磁性体と磁化

問い

冷蔵庫の扉にはマグネットが付き，鉄のクリップは磁石に吸い寄せられます．ところが，アルミの缶や銅の10円玉を磁石に近づけても，何も起こらないように見えます．どれも電気をよく通す金属で，原子の中には同じように電子が回っています．鉄とアルミや銅では，いったい何が違うのでしょうか．

考えてみる

鉄が磁石に付くのは，鉄が初めから磁石だからではありません．ふつうの鉄の釘どうしは引き合いません．磁石を近づけたときだけ，鉄自身が磁石になり（磁化し），磁石に引かれます．ですから問いは，「なぜ鉄はこれほど強く磁化するのか」と言いかえられます．

実は，アルミや銅も磁石に反応します．ただ，その強さは鉄の ${10}^5$ 分の1以下で，重さに比べてあまりに小さいので気付かないのです．物質の磁化を量で表し，原子の性質と結び付けてみましょう．この題材では，電圧の $V$ と区別して，体積を $\mathcal{V}$ と書きます．

磁石の正体は小さな円電流

前の題材で，電流の流れるコイルは磁気モーメント $\mathit{m}=IS\mathit{n}$ をもち，磁石のようにふるまうことを見ました．アンペールは，磁石の中には小さな円電流がたくさんあると考えました．今では，その円電流は原子の中の電子の運動だと分かっています．

磁気モーメントの $m$ と区別して電子の質量を $m_e$ と書きます．質量 $m_e$，電荷 $-e$ の電子が，半径 $r$ の円軌道を速さ $v$ で回ると，電流の大きさは $ev/(2\pi r)$，面積は $\pi r^2$ なので，磁気モーメントの大きさは $evr/2$ です．角運動量 $L=m_{e}vr$ を使うと，電子の電荷が負であることも入れて

です．磁気モーメントは角運動量に比例し，比例係数は電子の電荷と質量だけで決まります．原子の中の角運動量は $\hslash =h/(2\pi )$ の程度（第29章）なので，電子の磁気モーメントの目安は ${\mu }_B=e\hslash /(2m_e)=9.27\times {10}^{-24}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^2$ です（ボーア磁子）．電子はこのほかに，自転に似たスピンによる同じ程度の磁気モーメントももっています．

磁化と磁化電流

鉄の原子1個は約 $2.2{\mu }_B$ の磁気モーメントをもち，数密度は $n=8.5\times {10}^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ です．全部がそろえば $M=8.5\times {10}^{28}\times 2.2\times 9.27\times {10}^{-24}=1.7\times {10}^6\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$ で，${\mu }_{0}M$ は約 $2.2\mathrm{T}$ になります．これは鉄で実際に得られる磁化の上限（飽和磁化）とよく合います．

一様に磁化した長い棒（断面積 $S$，長さ $L$）を考えます．断面に並んだ小さな円電流は，隣どうしの接する所で電流が逆向きになって打ち消し合い，棒の側面を一周する電流だけが残ります．これを磁化電流といい，長さあたりの大きさを $K$ とします．棒全体は，電流 $KL$ が面積 $S$ を囲むコイルと同じなので，磁気モーメントを2通りに数えて $KLS=MSL$，つまり $K=M$ です．一様に磁化した棒は，単位長さあたりの電流が $M$ のソレノイドと同じで，中の磁場は $B={\mu }_{0}M$ です．

磁場の強さ $\mathit{H}$

アンペールの法則の右辺には，導線を流れる電流（自由電流 $I_{\mathrm{f}}$）と磁化電流 $I_{\mathrm{b}}$ の両方が入ります．磁化した棒の表面をまたぐ長方形の道を考え，棒の中を磁化に沿って長さ $l$ だけ進み，外を戻るとします．この道を貫く磁化電流は $Ml$ で，これは道に沿った $\mathit{M}$ の線積分に等しくなります．一般にも，閉じた道を貫く磁化電流は，その道に沿った $\mathit{M}$ の線積分です．アンペールの法則 $\int \mathit{B}\mathbf{\cdot }\mathrm{d}\mathit{l}={\mu }_0(I_{\mathrm{f}}+I_{\mathrm{b}})$ に入れて左辺へ移すと，磁化電流が消えます．

第20章の電束密度 $\mathit{D}={\epsilon }_0\mathit{E}+\mathit{P}$ が自由電荷だけで決まったのと同じく，$\mathit{H}$ は自由電流だけで決まる部分です．対称性があれば，これだけで $\mathit{H}$ が決まります．たとえば，周の長さ $\ell$ の細い環の形の鉄心に導線を $N$ 回巻いた環状コイルでは，中の $\mathit{H}$ は環に沿い，$H\ell =NI$ から $H=NI/\ell$ です．鉄心の材料によりません．

入試で「磁場 $H$」と呼ぶ量がこの $\mathit{H}$ で，$\mathit{B}$ は「磁束密度」と呼ばれます．真空では $\mathit{B}={\mu }_0\mathit{H}$ なので区別は要りません．本書では磁場といえば $\mathit{B}$ を指し，物質の中で必要なときだけ $\mathit{H}$ を使います．

環状コイルの鉄心を線形な物質とみなせば，$B={\mu }_r{\mu }_{0}NI/\ell$ で，同じ電流で磁場は ${\mu }_r$ 倍になります．鉄では ${\mu }_r$ が数百から数千になるので，鉄心を入れたコイルは強い電磁石になります．

境界の条件：磁力線は閉じていて湧き出しがないので，境界をまたぐ平たい箱の考え方から $\mathit{B}$ の法線成分はつながります．境界に自由電流が無ければ，細い長方形の道から $\mathit{H}$ の接線成分もつながります．${\mu }_r$ の大きい鉄から空気へ出る磁力線は，鉄の表面にほぼ垂直に出ます．鉄心のすき間で $B$ が途切れないのはこのためです．

常磁性・反磁性・強磁性

表のように，$\chi$ は物質によって符号も大きさも違います．

常磁性（$\chi >0$）：アルミや酸素のように，原子が初めから磁気モーメントをもつ物質です．磁場はモーメントをそろえようとし，熱運動は乱そうとします．$m_0={\mu }_B$，$B=1\mathrm{T}$，$T=300\mathrm{K}$ でも $m_{0}B/(k_{B}T)$ は $2.2\times {10}^{-3}$ にすぎず，そろうのはごく一部です．第17章のボルツマン分布を使うと，そろう割合はこの比に比例し，$\chi$ は温度に反比例します（キュリーの法則）．

反磁性（$\chi <0$）：磁場をかけると，どの原子でも電子の軌道運動が少し変わり，かけた磁場を打ち消す向きの磁気モーメントが生じます（第23章の電磁誘導で説明できます）．すべての物質がもつ性質ですが，常磁性があればふつうはそれに隠れます．銅や水，ビスマスは反磁性です．超伝導体は中から磁場を完全に締め出す完全反磁性（$\chi =-1$）を示します．

強磁性：鉄・コバルト・ニッケルでは，隣り合う原子の磁気モーメントを同じ向きにそろえる強い相互作用（量子力学による交換相互作用）が働き，磁区と呼ばれる小さな領域ごとに，モーメントがほぼ全部そろっています．磁化していない鉄では，磁区の向きがばらばらで全体の磁化が打ち消されています．外から磁場をかけると，磁場の向きの磁区が境界を動かして広がり，小さな $H$ で大きな磁化が生じます．磁区がそろい切ると，磁化は飽和します．温度を上げると熱運動がそろいを壊し，キュリー温度（鉄では $1043\mathrm{K}$，約 $770{}^{\circ }\mathrm{C}$）を超えると常磁性体に変わります．

磁石が物を引く力は，前の題材の $F_z=m\mathrm{d}B/\mathrm{d}z$（ここでは軸を $x$ にとって $F_x=m\mathrm{d}B/\mathrm{d}x$）から考えられます．線形な物質の小片なら $m=\chi \mathcal{V}B/{\mu }_0$ なので，常磁性体（$\chi >0$）は磁場の強い方へ引かれ，反磁性体（$\chi <0$）は弱い方へ押し出されます．ただし $\chi$ が ${10}^{-5}$ 程度では，力は重さの100分の1にもなりません．これらの式は，$\left|\chi \right|$ が1より十分小さく，物質を入れても磁場がほとんど変わらないときの近似です．強磁性体にはそのまま使えません．

ヒステリシス

強磁性体の $B$ と $H$ の関係は比例ではなく，それまでの履歴によります．磁化していない鉄の $H$ を増やすと $B$ は急に増えて飽和に近づき，$H$ を0に戻しても $B$ は0に戻らずに $B_r$（残留磁束密度）が残ります．$B$ を0にするには逆向きに $H_c$（保磁力）が要ります．$H$ を正負に往復させると，$B$ は閉じた曲線（ヒステリシス曲線）をたどります．永久磁石は $B_r$ も $H_c$ も大きく，曲線の幅の広い材料で，変圧器やモーターの鉄心は幅の狭い材料です．

この曲線の面積は，1往復ごとに熱になるエネルギーです．環状コイル（断面積 $S$，周の長さ $\ell$）で確かめます．第23章の電磁誘導を先取りすると，鉄心の磁束 $\mathrm{\Phi }=BS$ が変わるとき，コイルには電流を妨げる起電力 $N\mathrm{d}\mathrm{\Phi }/\mathrm{d}t$ が生じ，電源はそれに逆らって仕事率 $IN\mathrm{d}\mathrm{\Phi }/\mathrm{d}t$ を出します．$I=H\ell /N$ を入れると，仕事率は $S\ell H\mathrm{d}B/\mathrm{d}t$ です．$S\ell$ は鉄心の体積なので，1往復で単位体積あたりに電源がする仕事は

で，曲線の囲む面積に等しくなります．状態が1周で元に戻るのに仕事が残るので，これは熱になります．振動数 $f$ で往復させると，損失の仕事率は $fw\mathcal{V}$ です．変圧器の鉄心に幅の狭い材料を使うのは，この損失を小さくするためです．この計算は，環の断面の幅が環の半径より十分小さく，鉄心の中で $H$ と $B$ が一様とみなせるときのものです．

問いに戻る

磁石は原子の中の電子の運動とスピンがつくる小さな磁気モーメントの集まりで，物質の磁化は単位体積あたりの磁気モーメント $\mathit{M}$ です．アルミ（常磁性）は磁石にわずかに引かれ，銅（反磁性）はわずかに押し出されますが，磁化率は ${10}^{-5}$ 程度で，重さに比べて力が小さすぎて気付きません．鉄は強磁性体で，原子のモーメントを磁区ごとにそろえる強い相互作用があるため，磁石の磁場の中で磁区の向きがそろい，${\mu }_{0}M$ が $\mathrm{T}$ の程度に達するほど大きく磁化します．磁化した鉄は磁場の強い方へ引かれるので，磁石に付きます．真っ赤に焼くとキュリー温度を超えてそろいが壊れ，磁石の性質を失います．