回転と剛体

第8章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，並進の運動量・力・質量に対応する角運動量・トルク・慣性モーメントを導入し，質点の回転から，剛体のつり合い，固定軸のまわりの回転，剛体の平面運動，転がりへと進みました．ここで定義と法則を一覧にし，各節の最初の問いに短く答えます．

定義と法則

法則角運動量とトルク

原点に対する質点の角運動量 $L = r \times p$ ，トルク（力のモーメント） $τ = r \times F$ ．外積の大きさは $| a \times b | = | a | | b | \sin θ$ （平行四辺形の面積）で，向きは $a$ から $b$ へ回す右ねじの向きである．
運動方程式から $\frac{d L}{d t} = τ$ ．トルクが0なら角運動量は保存する．
力が常に原点に向かう（中心力）なら $τ = 0$ で $L$ は一定．面積速度 $\frac{d A}{d t} = \frac{L}{2 m}$ が一定になる（ケプラーの第2法則）．
質点系では，内力が質点を結ぶ直線の向きなら内力のトルクは打ち消し合い，全角運動量の変化は外力のトルクだけで決まる．

法則剛体のつり合い

剛体がつり合う条件は，外力の合力が $0$ ，任意の点のまわりの外力のモーメントの和が0であること．平面でのモーメントは $N_{O} = x F_{y} - y F_{x}$ （反時計回りが正）で，垂直抗力 $N$ とは区別する．
力のモーメントは，力の作用線上で力を動かしても変わらない．大きさが等しく逆向きで作用線が違う2力（偶力）は，合力が0でもモーメントを持つ．
重力は，物体全体では重心に働く1つの力として扱える．

法則固定軸のまわりの回転

慣性モーメント $I = \sum m_{i} r_{i}^{2} = \int r^{2} d m$ ．回転の運動方程式 $I α = τ$ （ $α = \ddot{θ}$ ）．
回転の運動エネルギー $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ ，角運動量 $L = I ω$ ．
平行軸の定理 $I = I_{G} + M d^{2}$ ．
実体振り子（微小振動）の周期 $T = 2 π \sqrt{\frac{I}{M g d}}$ ．

法則剛体の平面運動

剛体の平面運動は，基準点 $O^{'}$ の並進と， $O^{'}$ のまわりの回転に分けられる．角速度 $ω$ は基準点の選び方によらない．
$O^{'}$ から点 P へのベクトルを $r^{'}$ ，角速度ベクトルを $ω = ω e_{z}$ （反時計回りが正）とすると， $v_{P} = V + ω \times r^{'}$ ， $a_{P} = A + α e_{z} \times r^{'} - ω^{2} r^{'}$ ． $e_{z} \times (x, y) = (- y, x)$ ．
速度が0の点が瞬間回転中心 I．2点の速度に垂直な直線の交点で，各点の速度は I からの線分に垂直で I からの距離に比例する．I は固定軸ではなく，I にある点の加速度は0とは限らない．

法則転がり

剛体の運動を力で決めるときは，重心の並進 $M a_{G} = F_{外}$ と，重心のまわりの回転 $I_{G} α = τ_{G}$ に分ける．運動エネルギーは $\frac{1}{2} M v^{2} + \frac{1}{2} I_{G} ω^{2}$ ．
滑らずに転がる条件は，進む向きと回転の正の向きを合わせて $v = R ω$ ， $a = R α$ ．接点は瞬間回転中心で，その速度は0である．
静止した斜面を滑らずに転がる場合，静止摩擦力は接点で仕事をせず，重力以外の仕事や空気抵抗などの散逸を無視すれば，力学的エネルギーが保存する．
支点が固定された軸対称のコマが速く自転し，傾きをほぼ一定に保って遅く歳差するとき，歳差の角速度は $Ω \approx \frac{M g r}{I ω}$ （ $I$ は自転軸まわりの慣性モーメント， $ω$ は自転の角速度）．

手順

ポイント剛体の問題を解く手順

運動の種類を決める．つり合い，固定軸のまわりの回転，平面運動（転がりを含む）のどれかを見分ける．速度の関係だけを問われたら，瞬間回転中心を探す．
物体に働く力をすべて図に描く．作用点を正しく置くことが，トルクの計算の前提である．
つり合いなら，合力0とモーメント0を立てる．モーメントの中心は，未知の力が多く通る点を選ぶと式が減る．
回転の運動方程式 $I α = τ$ では，軸（または重心）を決めて，トルクの符号を回転の向きで統一する．
滑らずに転がるなら $v = R ω$ ，糸がほどけるなら糸の点の速度で結ぶ．滑るなら動摩擦力を使う．
力が不明のときは，角運動量の保存やエネルギー保存が使えないかを考える．極端な場合（質量が0， $I \to 0$ など）で検算する．

主な公式

$L = r \times p$ ， $τ = r \times F$ ， $\frac{d L}{d t} = τ$
$I α = τ$ ， $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ ， $I = I_{G} + M d^{2}$
慣性モーメント：輪 $M R^{2}$ ，円板 $\frac{1}{2} M R^{2}$ ，球 $\frac{2}{5} M R^{2}$ ，棒の中心 $\frac{1}{12} M l^{2}$ ，棒の端 $\frac{1}{3} M l^{2}$
平面運動： $v = V + ω \times r^{'}$ ，瞬間回転中心 $r_{I} = r_{O^{'}} + \frac{e_{z} \times V}{ω}$
斜面を転がる物体： $a = \frac{g \sin θ}{1 + k}$ （ $I_{G} = k M R^{2}$ ）

各節の問いへの答え

角運動量とトルク：フィギュアスケートの選手が腕を縮めると，外から回転を妨げるトルクがほぼ無いので $L = I ω$ が保存し， $I$ が小さくなった分だけ $ω$ が大きくなる．質点で半径が半分になれば $I \propto r^{2}$ は $\frac{1}{4}$ ，角速度は4倍になる．
剛体のつり合い：はしごが滑らない条件は，合力0とモーメント0の連立で決まり，床の摩擦力が最大摩擦力以下であることから，寝かせられる限界の角度が出る．なめらかな壁に立てかけた一様なはしごでは，床との角を $θ$ ，床との静止摩擦係数を $μ$ として， $\tan θ \geq \frac{1}{2 μ}$ のとき滑らない（ $μ = 0.50$ なら $θ \geq 45^{\circ}$ ）．
固定軸のまわりの回転：質量と半径が同じなら，輪 $I = M R^{2}$ ，円板 $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ で，同じトルクなら円板の角加速度が2倍になる．円板のほうが速く回り出す．質量が軸の近くにあるほど回しやすい．
剛体の平面運動：倒れていくはしごの各点は，瞬間回転中心（壁と床の交点 O の向かい側の，長方形の頂点）からの線分に垂直な向きに動く．真ん中の点は O を中心とする半径 $l / 2$ の円弧を描く．
転がり：斜面を転がる順は，球，円板，輪である． $a = \frac{g \sin θ}{1 + k}$ で， $k$ は球が $\frac{2}{5}$ ，円板が $\frac{1}{2}$ ，輪が1である．質量や半径には依らない．

この章で使った数学

外積（定義，成分，右ねじ，微分，紙面に垂直なベクトルとの外積で90度回す），瞬間回転中心の作図と座標での計算，2次元のモーメントのスカラー計算，積分による慣性モーメントの計算，束縛条件の微分，速度の分解によるエネルギーの分離がありました．