ビオ・サバールの積分と磁場の回転

本体の節で結果だけ示した直線電流と円電流の磁場を，ビオ・サバールの法則の積分で導きます．後半（発展）では，アンペールの法則を各点の式 $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{j}$ に書き直し，「回転の発散は0」という恒等式が何を意味するかを見ます．

外積は第8章で角運動量に使いました．$x\to y\to z\to x$ の順なら正と覚えておけば，磁場や力の向きを成分の計算で確かめられます．

位置 $z$ にある部分 $\mathrm{d}\mathit{l}=\mathrm{d}z{\mathit{e}}_z$ から P へのベクトルは $\mathit{r}=d{\mathit{e}}_x-z{\mathit{e}}_z$ なので，$\mathrm{d}\mathit{l}\times \mathit{r}=d\mathrm{d}z{\mathit{e}}_z\times {\mathit{e}}_x=d\mathrm{d}z{\mathit{e}}_y$ です．すべての部分の寄与が $+y$ 向きにそろうので，大きさを足せばよく

です．$z=d\tan \beta$ とおくと $\mathrm{d}z=d\mathrm{d}\beta /{\cos }^2\beta$，${(d^2+z^2)}^{3/2}=d^3/{\cos }^3\beta$ なので，被積分関数は $\cos \beta \mathrm{d}\beta /d$ になり，上の式が出ます．十分長い導線では ${\beta }_1\to -\pi /2$，${\beta }_2\to \pi /2$ で $B={\mu }_{0}I/(2\pi d)$ です．中央の正面から半分の開き角 $\alpha$ で見える線分なら $B={\mu }_{0}I\sin \alpha /(2\pi d)$ です．

円の上のどの部分 $\mathrm{d}\mathit{l}$ も，P へのベクトル $\mathit{r}$（長さ $\sqrt{R^2+z^2}$）に垂直なので，寄与の大きさは ${\mu }_{0}I\mathrm{d}l/\left(4\pi (R^2+z^2)\right)$ です．その向きは $\mathit{r}$ に垂直で，軸を含む面の中にあります．軸に垂直な成分は，円の反対側の部分の寄与と打ち消し合い，軸の向きの成分だけが残ります．その割合は $R/\sqrt{R^2+z^2}$ なので，$\mathrm{d}l$ の和 $2\pi R$ を掛けて上の式になります．$z=0$ で $B={\mu }_{0}I/(2R)$ です．中心では，中心角 $\mathrm{d}\phi$ の円弧（長さ $R\mathrm{d}\phi$）の寄与が ${\mu }_{0}I\mathrm{d}\phi /(4\pi R)$ なので，円弧の一部だけの電流も中心角に比例して数えられます．

練習1　片側にだけ十分長い直線電流 $I$ がある．導線の端を通り導線に垂直な直線の上で，端から $d$ の点の磁場の大きさを求めよ．

練習2　1辺 $s$ の正方形のコイルに電流 $I$ を流す．中心の磁場の大きさを求め，周の長さが同じ円形のコイルの中心の磁場と比べよ．

答え　練習1：${\beta }_1=0$，${\beta }_2=\pi /2$ で $B={\mu }_{0}I/(4\pi d)$．無限に長い直線の半分である．練習2：各辺は $d=s/2$，$\alpha =\pi /4$ で ${\mu }_{0}I\sin (\pi /4)/(2\pi \cdot s/2)$．4辺がそろうので $B=2\sqrt{2}{\mu }_{0}I/(\pi s)\approx 0.90{\mu }_{0}I/s$．周が $4s$ の円は半径 $2s/\pi$ で $B=\pi {\mu }_{0}I/(4s)\approx 0.79{\mu }_{0}I/s$．正方形のほうが少し大きい．

アンペールの法則の道の選び方

アンペールの法則で磁場が求まるのは，道の各部分で $\mathit{B}$ が道に平行で大きさが一定か，道に垂直か，$\mathit{B}=0$ か，のどれかになるように道を選べるときです．そのために，まず対称性で磁場の向きを決めます．十分長い直線電流のまわりで，磁場に半径の向きの成分 $B_r$ があると，軸を囲む長さ $l$ の円柱の側面から $2\pi rl{B}_r$ の磁束が出て，磁場のガウスの法則に反します．軸の向きの成分は，軸を含む面の長方形の道に法則を使うと $r$ によらず，遠くで0なので0です．残る円周の向きの成分には，同心円の道を選びます．

微分形への書き直し（発展）

アンペールの法則の右辺の電流を電流密度で $I_{\mathrm{in}}={\int }_S\mathit{j}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{S}$ と書き，左辺にストークスの定理を使うと

です．これが $C$ をどこにどんな大きさでとっても成り立つので，小さな面をとれば被積分関数そのものが0，つまり $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{j}$ です．同じように，磁場のガウスの法則にガウスの定理を使えば，どんな小さな体積でも $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}$ の積分が0なので $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}=0$ です．

成分で書くと

で，偏微分の順序は入れ替えられるので，6つの項が2つずつ打ち消し合います．この恒等式から2つのことが分かります．

1つ目は，$\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{j}$ の発散をとると $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{j}=0$ が出ることです．第21章の連続の式 $\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{j}=-\partial \rho /\partial t$（第21章では電荷密度を ${\rho }_q$ と書きました）と比べると，この形のアンペールの法則は電荷がどこにもたまらない定常電流でしか成り立ちえません．充電中のコンデンサーのように電荷がたまる場合には，第24章で項を1つ足します．

2つ目は，回転で書ける場は発散が0だということです．逆に，発散が0の場はいつでも回転で書けることも知られていて（証明は省きます），$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}=0$ だから $\mathit{B}=\mathbf{\nabla }\times \mathit{A}$ と書ける，というのが本体の節で一言ふれたベクトルポテンシャルです．

練習3　$\mathit{A}={\displaystyle \frac{B_0}{2}}(-y,x,0)$ の回転を求めよ．

答え　${(\mathbf{\nabla }\times \mathit{A})}_x=\partial A_z/\partial y-\partial A_y/\partial z=0$，$y$ 成分も0，${(\mathbf{\nabla }\times \mathit{A})}_z={\displaystyle \frac{B_0}{2}}+{\displaystyle \frac{B_0}{2}}=B_0$．一様な磁場 $B_0{\mathit{e}}_z$ は，この $\mathit{A}$ の回転として書ける．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R$，長さ $l$，単位長さあたりの巻数 $n$ のソレノイドに電流 $I$ を流す．巻線は密で，円電流が軸に沿って一様に並んだものとみなす．

1. 円電流の軸上の磁場を積分して，ソレノイドの中心の磁場を求めよ．$l=10R$ のとき，${\mu }_{0}nI$ の何倍か．

2. 十分長いソレノイドの端の面の中心での磁場は，${\mu }_{0}nI$ の何倍か．その理由を重ね合わせで説明せよ．

解答を見る

考え方 幅 $\mathrm{d}z$ の部分には $n\mathrm{d}z$ 巻きがあり，電流 $nI\mathrm{d}z$ の円電流とみなせる．中心から $z$ の円電流が中心に作る磁場を足す．

$$B={\int }_{-l/2}^{l/2}\frac{{\mu }_{0}nI{R}^2\mathrm{d}z}{2{(R^2+z^2)}^{3/2}}=\frac{{\mu }_{0}nI}{2}{\left[\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right]}_{-l/2}^{l/2}={\mu }_{0}nI\frac{l/2}{\sqrt{R^2+l^2/4}}$$

（$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}{\displaystyle \frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}}={\displaystyle \frac{R^2}{{(R^2+z^2)}^{3/2}}}$ を使った．）$l=10R$ なら ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{26}}}\approx 0.98$ 倍である．

2. 端の面の中心では，積分の範囲が $0$ から $l$ で $B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}nI}{2}}{\displaystyle \frac{l}{\sqrt{R^2+l^2}}}\to {\displaystyle \frac{{\mu }_{0}nI}{2}}$．同じソレノイドをもう1本，端と端をつないで置くと，つないだ所は長いソレノイドの内部で ${\mu }_{0}nI$ になる．対称性から2本は同じだけ寄与するので，1本の端では半分である．

確かめ：$l\to \mathrm{\infty }$ で (1) は ${\mu }_{0}nI$ になり，アンペールの法則の結果と一致する．$l=10R$ でも中心では 2 % しか違わないが，端では半分まで落ちるので，$B={\mu }_{0}nI$ は端から十分離れた所でだけ使える．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

半径 $a$ の長い円柱の導体に，$+z$ 向きの電流が，軸からの距離 $r$ に比例する電流密度 $j=j_{0}r/a$ で流れている（$j_0>0$）．

1. 全電流 $I$ と，円柱の内外の磁場の大きさを求めよ．

2. 内部の磁場を $x,y,z$ 成分で書き，$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}=0$ と $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{j}$ を確かめよ．外部では $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}=0$ であることも確かめよ．

解答を見る

考え方 軸対称なので磁場は円周の向きで，同心円の道にアンペールの法則を使う．円周の向きの単位ベクトルは $(-y/r,x/r,0)$．

1. 半径 $r$ の円の内側の電流は

$$I(r)={\int }_0^r{j}_0\frac{s}{a}2\pi s\mathrm{d}s=\frac{2\pi j_0{r}^3}{3a},I=I(a)=\frac{2\pi j_0{a}^2}{3}$$

$2\pi rB={\mu }_{0}I(r)$ から，内部（$r\le a$）で $B={\displaystyle \frac{{\mu }_0{j}_0{r}^2}{3a}}$，外部（$r\ge a$）で $B={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}}={\displaystyle \frac{{\mu }_0{j}_0{a}^2}{3r}}$．$r=a$ で両方とも ${\mu }_0{j}_{0}a/3$ になり，つながる．

2. $k={\mu }_0{j}_0/(3a)$ とおくと，内部は $\mathit{B}=kr(-y,x,0)$，$r=\sqrt{x^2+y^2}$．$\partial r/\partial x=x/r$ を使うと

$$\mathbf{\nabla }\mathbf{\cdot }\mathit{B}=-k\frac{x}{r}y+k\frac{y}{r}x=0$$

$${(\mathbf{\nabla }\times \mathit{B})}_z=\frac{\partial }{\partial x}\left(krx\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(kry\right)=k(r+\frac{x^2}{r})+k(r+\frac{y^2}{r})=3kr=\frac{{\mu }_0{j}_{0}r}{a}={\mu }_{0}j$$

$B_z=0$ で，成分は $z$ によらないので，$x$，$y$ 成分の回転は0．よって $\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}={\mu }_0\mathit{j}$．外部は $\mathit{B}={\displaystyle \frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }}(-{\displaystyle \frac{y}{r^2}},{\displaystyle \frac{x}{r^2}},0)$ で

$${(\mathbf{\nabla }\times \mathit{B})}_z=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi }(\frac{r^2-2x^2}{r^4}+\frac{r^2-2y^2}{r^4})=0$$

確かめ：$\mathbf{\nabla }\times \mathit{B}$ は電流のある所でだけ0でなく，その値が電流密度に ${\mu }_0$ を掛けたものになっている．外部の磁場は，内部の電流の分布によらず全電流 $I$ だけで決まる．