電流が作る磁場とアンペールの法則

問い

1820年，エルステッドは，電池につないだ導線のそばに置いた方位磁針が向きを変えることに気づきました．磁針は導線の方を向くのでも，導線から離れる向きを向くのでもなく，導線に垂直な向きにふれました．電流を逆向きにすると，ふれる向きも逆になりました．電流はどんな形の磁場を作るのでしょうか．

考えてみる

止まっている電荷は，電荷から放射状に出ていく電場を作りました（第20章）．磁場にも同じように「磁気の電荷」があって，そこから磁場が出ていると考えたくなります．ところが，まっすぐな電流のまわりに方位磁針をいくつも並べると，磁針は導線を囲む円に沿ってそろいます．磁力線は導線を中心とする円で，始まりも終わりもありません．磁場は電流を「囲む」ように作られるのです．

向きが，電流の向きにも，電流から見た点の向きにも垂直なのは，前の題材のローレンツ力と同じく外積の形です．ビオとサバールは，長い直線電流の磁場の強さが電流に比例し，距離に反比例することを測り，それを電流の小さな部分ごとの寄与に分ける式にまとめました．

ビオ・サバールの法則

大きさは ${\mu }_{0}I\mathrm{d}l\sin \theta /(4\pi r^2)$（$\theta$ は $\mathrm{d}\mathit{l}$ と $\mathit{r}$ のなす角）で，クーロンの法則と同じ逆2乗です．違うのは向きで，$\mathrm{d}\mathit{B}$ は電流の部分のまわりを回る向きを向きます．${\mu }_0$ は 2019 年までの SI では $4\pi \times {10}^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-2}$ ちょうどと定められていました．今は測って決める量ですが，この値と ${10}^{-9}$ の割合より細かいところでしか違わないので，この本では $4\pi \times {10}^{-7}\mathrm{N}{\mathrm{A}}^{-2}$ を使います．

ビオ・サバールの法則を積分すると，次の結果が出ます（積分は数学の節で行います）．

直線電流で $I=1\mathrm{A}$，$r=1\mathrm{cm}$ なら $B=2\times {10}^{-7}\times 1/0.01=2\times {10}^{-5}\mathrm{T}$ で，地磁気と同じ程度です．円電流の軸上の磁場は，$z$ が $R$ よりずっと大きいと $z^{-3}$ で弱まり，第20章の電気双極子の場と同じ形になります．円電流は小さな磁石としてふるまい，第3題材でこれを磁気モーメントとして扱います．

磁力線は閉じている

電気力線は正の電荷から出て負の電荷に入ります．電流が作る磁力線は，直線電流でも円電流でも閉じた曲線です．棒磁石の磁力線は外ではN極から出てS極に入りますが，磁石の内部をS極からN極へ通ってつながっていて，やはり閉じています（磁石の正体は第4題材で見ます）．N極だけ，S極だけを取り出した粒子（磁気単極子）は，探されてきましたが見つかっていません．

面を貫く磁場の流束を磁束といい，$\mathrm{\Phi }={\int }_S\mathit{B}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{S}$（単位 $\mathrm{Wb}=\mathrm{T}{\mathrm{m}}^2$）と書きます．$\mathrm{d}\mathit{S}$ は，向きが面の法線の向きで，大きさが面の小さな部分の面積であるベクトルです．磁力線が閉じていることは，第20章のガウスの法則にならって次のように言えます．

アンペールの法則

電場では流束が電荷を数えました．磁場で電流を数えるのは，閉じた道に沿った線積分です．直線電流のまわりの半径 $r$ の円に沿って一周すると，$B$ は円の接線の向きで大きさが一定なので，線積分は $B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I$ で，半径によりません．

道が円でなくても同じです．導線を軸とする円柱座標で，道の小さな部分 $\mathrm{d}\mathit{l}$ を半径の向きと円周の向きに分けると，磁場は円周の向きなので，効くのは円周の向きの部分 $r\mathrm{d}\phi$ だけです．すると $\mathit{B}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{l}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}r\mathrm{d}\phi ={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }}\mathrm{d}\phi$ で，距離が消えます．道が導線を1回囲めば一周で $\phi$ は $2\pi$ 増えて ${\mu }_{0}I$，囲まなければ $\phi$ は元に戻って0です．電流がいくつあっても，それぞれの磁場の和なので，囲んだ電流だけが残ります．ビオ・サバールの法則から，どんな形の定常電流でも同じことが言えます．

ガウスの法則と同じく，この法則で磁場が求められるのは，対称性から磁場の向きが分かり，道に沿って大きさが一定になる場合です．半径 $a$ の太い導線に電流 $I$ が一様に流れていれば，半径 $r$ の円が囲む電流は，内部では $I{r}^2/a^2$ なので

です．長いソレノイドでは，内部の磁場は軸に平行で，外部の磁場はほぼ0です．軸に平行な辺の長さ $l$ の長方形の道を，1辺が内部，もう1辺が外部に来るように置くと，軸に垂直な2辺は磁場に垂直で寄与しません．囲む電流は $nlI$ なので $Bl={\mu }_{0}nlI$，つまり $B={\mu }_{0}nI$ で，内側の辺を断面のどこに置いても同じです．内部の磁場は一様です．

湧き出しはなく，電流のまわりに渦がある（発展）

第20章では，ガウスの定理で流束の法則を各点の発散の式に，ストークスの定理で一周の線積分の法則を各点の回転の式に書き直しました．磁場の2つの法則を同じように書き直すと（数学の節で導きます），次のようになります．

静電場と並べると，違いがはっきりします．

静電場は電荷という湧き出しから流れ出す場で，渦はありません．静磁場は湧き出しがなく，電流のまわりに渦を巻く場です．場が時間とともに変わるときには，それぞれの回転の式に項が加わり，第24章でマクスウェル方程式の4つの式にまとまります．

（発展）ベクトルポテンシャル　発散が0の場は，別のベクトル場 $\mathit{A}$ の回転として $\mathit{B}=\mathbf{\nabla }\times \mathit{A}$ と書けます．静電場が $\mathit{E}=-\mathbf{\nabla }V$ と書けたのと対になる量で，$\mathit{A}$ をベクトルポテンシャルといいます．この本では名前だけにとどめます．

地磁気

地球の磁場は，地球の中心に，自転軸から ${10}^{\circ }$ ほど傾けた棒磁石を置いたような形です．方位磁針のN極が北を指すので，地理上の北極の近くにあるのは磁石のS極です．日本付近では磁場の大きさが $4.6\times {10}^{-5}\mathrm{T}$ ほどで，水平面から下へ ${50}^{\circ }$ ほど傾き，水平成分は $3.0\times {10}^{-5}\mathrm{T}$ ほどです．水平面内で回れる方位磁針は，その場所の磁場の水平成分（地磁気と，近くの電流が作る磁場の合成）の向きを指します．エルステッドの実験で磁針がふれる角は，地磁気の水平成分と電流の磁場の比で決まります．

地磁気の源は，地球の外核で液体の鉄が流れることで生じる電流です．地球の内部は鉄が磁石でいられる温度（第4題材のキュリー温度）より高いので，永久磁石ではありえません．

適用の条件

ここで使った式は，電流が時間とともに変わらない（定常な）場合のものです．電流が変わるときのアンペールの法則には，第24章で1項を足します．「十分長い直線」は導線の長さ $L$ が距離 $r$ よりずっと長いことで，長さ $L$ の線分の中央の正面では磁場が ${\mu }_{0}I/(2\pi r)$ より約 $2r^2/L^2$ の割合だけ小さくなります．ソレノイドの $B={\mu }_{0}nI$ も，長さが半径よりずっと長く，端から十分離れた所で使えます．導線の太さは，磁場を考える点までの距離よりずっと小さいとし，まわりは真空（空気の透磁率は ${\mu }_0$ とほとんど同じ）としています．

問いに戻る

エルステッドの導線は，まわりに同心円の磁力線を作ります．導線のそばの方位磁針は，その円の接線の向き，つまり導線に垂直な向きの磁場を受け，地磁気の水平成分との合成の向きまでふれます．電流を逆にすれば円を回る向きが逆になるので，磁針も逆にふれます．電流を円にすると磁力線は輪をくぐって閉じ，遠くからは小さな磁石に見えます．コイルを長く巻けば，内部に一様な磁場ができます．どの場合も，磁場は湧き出しのない，電流を囲む渦の形をしています．