電流と磁場

電流に働く力の例題

著者：柚木芹香

平行な電流の間の力，電流天秤による磁場の測定，磁場の中のコイルの振動を解きます．どの問題でも，力やトルクの向きを外積で確かめ，どの近似を使ったかを最後に点検します．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

十分に長い水平な導線 P を固定し，その真上に，長さ $ℓ = 0.20 m$ ，質量 $M = 1.0 \times 10^{- 3} kg$ のまっすぐな導線 Q を P と平行に置く．Q は摩擦のない鉛直の案内にはさまれて，水平を保ったまま上下にだけ動ける．P と Q には逆向きに，同じ大きさ $I = 40 A$ の電流を流し続ける． $μ_{0} = 4 π \times 10^{- 7} N A^{- 2}$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ とし，Q に電流を送る導線の力は無視する．

Q が浮いて静止するときの P と Q の距離 $d_{0}$ を求めよ．
このつり合いが上下の動きについて安定であることを示し，Q を少し上下にずらしたときの微小振動の周期を求めよ．
案内が無ければ，Q はこの位置に留まれるか．

**［図：逆向きの電流で浮く導線］**
固定された導線 P の上に，長さ ℓ，質量 M の導線 Q を置く．鉛直の案内の間で上下にだけ動ける．逆向きの電流 I と，Q の重力および磁気力を定性的に示す．距離 d₀ の数値と周期は示していない．

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考え方 P が Q の位置に作る磁場は $μ_{0} I / (2 π d)$ で，逆向きの電流は退け合う．距離 $d$ の関数として力を書き，つり合いの近くで1次まで展開する．

Q に働く上向きの磁気力は $F (d) = K / d$ ， $K = μ_{0} I^{2} ℓ / (2 π)$ である．数値では $K = 2 \times 10^{- 7} \times 40^{2} \times 0.20 = 6.4 \times 10^{- 5} N m$ ．つり合いは $K / d_{0} = M g$ なので

d_{0} = \frac{K}{M g} = \frac{6.4 \times 10^{- 5}}{1.0 \times 10^{- 3} \times 9.8} = 6.5 \times 10^{- 3} m

である．

$d = d_{0} + ξ$ とすると， $| ξ | / d_{0}$ が十分小さいとき

M \frac{d^{2} ξ}{d t^{2}} = \frac{K}{d_{0} + ξ} - M g \approx \frac{K}{d_{0}} (1 - \frac{ξ}{d_{0}}) - M g = - \frac{M g}{d_{0}} ξ

である．上へずれると磁気力が弱まり，下へずれると強まるので，復元力が働いて安定である．角振動数は $ω = \sqrt{g / d_{0}} = \sqrt{9.8 / (6.5 \times 10^{- 3})} = 39 s^{- 1}$ ，周期は $2 π / ω = 0.16 s$ である．

Q が横へずれると，P からの退け合う力は P から Q へ向かう向きに傾き，横へずれを広げる成分をもつ．厳密につり合いの位置で静止していれば留まれるが，横の動きについて不安定なので，案内が無ければわずかなずれで離れていく．

確かめ：周期は長さ $d_{0}$ の単振り子と同じ式で，電流が大きいほど $d_{0}$ が大きく，振動はゆっくりになる．無限に長い直線電流の磁場を使ったので，P の両端が Q から十分遠く，導線の太さも $d_{0}$ よりずっと細いことが必要である．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

等しい腕の長さの天秤の右の腕に，巻数 $N = 10$ の長方形のコイルをつり下げる．コイルの下の辺（長さ $a = 0.050 m$ ，水平）だけが，紙面に垂直な水平の一様な磁場 $B$ の中にあり，上の辺は磁場の外にある．電流を流す前に天秤をつり合わせておき，電流 $I$ を流してコイルが下へ引かれたとき，左の皿に質量をのせてつり合いを戻した．追加した質量の測定値を $Δ m$ とし，測定値には電流によらない一定の零点のずれが含まれるものとする．結果は次の表のとおりである． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

$I$ （ $A$ ）	0.20	0.40	0.60	0.80
$Δ m$ （ $g$ ）	0.61	1.12	1.63	2.14

$Δ m$ と $I$ の関係を導け．コイルの縦の辺に働く力はつり合いに影響しないことも説明せよ．
表から $B$ を求めよ． $I = 0.80 A$ の1点だけから求めた値と比べ，直線の傾きを使う理由を述べよ．

**［図：磁場を測る電流天秤］**
等しい腕の天秤の右に N 巻のコイルをつり下げ，下の辺だけを紙面の手前向きの磁場 B に入れる．下の辺の長さ a と右向きの電流 I，下向きの磁気力，左の皿にのせる質量 Δm を示す．力と磁場の計算値は示していない．

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考え方 磁場の中の $N$ 本の下の辺には，それぞれ大きさ $I a B$ の力が働く．腕の長さが等しいので，力のつり合いは皿の重さとの比較になる．

下の辺は磁場に垂直なので，力は合わせて $N I a B$ で，向きは下向きである．測定値の零点のずれを $m_{0}$ とすると，追加した質量の真の値は $Δ m - m_{0}$ なので，つり合いを戻す条件は $(Δ m - m_{0}) g = N I a B$ ，すなわち

Δ m = \frac{N a B}{g} I + m_{0}

である．縦の辺のうち磁場の中にある部分は，左右の辺で電流が逆向きなので，水平で逆向きの同じ大きさの力を受けて打ち消し合う．上の辺は磁場の外にあるので力を受けない．

表の値はほぼ直線に乗り，両端から傾きは $(2.14 - 0.61) / 0.60 = 2.55 g A^{- 1}$ ，切片は約 $0.10 g$ である．傾きが $N a B / g$ なので

B = \frac{g}{N a} \times 2.55 \times 10^{- 3} kg A^{- 1} = \frac{9.8 \times 2.55 \times 10^{- 3}}{10 \times 0.050} = 5.0 \times 10^{- 2} T

である． $I = 0.80 A$ の1点から零点のずれを無視して $B = Δ m g / (N I a)$ とすると $5.2 \times 10^{- 2} T$ で，約5 %大きい．切片の $0.10 g$ が零点のずれ $m_{0}$ で，1点の計算ではこれが $B$ に入りこむ．傾きを使えば，電流によらないずれは切片に分かれて除かれる．

確かめ：単位は $m s^{- 2} \cdot kg A^{- 1} / m = N A^{- 1} m^{- 1} = T$ で正しい．この測定は，下の辺の範囲で磁場が一様であり，上の辺の位置の磁場が十分弱いことを前提としている．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

半径 $a$ ，巻数 $N = 20$ ，質量 $M = 5.0 \times 10^{- 3} kg$ の細い円形コイルが，直径を回転軸として滑らかに回れる．回転軸は水平で，一様な水平の磁場 $B = 1.0 \times 10^{- 2} T$ に垂直である．電源はコイルの電流を $I = 0.50 A$ に保つ．コイルの法線と磁場のなす角を $θ$ とし，コイルの導線を細い輪とみなすと，直径のまわりの慣性モーメントは $J = M a^{2} / 2$ である．導線のねじれの力と，コイル自身の作る磁場の影響は無視する．

つり合いの向きを求め，それぞれ安定か不安定かを答えよ．
安定なつり合いのまわりの微小振動の周期を求めよ．周期は $a$ によるか．
$θ = π / 2$ で静かに放したとき， $θ = 0$ を通る瞬間の角速度の大きさ $Ω$ を求め，(2)の微小振動の式をこの振幅に当てはめた値と比べよ．

**［図：磁場の中で回転できる円形コイル］**
半径 a，巻数 N の円形コイルを斜めから見た図と，水平な回転軸の方向から見た図を並べる．一様な水平の磁場 B は回転軸に垂直で，左図の ⊙ は手前向きを示す．右図で法線 n と B の角 θ を示す．電源と電流 I を添え，つり合いの向き，周期，角速度の答えは示していない．

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考え方 電流が一定なので， $U = - m B \cos θ$ を力学の位置エネルギーとして使える．トルクは $- d U / d θ$ ．

磁気モーメントは $m = N I π a^{2}$ ，トルクは $- m B \sin θ$ なので，つり合いは $θ = 0$ と $θ = π$ である． $U = - m B \cos θ$ は $θ = 0$ で最小， $θ = π$ で最大なので， $m$ が磁場と同じ向きの $θ = 0$ が安定，逆向きの $θ = π$ が不安定である．
$θ$ が小さいとき $J \frac{d^{2} θ}{d t^{2}} = - m B \sin θ \approx - m B θ$ で，角振動数は

ω = \sqrt{\frac{m B}{J}} = \sqrt{\frac{N I π a^{2} B}{M a^{2} / 2}} = \sqrt{\frac{2 π N I B}{M}}

である．数値では $ω^{2} = 2 π \times 20 \times 0.50 \times 1.0 \times 10^{- 2} / (5.0 \times 10^{- 3}) \approx 1.3 \times 10^{2} s^{- 2}$ ， $ω \approx 11 s^{- 1}$ で，丸める前の値から求めた周期は $2 π / ω = 0.56 s$ である． $m$ も $J$ も $a^{2}$ に比例するので，周期は $a$ によらない．

電流一定なので $\frac{1}{2} J Ω^{2} - m B \cos θ$ が保存する． $θ = π / 2$ から $θ = 0$ までで

\frac{1}{2} J Ω^{2} = m B, Ω = \sqrt{\frac{2 m B}{J}} = \sqrt{2} ω = 16 s^{- 1}

である．微小振動の式を振幅 $π / 2$ に当てはめると $ω \times π / 2 \approx 18 s^{- 1}$ となり，丸める前の値で比べると約11 %大きすぎる． $\sin θ$ は $θ$ より小さいので，実際の復元トルクは線形の近似より弱い．

確かめ：電流を逆にすると $m$ の向きが変わり，安定と不安定が入れかわる．コイルが回ると第23章の誘導起電力が生じるが，電源が電流を一定に保つので，その分の仕事は電源が受け持ち， $- m B \cos θ$ を位置エネルギーとして使ってよい．小振動の式の適用条件は $θ^{2}$ が1より十分小さいことで，振幅 $π / 2$ では(3)のように1割ほど外れる．

ポイントここまでのまとめ

平行電流の間の力 $μ_{0} I_{1} I_{2} ℓ / (2 π d)$ は距離に反比例し，退け合う配置では上下のつり合いが安定でも横には不安定になりうる．
電流天秤では，力が電流に比例することを使い，傾きから磁場を求めると電流によらない誤差を除ける．
電流を一定に保つコイルは $U = - m B \cos θ$ の中の振り子で，微小振動の角振動数は $\sqrt{m B / J}$ ．
使った近似（長い導線，一様な磁場，小さな振幅）の条件を，最後に数値で点検する．