外部運動と内部運動

角運動量の分解

著者：柚木芹香

問い

リレーのバトンを回しながら投げ上げると，バトンの重心は放物線を描き，バトン自身は同じ速さで回り続けます．重力は絶えずバトンを引いているのに，なぜ自転の速さは乱れないのでしょうか．地球も，太陽のまわりを回りながら（公転），自分でも回っています（自転）．この2つの回転は，別々に保たれる量なのでしょうか．

**［図：投げたバトンの並進と回転］**
回しながら投げたバトンのストロボ写真風の図．一定の間隔で描いた棒が放物線に沿って並び，各位置の重心に黒点を打つ．棒の向きは一定の角ずつ回っている．

考えてみる

バトンを鉛直面内の質点系と見て，原点 O のまわりの角運動量 $L$ を考えます．第8章で見たように，質点系の $\frac{d L}{d t}$ は O のまわりの外力のトルクの和に等しく，内力の分は打ち消し合います．一様な重力 $m_{i} g$ のトルクの和は $\sum r_{i} \times m_{i} g = M R \times g$ で，重心が動くにつれて変わり続けます．つまり，O のまわりの $L$ は保存しません．それでも回転の速さは変わりません． $L$ のうち，変わる部分と変わらない部分が混ざっているのではないか，と考えます．そこで運動量やエネルギーと同じように，重心の運動と，重心から見た運動に分けてみます．

角運動量の分解

位置 $r_{i} = R + r_{i}^{'}$ ，速度 $v_{i} = V + v_{i}^{'}$ と分けます． $\sum m_{i} r_{i}^{'} = 0$ ， $\sum m_{i} v_{i}^{'} = 0$ でした． $L = \sum m_{i} r_{i} \times v_{i}$ に代入して展開すると

L = M R \times V + R \times \sum m_{i} v_{i}^{'} + (\sum m_{i} r_{i}^{'}) \times V + \sum m_{i} r_{i}^{'} \times v_{i}^{'}

です．中の2項は0になります．

定理角運動量の分解

L = R \times P + L^{'}, L^{'} = \sum_{i} m_{i} r_{i}^{'} \times v_{i}^{'}

第1項は全質量が重心に集まったとしたときの角運動量（外部運動）． $L^{'}$ は重心のまわりの角運動量（内部運動）である．

重心のまわりのトルク

$L$ の変化は $\frac{d L}{d t} = \sum (R + r_{i}^{'}) \times F_{i} = R \times F_{外} + \sum r_{i}^{'} \times F_{i}$ です．第1項は $\frac{d}{d t} (R \times P) = V \times P + R \times F_{外}$ と一致し（ $V ∥ P$ で前者は0），残りが $L^{'}$ の変化になります．

法則内部運動の角運動量

内力が質点を結ぶ直線の向きなら，重心のまわりの外力のトルクを $τ_{G} = \sum r_{i}^{'} \times F_{i}$ として

\frac{d L^{'}}{d t} = τ_{G}

である．重心が加速していても成り立つ．

重心が加速していても成り立つ理由を，重心から見た量だけで確かめておきます．重心から見た加速度は $a_{i}^{'} = a_{i} - A$ （ $A = \frac{d V}{d t}$ ）で， $v_{i}^{'} \times v_{i}^{'} = 0$ だから

\frac{d L^{'}}{d t} = \sum m_{i} r_{i}^{'} \times a_{i}^{'} = \sum r_{i}^{'} \times F_{i} - (\sum m_{i} r_{i}^{'}) \times A

です．最後の項は $\sum m_{i} r_{i}^{'} = 0$ より0で，重心の加速は $L^{'}$ に影響しません．この見方は，第11章で「見かけの力」として言い直します．

一様な重力なら $τ_{G} = (\sum m_{i} r_{i}^{'}) \times g = 0$ なので， $L^{'}$ は一定です．変わるのは $R \times P$ だけです．これがバトンの答えで，無重量の宇宙船の中でも同じ回り方をします．

剛体と2体

この章で扱う平面運動の剛体では，面に垂直な重心軸のまわりの角速度を $ω$ とすると， $L^{'}$ の大きさは $I_{G} ω$ ，運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ です．第8章の転がりで $I_{G} α = τ_{G}$ が重心の加速に関係なく使えたのも，この分解の一例です．撃力で叩かれた剛体など，衝突の問題は後の節で3つの保存則を使って解きます．地球では，公転の $R \times P$ が約 $2.7 \times 10^{40} kg m^{2} s^{- 1}$ ，自転の $I_{G} ω$ が約 $5.8 \times 10^{33} kg m^{2} s^{- 1}$ と，桁がまるで違います．

2体では， $r = r_{1} - r_{2}$ ， $v_{rel} = v_{1} - v_{2}$ として $L^{'} = μ r \times v_{rel}$ です（次の節で導きます）．

3つの分解

量	外部運動	内部運動	内力は内部の分を	全体が保存する条件
運動量	$P = M V$	0（常に）	変えない	$F_{外} = 0$
運動エネルギー	$\frac{1}{2} M V^{2}$	$K_{内}$	変えうる	外力と内力の仕事の和が0
角運動量	$R \times P$	$L^{'}$	変えない	$\sum r_{i} \times F_{i} = 0$

外力の条件ごとに整理します．外力が無ければ $P$ ， $R \times P$ ， $L^{'}$ が別々に保存します．一様な重力だけなら $P$ と $R \times P$ は変わりますが， $L^{'}$ は保存します． $K_{内}$ は内力の仕事でも，重心に対する各作用点での外力の仕事でも変わりますが，運動量と $L^{'}$ は内力では変わりません． $L^{'}$ を変えるのは，重心のまわりの外力のトルクだけです．

ポイントここまでのまとめ

全角運動量は $L = R \times P + L^{'}$ （軌道の分＋重心のまわりの分）に分かれる．
$\frac{d L^{'}}{d t} = τ_{G}$ は重心が加速していても成り立つ． $\sum m_{i} r_{i}^{'} = 0$ で重心の加速の項が消える．
一様な重力では $τ_{G} = 0$ なので，バトンの回転は一定である．公転と自転も分けて扱えるが，それぞれの保存には対応するトルクが0という条件が要る．
剛体では $L^{'} = I_{G} ω$ ， $K = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ ．2体では $L^{'} = μ r \times v_{rel}$ ．
内力で変えられるのは $K_{内}$ だけ． $P$ は外力， $L^{'}$ は重心のまわりの外力のトルクだけが変える．