電流と磁場

電流が作る磁場の演習

著者：柚木芹香

積分する道と磁場の向きを確かめてください．導線とコイルは真空中にあり，電流は定常です．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

$z$ 軸に平行な2本の十分長い直線導線A，Bを， $x y$ 平面上の $(0, 0), (d, 0)$ に通します．両方に $+ z$ 向きの電流が流れ，大きさはAが $I$ ，Bが $3 I$ です． $d, I > 0$ とします．

2本の中点での磁場の大きさと向きを求めよ．
$x$ 軸上で磁場が0になる点をすべて求めよ．導線そのものの位置は除く．

**［図：二本の直線導線の断面配置］**
xy平面上の原点に導線A，位置dに導線Bを置く．電流はそれぞれIと3Iで，ともに正のz方向へ流れる．

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考え方 導線の両側で磁場の向きが逆になる．右手で向きを決める．

直線電流の磁場は $B = μ_{0} I / (2 π r)$ ．中点ではAの磁場が $+ y$ 向き，Bが $- y$ 向きで，合成は $- y$ 向き，大きさ $3 μ_{0} I / (π d) - μ_{0} I / (π d) = 2 μ_{0} I / (π d)$ ．
外側では両磁場が同じ向きなので0にならない．内側では $I / x = 3 I / (d - x)$ より $d - x = 3 x$ ，したがって $x = d / 4$ ．弱い電流の方に近い点で打ち消すことも確かめられる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

長い同軸ケーブルの内導体は半径 $a$ ，外導体は内半径 $b$ ，外半径 $c$ です． $0 < a < b < c$ とします．内導体には $+ z$ 向きに $I$ ，外導体には $- z$ 向きに $η I$ が一様に流れます． $0 \leq η \leq 1$ で，不足する戻り電流は十分遠方に流れ，ケーブル付近の磁場への寄与を無視します．

軸からの距離 $r$ ごとに磁場を求め，境界でつながることを示せ．
$r_{1} > c$ で測った磁場の大きさが $μ_{0} I / (10 π r_{1})$ でした． $η$ を求め，完全な戻り電流との違いを説明せよ．

**［図：同軸ケーブルの断面と積分路］**
内導体の半径はa，外導体の内半径はb，外半径はcである．内導体の電流Iは紙面手前向き，外導体の電流ηIは奥向きである．破線は半径rの積分路の一例である．

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考え方 閉じた円に沿って一周するアンペールの法則では，円の内側の電流を符号つきで数える．

$+ z$ から見て反時計回りを正とすると $2 π r B = μ_{0} I_{in}$ ．内導体の部分電流は $I r^{2} / a^{2}$ ，外導体の部分電流は $- η I (r^{2} - b^{2}) / (c^{2} - b^{2})$ なので

B = \frac{μ_{0} I}{2 π} {\begin{array}{ll} r / a^{2} & 0 \leq r < a, \\ 1 / r & a \leq r < b, \\ [1 - η (r^{2} - b^{2}) / (c^{2} - b^{2})] / r & b \leq r < c, \\ (1 - η) / r & c \leq r \end{array}

向きは反時計回りである．各境界の両側で $B$ は順に $μ_{0} I / (2 π a), μ_{0} I / (2 π b), μ_{0} I (1 - η) / (2 π c)$ に一致する．軸上は0である．

$(1 - η) / 2 = 1 / 10$ より $η = 0.80$ ． $η = 1$ なら外側の磁場は0だが，戻り電流が不足すると外側にも $1 / r$ の磁場が残る．遠方の戻り導線までの距離を $D$ とすると，その寄与を捨てる条件は観測する $r$ で $r / D$ が十分小さいことである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $R = 0.10 m$ ，巻数 $N = 20$ の円形コイルを鉛直に置き，中心の磁場が東向きになる電流を正とします．中心に置いた小さな方位磁針は，磁場の水平成分の合成方向を指します．地磁気は北向きに $B_{H}$ ，装置由来の一定の磁場は東向きに $B_{s}$ です．北から東へのふれ角を $ϕ$ として，次の値を得ました． $μ_{0} = 4 π \times 10^{- 7} N A^{- 2}$ とします．

$I$ （ $A$ ）	$\tan ϕ$
$- 0.050$	$- 0.30$
$0$	$0.20$
$0.050$	$0.70$

$\tan ϕ$ と $I$ の関係を導き， $B_{H}, B_{s}$ を求めよ．
電流反転の前後の差を使うと，何の影響を取り除けるか．磁針の長さを $ℓ$ として，一点の磁場で扱う条件も述べよ．

**［図：鉛直コイルと磁針のふれ角］**
水平面を上から見た模式図．鉛直コイルの中心に磁針を置き，北から東への角φを測る．地磁気B_Hは北向き，装置の一定磁場B_sは東向きである．

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考え方 合成磁場の東成分を北成分で割ると，ふれ角の正接になる．傾きが地磁気，切片が一定の偏りを決める．

中心のコイル磁場は $B_{c} = μ_{0} N I / (2 R)$ ．したがって $\tan ϕ = μ_{0} N I / (2 R B_{H}) + B_{s} / B_{H}$ ．傾きは $(0.70 + 0.30) / 0.100 = 10 A^{- 1}$ ，切片は0.20なので， $B_{H} = μ_{0} N / (2 R \times 10) = 1.3 \times 10^{- 5} T$ ， $B_{s} = 0.20 B_{H} = 2.5 \times 10^{- 6} T$ ．中央の値も一致する．
$\tan ϕ (I) - \tan ϕ (- I) = μ_{0} N I / (R B_{H})$ となり，一定の $B_{s}$ が消える．磁場の一様性には $ℓ / R$ が1より十分小さく，磁針がコイルの磁場を乱さないことが必要である．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R$ の長い円柱導体に，半径 $a$ の円筒形の穴をあけます．導体の軸は $z$ 軸，穴の軸は $x = d, y = 0$ で， $0 < d, d + a < R$ です．残った導体部分には電流密度 $j = j e_{z}$ が一様に流れます． $j > 0$ ， $e_{z}$ は $+ z$ 向きの単位ベクトルです．

穴の中の磁場を求めよ．
穴の軸から $+ x$ 向きに距離 $D > a$ の位置に，平行な細い直線導線を加えます．穴の軸上の磁場を0にする電流の向きと大きさを求めよ．そのとき穴の内部全体で磁場は0か．

**［図：偏心した穴と追加導線］**
半径Rの導体の内部に半径aの穴があり，両軸の間隔はdである．残る導体に正のz方向の電流密度jを与える．穴の軸から右へ距離Dに追加導線を置く．追加電流の向きは未指定である．

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考え方 穴を埋めた一様電流から，穴と同じ円柱内の電流を引く．両円柱の内部の式を使う．

一様電流の円柱の内部では，半径 $s$ の円について $2 π s B = μ_{0} j π s^{2}$ より $B = μ_{0} j s / 2$ ．位置ベクトルで書けば $B = μ_{0} j e_{z} \times r / 2$ ．穴の軸へのベクトルを $d = d e_{x}$ とすると，重ね合わせは

B = \frac{μ_{0} j}{2} e_{z} \times [r - (r - d)] = \frac{μ_{0} j d}{2} e_{y}

穴の中は一様な $+ y$ 向きの場である．

追加導線に $+ z$ 向きの電流 $I_{w}$ を流すと，その左側には $- y$ 向きの場ができる． $μ_{0} I_{w} / (2 π D) = μ_{0} j d / 2$ より $I_{w} = π j d D$ ．穴の内部の点 $x = d + ξ, y = 0$ では， $0 < ξ < a$ として合成場の $y$ 成分は $μ_{0} j d [1 - D / (D - ξ)] / 2 \neq 0$ ．軸上だけの打ち消しであり，一様な場と位置で変わる場は全域で相殺できない． $d \to 0$ なら元の穴の磁場も必要な追加電流も0となる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R$ ，巻数 $N$ の薄い円形コイル2個を，共通の軸の座標 $x = \pm h / 2$ に置き，同じ向きに電流 $I$ を流します．1個のコイルが中心から軸方向へ距離 $z$ の点に作る磁場は $B_{1} (z) = μ_{0} N I R^{2} / [2 {(R^{2} + z^{2})}^{3 / 2}]$ です．

合成場 $B (x)$ と， $x = 0$ での1階・2階微分を求めよ．
中心付近の2次の変化が消える間隔 $h$ と，そのときの $B (0)$ を求めよ．使う展開の条件も述べよ．

**［図：二つの同軸円形コイル］**
半径R，巻数Nの二つのコイルをxが負のh/2と正のh/2の位置に置く．両方の電流Iは同じ巻き向きに流れる．中央を原点とする．

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考え方 対称性で1次は消える．2次も消す間隔を求める．

$K = μ_{0} N I R^{2} / 2, f (z) = {(R^{2} + z^{2})}^{- 3 / 2}$ とすると $B (x) = K [f (x - h / 2) + f (x + h / 2)]$ ．微分して $f^{'} (z) = - 3 z {(R^{2} + z^{2})}^{- 5 / 2}$ ， $f^{″} (z) = 3 (4 z^{2} - R^{2}) {(R^{2} + z^{2})}^{- 7 / 2}$ ． $f^{'}$ は奇関数なので $B^{'} (0) = 0$ ，また

B^{″} (0) = \frac{6 K (h^{2} - R^{2})}{{(R^{2} + h^{2} / 4)}^{7 / 2}}

$B^{″} (0) = 0$ より $h = R$ ． $B (0) = 2 K / {(5 R^{2} / 4)}^{3 / 2} = {(4 / 5)}^{3 / 2} μ_{0} N I / R$ ． $B (x) = B (0) + B^{″} (0) x^{2} / 2 + \dots$ は $| x | / R$ が十分小さいときの展開である．対称性で奇数次も消えるが，4次以降は残るので全空間で一様ではない． $h \to 0$ では $B (0) = μ_{0} N I / R$ となり，重なった $2 N$ 巻のコイルと一致する．

ポイント教える人へ

磁場の向きと，積分する道の向きを別々に確認します．
アンペールの法則から場を決める際に，どの対称性を使ったか問います．
穴の問題で実際の導体と重ね合わせの架空の電流を区別させます．
測定の切片とコイルの一様性を，それぞれの模型の条件から説明させます．