電流と磁場

磁場の中の荷電粒子の演習

著者：柚木芹香

速度の成分と曲がる向きを確かめてください．重力，粒子間の力，放射損失を無視し，速さは光速より十分小さいとします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

質量 $m = 6.4 \times 10^{- 27} kg$ ，電荷 $q = 3.2 \times 10^{- 19} C$ の正イオンを，一様磁場 $B = 0.20 T$ に入射させます．速さは $v = 2.0 \times 10^{5} m s^{- 1}$ ，磁場との角 $θ$ は $\sin θ = 0.60, \cos θ = 0.80$ です．電場はありません．

らせんの半径，回転周期，1回転の間に磁場方向へ進む距離を求めよ．
速さだけを2倍にしたときの各量の倍率と，磁気力の仕事を答えよ．

**［図：磁場とイオンの入射速度］**
正イオンの入射速度vと一様磁場Bのなす角θを示す．破線は速度の平行成分と垂直成分を読むための投影である．

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考え方 垂直成分は円運動をし，平行成分は変わらない．

$v_{⟂} = v \sin θ = 1.2 \times 10^{5} m s^{- 1}$ ， $v_{∥} = v \cos θ = 1.6 \times 10^{5} m s^{- 1}$ ．向心力の式 $m v_{⟂}^{2} / r = q v_{⟂} B$ より $r = m v_{⟂} / (q B) = 1.2 \times 10^{- 2} m$ ．周期は $T = 2 π r / v_{⟂} = 2 π m / (q B) = 6.3 \times 10^{- 7} s$ ．ピッチは $p = v_{∥} T = 0.10 m$ である．
半径とピッチは2倍，周期は1倍．仕事率は $q (v \times B) \cdot v = 0$ なので仕事も0である．速さが一定でも，速度の向きは変わる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

陽子を磁場 $B = 0.40 T$ ，使用できる軌道の最大半径 $R = 0.20 m$ のサイクロトロンで加速します．陽子の質量は $m = 1.7 \times 10^{- 27} kg$ ，電荷は $e = 1.6 \times 10^{- 19} C$ です．すき間を半回転ごとに通り，各通過で加速電圧 $V = 2.0 \times 10^{3} V$ によるエネルギー $e V$ を得ます．すき間の幅と初期エネルギーは0とします．

加速電場の振動数と，収容できる最大運動エネルギーを求めよ．
半径の限界を超えない加速回数の最大整数を求めよ．光速 $c = 3.0 \times 10^{8} m s^{- 1}$ と比べ，近似を点検せよ．

**［図：サイクロトロンの電極と加速すき間］**
二つの半円形電極の間に加速電圧Vを加える．紙面手前向きの一様磁場Bと使用可能な最大半径Rを示す．すき間は見やすく広げてある．

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考え方 半回転ごとに電場を反転させ，電場の仕事で加速する．

周期 $T = 2 π m / (e B)$ の電場なら半周期で反転する．したがって $f = e B / (2 π m) = 6.0 \times 10^{6} Hz$ ． $v_{max} = e B R / m$ より $K_{max} = e^{2} B^{2} R^{2} / (2 m) = 4.8 \times 10^{- 14} J$ ．
$n e V \leq K_{max}$ より，丸める前の値を使うと $n \leq 150.588 \dots$ で最大150回． $v_{max} = 7.5 \times 10^{6} m s^{- 1}$ ， $v_{max} / c = 0.025$ で，捨てた相対論的補正の尺度 $v_{max}^{2} / c^{2} = 6.3 \times 10^{- 4}$ は小さい．すき間の通過時間も半周期に比べて十分短いことが前提である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

正イオンを静止から電圧 $V$ で加速し，速度に垂直な一様磁場 $B = 0.10 T$ に入れます．実際の加速電圧には一定のずれ $V_{0}$ があり， $m v^{2} / 2 = q (V + V_{0})$ とします．測定値は次のとおりです．

$V$ （ $V$ ）	$r^{2}$ （ $m^{2}$ ）
100	$4.8 \times 10^{- 4}$
200	$8.8 \times 10^{- 4}$
300	$1.28 \times 10^{- 3}$

直線化によって $q / m, V_{0}$ を決め，3点目を検算せよ．
傾きの相対不確かさを0.020， $B$ の相対不確かさを0.010とする．小さい不確かさを足して上限を見積もるとき， $q / m$ の相対不確かさを求めよ．

**［図：加速部と半径の測定領域］**
正イオンを電圧Vで加速して磁場Bの領域へ入れる．加速電圧には一定のずれV₀がある．磁場内で測る円弧の半径rを示す．

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考え方 速さを消して直線の傾きと切片を読む．

$r = m v / (q B)$ から $r^{2} = 2 m (V + V_{0}) / (q B^{2}) = a V + b$ ．最初の2点より $a = 4.0 \times 10^{- 6} m^{2} V^{- 1}$ ， $b = 8.0 \times 10^{- 5} m^{2}$ ．よって $q / m = 2 / (a B^{2}) = 5.0 \times 10^{7} C {kg}^{- 1}$ ， $V_{0} = b / a = 20 V$ ．3点目は $a \times 300 + b = 1.28 \times 10^{- 3} m^{2}$ で一致する．
$q / m \propto a^{- 1} B^{- 2}$ なので，相対不確かさの上限は $0.020 + 2 \times 0.010 = 0.040$ ，4.0 %である．これは不確かさの2次の項を無視する近似で，各相対不確かさが1より十分小さい範囲で使う．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

$x y$ 平面で， $0 < x < d$ に $+ z$ 向き， $d < x < 2 d$ に $- z$ 向きの同じ強さ $B$ の磁場があります．他の領域の磁場と電場は0です．質量 $m$ ，電荷 $q > 0$ の粒子を原点から $+ x$ 向きに速さ $v$ で入射させます．境界で速度は連続で， $r = m v / (q B), 0 < d < r$ とします．

第1領域から出るまでの時間と，境界での位置と速度を求めよ．
$x = 2 d$ に達する位置，速度，全通過時間を求めよ． $d = \sqrt{3} r / 2$ の場合も示せ．

**［図：逆向きの磁場をもつ二つの領域］**
xが0からdでは磁場は紙面手前向き，dから2dでは奥向きである．正電荷の粒子は原点から正のx方向へ速さvで入射する．

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考え方 位置と速度を引き継ぐ．

$ω = q B / m$ とし，最初の円弧の回転角を $ϕ$ とすると $x = r \sin ϕ, y = r (\cos ϕ - 1)$ ， $v_{x} = v \cos ϕ, v_{y} = - v \sin ϕ$ ． $α = \arcsin (d / r)$ で出るので， $t_{1} = α / ω$ ，位置は $(d, - r (1 - \cos α))$ ，速度は $(v \cos α, - v \sin α)$ である．
第2領域での経過時間を $s$ とすると速度の角は $- α + ω s$ ．変位は

Δ x = r [\sin (- α + ω s) + \sin α], Δ y = r [\cos α - \cos (- α + ω s)]

$s = α / ω$ まで $v_{x} > 0$ で， $Δ x = d$ ．出口は $(2 d, - 2 r (1 - \cos α))$ ，速度は $(v, 0)$ ，全時間は $2 α / ω$ ．指定値では $α = π / 3$ ，出口は $(\sqrt{3} r, - r)$ ，時間は $2 π / (3 ω)$ ． $d / r \to 0$ で横変位は $- d^{2} / r$ に近づき，全時間は直進の $2 d / v$ に戻る．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

$+ y$ 向きの一様電場 $E$ と $+ z$ 向きの一様磁場 $B$ の中で，質量 $m$ ，電荷 $q > 0$ の粒子を原点から静止状態で放します．場は時間によらず， $ω = q B / m, u = E / B$ とします．

運動方程式から $x (t), y (t)$ を求めよ．
放した後で初めて $y = 0$ に戻る時刻と位置を求めよ．最大の速さと，電場の仕事による検算も示せ．

**［図：直交する電場と磁場中の初期状態］**
正電荷qの粒子を原点から静かに放す．電場Eは正のy方向，磁場Bは紙面手前の正のz方向である．

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考え方 速度の定数成分を引き，単振動の式にする．

$\frac{d v_{x}}{d t} = ω v_{y}$ ， $\frac{d v_{y}}{d t} = ω (u - v_{x})$ ． $w = v_{x} - u$ とおけば $\frac{d^{2} w}{d t^{2}} = - ω^{2} w$ ．初期条件 $w (0) = - u, \frac{d w}{d t} (0) = 0$ より $v_{x} = u (1 - \cos ω t), v_{y} = u \sin ω t$ ．積分して

x = u (t - \frac{\sin ω t}{ω}), y = \frac{u}{ω} (1 - \cos ω t)

サイクロイドである．

初めて戻るのは $t = 2 π / ω$ ，位置は $(2 π u / ω, 0)$ ．速さの2乗は $v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = 2 u^{2} (1 - \cos ω t)$ だから最大は $2 u$ ．磁気力は仕事をせず， $K = m u^{2} (1 - \cos ω t) = q E y$ は電場の仕事と一致する．非相対論的近似には，最大速度での無次元量 $2 E / (B c)$ が1より十分小さいことが必要である．

ポイント教える人へ

電荷の符号と曲がる向きを問います．
半径に使う成分と周期の独立性を確認します．
軌道の接続では位置と速度の両方を引き継がせます．
測定の切片と不確かさ，仕事をする場，近似の条件を説明させます．