + 5.0 = 31 J$ ．部品の運動を装置の質量に含めた上で，内部の運動エネルギーも加える必要がある．
重心速度は $2.0 m s^{- 1}$ なので $K_{外} = 8.0 J$ ， $K = 16 J$ ， $E = 21 J$ ．相対速度とばねの伸びは変わらず，内部の $8.0 + 5.0 = 13 J$ は共通である．一般に観測者の速度を $w$ とすると $E (w) = M (V - w)^{2} / 2 + 13 J$ ． $w = V$ で最小になることも，重心運動の分を取り除いたという解釈に合う．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

空気抵抗のない空中で，3つの小部品が一体となり速度 $V_{0}$ で飛んでいる．質量はA，Bが $m$ ，Cが $2 m$ である．内部のばねを解放すると，瞬間的にAは重心に対し $(u, 0)$ ，Bは $(0, 2 u)$ の速度を得た．解放中の重力の力積を無視する．

Cの重心に対する速度と，必要だったばねのエネルギーを求めよ．
解放から時間 $t$ 後のCの位置を，解放時の重心位置 $R_{0}$ ，Cの重心に対する初期位置 $r_{C 0}^{'}$ ，一定の重力加速度 $g$ を用いて書け．

**［図：ばね解放直後の3部品］**
解放直後のAの内部速度(u,0)とBの内部速度(0,2u)，Cの位置を描く．Cの速度は描かない．

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考え方 爆発・解放でも内部速度の質量付きの和は0である．解放後は各部品と重心が同じ重力加速度を受ける．

$m (u, 0) + m (0, 2 u) + 2 m v_{C}^{'} = 0$ から $v_{C}^{'} = (- u / 2, - u)$ ．外部の運動エネルギーは変わらないので，損失のない解放に必要なばねのエネルギーは

Q = \frac{1}{2} m u^{2} + \frac{1}{2} m (2 u)^{2} + \frac{1}{2} (2 m) (\frac{u^{2}}{4} + u^{2}) = \frac{15}{4} m u^{2}

である． $V_{0}$ が式に入らないことが重要である．

$R (t) = R_{0} + V_{0} t + g t^{2} / 2$ で，重心に対するCの加速度は0．したがって

r_{C} (t) = R_{0} + V_{0} t + \frac{1}{2} g t^{2} + r_{C 0}^{'} + (- u / 2, - u) t

となる． $u \to 0$ なら3部品は位置関係を保って自由落下する．内部の相対的な広がりと，重心全体の落下を別々に足せばよい．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

水平面上に静止した，質量 $M$ ，半径 $R$ の一様な円板を考える．円板の面は水平で，面との摩擦はない．短い時間，円板の中心から距離 $b (0 \leq b \leq R)$ の点へ，その点への半径と垂直な水平力を加えた．力積の大きさは $J$ ，中心まわりの慣性モーメントは $M R^{2} / 2$ である．

直後の外部と内部の運動エネルギーを求めよ．
外力の実際の仕事と重心の仕事はどう違うか． $b = R$ の場合の比も求めよ．

**［図：円板への偏心した力積］**
水平円板の中心G，半径R，Gからbの作用点と接線方向の力積Jを真上から示す．

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考え方 重心の並進は力積で，回転は力積のモーメントで決まる．同じ外力が両方を変える例である．

$M V = J$ ， $I_{G} ω = J b$ より $V = J / M$ ， $ω = 2 J b / (M R^{2})$ ．したがって $K_{外} = J^{2} / (2 M)$ ， $K_{内} = J^{2} b^{2} / (M R^{2})$ である．力積の向きを正に選んだ回転の符号を使えば，エネルギーは常に非負になる．
変形・発熱を無視した理想剛体では，実際の仕事は両者の和 $W = J^{2} / (2 M) + J^{2} b^{2} / (M R^{2})$ ．重心の仕事は $W_{G} = J^{2} / (2 M)$ だけである． $b = R$ では $W / W_{G} = 3$ ．短時間だからといって，仕事も0とはできない．力が大きく，作用点の速度も変わるからである． $b = 0$ なら回転は生じず両仕事は一致する．これは外力が内部運動も変えうる明瞭な例である．

ポイント教える人へ

「内部の運動量は0」と「内部では誰も動かない」を区別できるか，演習1の速度を図に描かせて確かめてください．
座標系の変更では，各速度と重心速度から同じ量を引く手順を言葉にさせます．
仕事を計算する前に，重心と力の作用点のどちらが動いたかを問いかけます．外力が内部運動を変える演習4を，外力が無視できる演習3と比較すると，適用条件を確かめられます．