電流と磁場

磁性体の例題

著者：柚木芹香

鉄心のあるコイルの磁場，ヒステリシスによる損失，磁石が金属片を引く力を求めます． $B$ ， $H$ ， $M$ のどれを計算しているのかを，いつも単位で確かめてください．体積は $V$ と書きます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

周の長さ $ℓ = 0.40 m$ ，断面積 $S = 4.0 \times 10^{- 4} m^{2}$ の細い環の形の鉄心に，導線を $N = 400$ 回均等に巻き，電流 $I = 0.20 A$ を流す．鉄心は比透磁率 $μ_{r} = 2.0 \times 10^{3}$ の線形な物質とみなし， $μ_{0} = 4 π \times 10^{- 7} N A^{- 2}$ とする．

鉄心の中の $H$ ， $B$ ，磁束 $Φ$ ，磁化 $M$ を求めよ．鉄心が無いときの $B$ と比べよ．
鉄心の1か所を切り，幅 $d = 1.0 \times 10^{- 3} m$ のすき間を作る．電流は同じとする．すき間での磁束の広がりと漏れを無視して，鉄心とすき間の $B$ を求めよ．巻線の $N I$ のうち何 %がすき間の $H d$ に使われるか．

**［図：環状鉄心とすき間の磁束］**
N 回の巻線に電流 I を流す環状鉄心．断面積は S，周の長さは ℓ．右は幅 d のすき間を開けた場合で，磁力線が鉄心からすき間へ続く様子を示す．磁場や磁束の計算値は示していない．

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考え方 自由電流だけで決まる $H$ の線積分を，環に沿って一周の道で使う．すき間の面では $B$ の法線成分がつながる．

$H ℓ = N I$ より $H = 400 \times 0.20 / 0.40 = 2.0 \times 10^{2} A m^{- 1}$ ．

B = μ_{r} μ_{0} H = 2.0 \times 10^{3} \times 4 π \times 10^{- 7} \times 2.0 \times 10^{2} = 0.50 T

で， $Φ = B S = 2.0 \times 10^{- 4} Wb$ ， $M = B / μ_{0} - H = (μ_{r} - 1) H = 4.0 \times 10^{5} A m^{- 1}$ である．鉄心が無ければ $B = μ_{0} H = 2.5 \times 10^{- 4} T$ で，鉄心はその $2.0 \times 10^{3}$ 倍の磁場を作る．磁場の大部分は，巻線の電流ではなく鉄の磁化電流が作っている．

鉄心の中の磁場の強さを $H_{i}$ ，すき間を $H_{g}$ とすると，一周の線積分は $H_{i} (ℓ - d) + H_{g} d = N I$ ． $B$ は両方で等しいので $H_{i} = B / (μ_{r} μ_{0})$ ， $H_{g} = B / μ_{0}$ で， $d$ は $ℓ$ よりずっと小さいので $ℓ - d \approx ℓ$ とすると

B = \frac{μ_{0} N I}{ℓ / μ_{r} + d} = \frac{4 π \times 10^{- 7} \times 80}{2.0 \times 10^{- 4} + 1.0 \times 10^{- 3}} = 8.4 \times 10^{- 2} T

である．すき間の分は $H_{g} d = B d / μ_{0} = 67 A$ で， $N I = 80 A$ の83 %にあたる． $1 mm$ のすき間が， $40 cm$ の鉄心より大きな「抵抗」になっている．

確かめ： $d \to 0$ で(1)に戻り， $μ_{r} \to \infty$ で $B \to μ_{0} N I / d = 0.10 T$ となる．すき間の広がりを無視できるのは， $d$ が断面の大きさ $\sqrt{S} = 2 cm$ よりずっと小さいからである．実際の鉄は $μ_{r}$ が $B$ によって変わるので， $B$ が飽和に近い所ではこの線形の計算は使えない．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

変圧器の鉄心の材料のヒステリシス曲線を，横軸 $H$ ，縦軸 $B$ の平行四辺形で近似する． $B$ が増えるときは直線 $H = H_{c} + B / κ$ を，減るときは直線 $H = - H_{c} + B / κ$ をたどり， $B$ は $- B_{m}$ と $B_{m}$ の間を往復する（ $κ$ は正の定数）． $H_{c} = 30 A m^{- 1}$ ， $B_{m} = 1.2 T$ とする．

1往復で単位体積あたりに失われるエネルギー $w$ を， $\int H d B$ を計算して求めよ．結果は $κ$ によるか．
体積 $V = 2.0 \times 10^{- 3} m^{3}$ の鉄心を振動数 $50 Hz$ で使うときの損失の仕事率を求めよ．同じ $B_{m}$ で保磁力 $H_{c} = 8.0 \times 10^{5} A m^{- 1}$ の永久磁石の材料を使ったらどうなるか．

**［図：平行四辺形で近似したヒステリシス曲線］**
B が増える辺は H = Hc + B/κ，減る辺は H = −Hc + B/κ．B は ±Bm の間を往復する．傾き κ の平行な2辺と ±Hc，±Bm，たどる向きを示す．損失の答えは示していない．

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考え方 1周の積分を， $B$ が増える辺と減る辺に分ける． $B / κ$ の部分は往きと帰りで打ち消し合い， $\pm H_{c}$ の部分だけが残る．

$B$ が増える辺の寄与は

\int_{- B_{m}}^{B_{m}} (H_{c} + \frac{B}{κ}) d B = 2 H_{c} B_{m}

で， $B$ が減る辺の寄与は

\int_{B_{m}}^{- B_{m}} (- H_{c} + \frac{B}{κ}) d B = 2 H_{c} B_{m}

である．合わせて $w = 4 H_{c} B_{m} = 4 \times 30 \times 1.2 = 1.4 \times 10^{2} J m^{- 3}$ で， $κ$ によらない． $4 H_{c} B_{m}$ は平行四辺形の面積（底辺 $2 H_{c}$ ，高さ $2 B_{m}$ ）そのものである．

仕事率は $f w V = 50 \times 1.44 \times 10^{2} \times 2.0 \times 10^{- 3} = 14 W$ である．永久磁石の材料では $w = 4 \times 8.0 \times 10^{5} \times 1.2 = 3.8 \times 10^{6} J m^{- 3}$ で，同じ使い方なら損失は $3.8 \times 10^{5} W$ になり，変圧器にはまったく使えない．そもそも $B$ を反転させるだけで $8.0 \times 10^{5} A m^{- 1}$ もの $H$ が要る．逆に，逆向きの $H$ をかなり加えても磁化が反転しないことが，永久磁石としての長所である．

確かめ：単位は $A m^{- 1} \cdot T = A m^{- 1} \cdot N A^{- 1} m^{- 1} = J m^{- 3}$ で正しい． $H_{c} \to 0$ なら曲線は1本の直線になり，損失は0になる．実際の鉄心では，鉄心の中を回る誘導電流（第23章）による損失も加わるので，薄い板を絶縁して重ねて使う．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

円柱形の磁石の軸の上， $x$ 軸に沿って，1辺 $5.0 mm$ の小さな立方体を置く．立方体の中心の位置で，磁場は $+ x$ 向きに $B = 0.20 T$ で，磁石から離れるほど弱まり， $\frac{d B}{d x} = - 20 T m^{- 1}$ である．立方体の磁気モーメントは $x$ 方向を向き，力は $F_{x} = m \frac{d B}{d x}$ で見積もる． $μ_{0} = 1.26 \times 10^{- 6} N A^{- 2}$ ， $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

鉄の立方体（密度 $7.9 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ）の磁化は，この位置で $M = 4.0 \times 10^{5} A m^{- 1}$ と測られた．力の大きさと向きを求め，重さと比べよ．
同じ大きさのアルミの立方体（磁化率 $χ = 2.2 \times 10^{- 5}$ ，密度 $2.7 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ）と，銅の立方体（ $χ = - 9.7 \times 10^{- 6}$ ，密度 $9.0 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ）について，同じ見積もりをせよ．
この見積もりの精度を，立方体の大きさと磁場の変化から論じよ．結論は変わるか．

**［図：磁石から離れるほど広がる磁力線］**
円柱形の磁石の軸に沿って x 軸を取り，その軸上に1辺5.0 mm の立方体を置く．中心での磁場 B は +x 向きで，磁石から離れるほど磁力線が広がる．立方体に働く力の向きは示していない．

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考え方 磁気モーメントは $m = M V$ ．弱い磁性体では物質を入れても磁場はほとんど変わらないので $H \approx B / μ_{0}$ ， $M = χ B / μ_{0}$ とする．

$V = {(5.0 \times 10^{- 3})}^{3} = 1.25 \times 10^{- 7} m^{3}$ で， $m = M V = 5.0 \times 10^{- 2} A m^{2}$ ．

F_{x} = m \frac{d B}{d x} = 5.0 \times 10^{- 2} \times (- 20) = - 1.0 N

で，磁石へ向かう向きに $1.0 N$ である．重さは $7.9 \times 10^{3} \times 1.25 \times 10^{- 7} \times 9.8 = 9.7 \times 10^{- 3} N$ なので，力は重さの約100倍で，鉄片は磁石に吸い付く．

アルミでは $M = χ B / μ_{0} = 2.2 \times 10^{- 5} \times 0.20 / (1.26 \times 10^{- 6}) = 3.5 A m^{- 1}$ ，力は $3.5 \times 1.25 \times 10^{- 7} \times 20 = 8.7 \times 10^{- 6} N$ で，磁石へ向かう．重さ $3.3 \times 10^{- 3} N$ の $2.6 \times 10^{- 3}$ 倍にすぎない．銅では $M = - 1.5 A m^{- 1}$ ，力は $3.8 \times 10^{- 6} N$ で，磁石から離れる向きである．重さ $1.1 \times 10^{- 2} N$ の $3.5 \times 10^{- 4}$ 倍にすぎない．
中心での勾配を幅全体に当てはめると，立方体の幅 $5.0 mm$ の間の磁場の変化は $20 \times 5.0 \times 10^{- 3} = 0.10 T$ ，つまり中心の値の半分と見積もられる．中心の値だけを使う見積もりは，立方体が磁場の変わる長さ（ここでは $B / | d B / d x | = 1.0 cm$ ）よりずっと小さいことを前提にしているので，ここでは十分よい近似とはいえない．中心の磁場と勾配だけでは誤差の大きさや結論を断定できず，立方体内の磁場と磁化の分布が必要である．ただし，力の向きが変わらず，補正が数倍以内なら，力と重さの比は鉄では約100倍，アルミでは $10^{- 3}$ 倍の程度と桁で違うので，鉄の磁気力は重さより大きく，アルミや銅では小さいという比較は変わらない．

確かめ：鉄の $μ_{0} M = 0.50 T$ は飽和の約 $2.2 T$ より小さく，あり得る値である．鉄の磁化は形や履歴によるので $χ$ からは求めず，測定値を与えた．アルミと銅では $| χ |$ が1より十分小さいので， $H \approx B / μ_{0}$ の近似がよく成り立つ．

ポイントここまでのまとめ

環状の鉄心では $H ℓ = N I$ から $H$ が決まり， $B = μ_{r} μ_{0} H$ ．すき間があると $B$ は法線成分がつながる条件から決まり，狭いすき間でも $B$ を大きく下げる．
ヒステリシスの損失は1往復で単位体積あたり $\int H d B$ （曲線の面積）．可逆な直線の部分は打ち消し合い，保磁力の幅の分だけが残る．
小片の力は $F_{x} = m d B / d x$ ．鉄とアルミ・銅では磁化が $10^{5}$ 倍ほど違うので，付くか付かないかがはっきり分かれる．
中心の値で力を見積もるには，小片が磁場の変わる長さより小さいことが要る．