電流と磁場

電流に働く力とコイルの回転の演習

著者：柚木芹香

力の合成とトルクを区別してください．電源の仕事と近似条件も確かめます．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

一様磁場 $B = B e_{z}$ の中に， $x y$ 平面上の半径 $a$ の上半円の導線を置きます．電流 $I$ は $(- a, 0)$ から $(a, 0)$ へ流れます． $e_{x}, e_{y}, e_{z}$ は各軸の正方向の単位ベクトルです．接続線の力は考えません．

半円部分への合力を求めよ．
同じ両端を結ぶ直線導線へ変えた場合と比較せよ．その直線を $y$ 軸のまわりに角 $β$ 傾け，長さ $2 a$ のまま電流方向を $\cos β e_{x} + \sin β e_{z}$ とした場合の力も求めよ．

**［図：半円導線と傾けた直線導線］**
左はxy平面の上半円で，電流は左端から右端へ流れる．磁場は正のz方向である．右はxz平面で長さ2aの直線を正のx方向から角βだけ傾けた配置である．

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考え方 一様磁場なら変位の積分は両端の変位になる．

$d F = I d l \times B$ を足すと $F = I (2 a e_{x}) \times (B e_{z}) = - 2 I a B e_{y}$ ．
直線でも両端の変位が同じなので同じ力である．傾けると $F = 2 I a B (\cos β e_{x} + \sin β e_{z}) \times e_{z} = - 2 I a B \cos β e_{y}$ ．磁場に平行となる $β = π / 2$ で力は0になる．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

間隔 $ℓ = 0.15 m$ の水平なレールに，質量 $M = 0.050 kg$ の導体棒を渡します．レールは $x$ 方向，棒は $y$ 方向です．上向き $+ z$ の磁場 $B = 0.40 T$ を加え，静止中の棒には電圧 $V$ の電池から $+ y$ 向きに電流を流します．回路全体の抵抗は $R = 3.0 Ω$ ，静止摩擦係数は $μ = 0.20$ ，動摩擦係数は $μ^{'} = 0.10$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ です．

棒が動き始める電圧の境目を求めよ．
$V = 6.0 V$ で，動き始めた直後の加速度を求めよ．

**［図：レール上の導体棒と電源］**
水平レールの間隔はℓであり，静止した棒に正のy方向の電流を流す．回路は電池Vと全抵抗Rを含む．上から見た図で，磁場Bは紙面手前の正のz方向である．

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考え方 磁気力を最大静止摩擦力と比べ，開始後は動摩擦力を使う．

静止時は $I = V / R$ ．磁気力は $+ x$ 向きに $F = I ℓ B$ なので，境目は $V_{c} ℓ B / R = μ M g$ ．したがって $V_{c} = μ M g R / (ℓ B) = 4.9 V$ ．これを超えると動き始める．
直後は速度0で電流が $2.0 A$ ，力は $0.12 N$ ． $M a = 0.12 - μ^{'} M g = 0.071 N$ より $a = 1.4 m s^{- 2}$ ．静止摩擦係数を使い続けない．この計算は速度0の極限であり，有限の速度で同じ電流が続くとは仮定していない．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

巻数 $N = 40$ ，1巻の面積 $S = 2.0 \times 10^{- 4} m^{2}$ の軽いコイルを，ねじりばねで支えます．外部磁場は一様で $B = 0.50 T$ です．無電流時のコイルの法線は磁場に垂直で，電流 $I > 0$ によって法線が磁場へ近づく角を $ϕ$ とします．ばねの復元トルクは $- κ ϕ$ ，回転軸は磁場に垂直です．静止したふれを測定しました．

$I$ （ $A$ ）	$ϕ$ （ $rad$ ）
0.01005	0.100
0.02041	0.200
0.03140	0.300

つり合いの式を導き，どの量を横軸にすれば $ϕ$ と直線関係になるか示せ．表から $κ$ を2桁で求めよ．
最後の点だけを $\cos ϕ = 1$ として解析すると， $κ$ を何 %過大評価するか．

**［図：ねじりばねで支えたコイルのふれ］**
回転軸は磁場に垂直である．無電流時の法線を破線で，測定時の法線を実線で示す．両法線のなす角がφで，ばね定数はκである．

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考え方 法線と磁場の角は $π / 2 - ϕ$ であり，磁気トルクには $\cos ϕ$ が掛かる．

磁気モーメントの大きさは $m = N I S$ ．つり合いは $κ ϕ = N I S B \cos ϕ$ なので，横軸を $I \cos ϕ$ とすると傾きは $N S B / κ$ ．表の各点で $I \cos ϕ$ は約 $0.01000, 0.02000, 0.03000 A$ となり，傾きは $10.0 A^{- 1}$ ．よって $κ = N S B / 10.0 = 4.0 \times 10^{- 4} N m$ である．ラジアンは無次元としている．
小角式からの推定値は $κ^{'} = N I S B / ϕ = κ / \cos ϕ$ ．相対誤差は $1 / \cos 0.300 - 1 = 0.0468$ ，約4.7 %である． $\cos ϕ \approx 1 - ϕ^{2} / 2$ なので，小角式の適用条件は $ϕ^{2}$ が1より十分小さいことである．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

一様磁場 $B = B e_{x}$ の中で，巻数 $N$ ，面積 $S$ のコイルを $z$ 軸のまわりに回します．コイルの法線は $n = \cos θ e_{x} + \sin θ e_{y}$ です．正の電流は磁気モーメントが $N I S n$ となる向きとします．整流子が半回転ごとに電流を反転し，電源はその大きさを $I_{0}$ に保ちます．慣性モーメントは $J$ ， $θ = 0$ での初期角速度は $Ω_{0} > 0$ ，摩擦と熱損失は無視します．

正の回転を助ける電流の符号を各半回転で決め，トルクを求めよ．
1回転の仕事と1回転後の角速度を求めよ．磁気力が電荷に仕事をしないこととの整合を説明せよ．

**［図：整流子を備えた回転コイル］**
xy平面から見たコイルの法線nと磁場Bのなす角をθとする．回転軸はz軸である．別図は分割した整流子と電源の接続を模式的に示す．電流の符号は示さない．

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考え方 外積からトルクの符号を決める．整流により，回転角とトルクの符号をそろえ続ける．

$m \times B$ の $z$ 成分は $- N I S B \sin θ$ ．したがって $0 < θ < π$ では $I = - I_{0}$ ， $π < θ < 2 π$ では $I = I_{0}$ とする．トルクは $τ_{z} = N I_{0} S B | \sin θ |$ で常に正か0である．
$W = N I_{0} S B \int_{0}^{2 π} | \sin θ | d θ = 4 N I_{0} S B$ ． $J (Ω_{1}^{2} - Ω_{0}^{2}) / 2 = W$ より $Ω_{1} = \sqrt{Ω_{0}^{2} + 8 N I_{0} S B / J}$ ．電荷の速度は導体の速度と導体に沿う速度の和である．磁気力が導体へ渡す仕事は，導体に沿う運動への負の仕事と相殺する．その沿う運動を電源の電場が支える．1回転後は配置と電流が戻るので，熱損失なしの全収支では電源の仕事がこの $W$ を供給する． $I_{0} \to 0$ で角速度は変わらず， $W$ はトルクと同じエネルギーの次元を持つ．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

衛星が対称軸のまわりに角速度 $Ω$ で高速自転します．軸まわりの慣性モーメントは $J$ で，他の軸の慣性モーメントも $J$ 程度とし，角運動量を軸方向の $L$ ，大きさ $J Ω$ と近似します．衛星に固定した $N$ 巻，面積 $S$ のコイルへ一定電流 $I > 0$ を流し， $m$ を $L$ と同方向にします．外部磁場は一様で $B = B e_{z}$ です．初めの軸と磁場の角を $0 < θ_{0} < π$ とします．

軸の傾きと角運動量の大きさが変わらないことを示せ．
歳差の角速度の大きさと向き，この近似の条件を求めよ．

**［図：磁場中で自転する衛星の初期配置］**
衛星の対称軸と角運動量L，磁気モーメントmは同方向である．初期の軸と正のz方向の磁場Bとの角はθ₀である．衛星に固定したコイルと自転を示す．

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考え方 角運動量の変化を磁場の軸のまわりの回転として書く．

$m = N I S$ として $\frac{d L}{d t} = m \times B = (m / L) L \times B$ ．右辺は $L$ に垂直なので $\frac{d L^{2}}{d t} = 2 L \cdot \frac{d L}{d t} = 0$ ．また右辺の $z$ 成分は0なので $L_{z} = L \cos θ_{0}$ も一定で，傾きは変わらない．
$\frac{d L}{d t} = ω_{p} \times L$ と比較すると $ω_{p} = - m B e_{z} / L$ ．大きさは $ω_{p} = N I S B / (J Ω)$ ， $+ z$ 側から見て時計回りである．軸と角運動量を同方向とする近似には $ω_{p} / Ω = N I S B / (J Ω^{2})$ が1より十分小さいことが必要である． $I \to 0$ で歳差も消える．

ポイント教える人へ

半円の弧長を合力の式へ入れる誤りを，変位の積分から修正させます．
電流，合力，トルクの向きを確かめます．
電流計の角度の定義と，小角近似による系統的な誤差を問います．
整流と電源の仕事，歳差で変わる量と変わらない量を説明させます．