運動を記述する

速度から位置への演習

著者：柚木芹香

v-tグラフの面積と積分で，変位・道のり・位置を求めます．積分定数と初期条件を忘れないようにしてください．

演習

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

直線上を走る自転車のv-tグラフは，0 sから3 sまで速度が0から $6 m s^{- 1}$ まで直線的に増え，3 sから8 sまで $6 m s^{- 1}$ で一定，8 sから10 sまで直線的に減って0になる．この10 sの間の変位，道のり，平均の速度を求めよ．

**［図：自転車のv-tグラフ］**
横軸が時刻t（単位s），縦軸が速度v（単位m/s）のグラフ．（0，0），（3，6），（8，6），（10，0）を折れ線で結んだ台形．

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考え方 面積を3つの部分に分けて足す．速度は負にならないので，変位と道のりは等しい．

0〜3 sは三角形で $\frac{1}{2} \times 3 \times 6 = 9 m$ ，3〜8 sは長方形で $5 \times 6 = 30 m$ ，8〜10 sは三角形で $\frac{1}{2} \times 2 \times 6 = 6 m$ である．合計は $45 m$ で，これが変位であり，速度が負にならないので道のりも $45 m$ である．平均の速度は $45 / 10 = 4.5 m s^{- 1}$ である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

一直線上を速度 $v_{0}$ で進む物体が，ブレーキをかけると $v = v_{0} - k t$ （ $k$ は正の定数）で速度が減っていく．ブレーキをかけ始めた時刻を $t = 0$ ，位置を $x = 0$ とする．(1) 止まるまでの時間 (2) 止まるまでに進む距離を，積分で求めよ．(3) $v_{0} = 20 m s^{- 1}$ ， $k = 4 m s^{- 2}$ の数値を代入せよ．

**［図：直線運動の初期状態］**
原点でブレーキをかけ始める物体と初速度v₀を示す．

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考え方 停止は $v = 0$ の時刻．位置は速度を積分して，停止の時刻での値を読む．

$v_{0} - k t = 0$ より $t_{1} = v_{0} / k$ ．
$x (t) = \int_{0}^{t} (v_{0} - k s) d s = v_{0} t - \frac{1}{2} k t^{2}$ である． $t_{1}$ を代入すると

x (t_{1}) = \frac{v_{0}^{2}}{k} - \frac{k}{2} \cdot \frac{v_{0}^{2}}{k^{2}} = \frac{v_{0}^{2}}{2 k}

$t_{1} = 20 / 4 = 5 s$ ， $x = 400 / 8 = 50 m$ ．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

物体が静止の状態から，加速度 $a = α t$ （ $α$ は正の定数，単位は $m s^{- 3}$ ）で直線上を動き始める．時刻 $t = 0$ の位置を原点とする．(1) 速度と位置を時刻の関数として求めよ．(2) $α = 4 m s^{- 3}$ のとき，速さが $18 m s^{- 1}$ になる時刻と，その間に進む距離を求めよ．

**［図：時間とともに増す加速度］**
原点に静止した物体と，正のx方向に増す加速度a=αtを示す．

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考え方 加速度を積分して速度，もう一度積分して位置を得る．初期条件は $v (0) = 0$ ， $x (0) = 0$ ．

$v (t) = \int_{0}^{t} α s d s = \frac{1}{2} α t^{2}$ ． $x (t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{2} α s^{2} d s = \frac{1}{6} α t^{3}$ ．
$v = 2 t^{2} = 18$ より $t = 3 s$ ．距離は $x = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 27 = 18 m$ ．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

原点から出発して正のx方向に動き始める質点の速度が， $v = v_{0} (1 - t / τ)$ で与えられる．ただし $v_{0} = 15 cm s^{- 1}$ ， $τ = 6.0 s$ である．(1) 位置 $x (t)$ を求めよ．(2) 位置が $x = 40 cm$ になる時刻をすべて求めよ．(3) $t = 12 s$ までの道のりを求めよ．

**［図：直線運動の初期状態］**
時刻0に原点から正のx方向へ出発する質点を示す．

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考え方 速度は $t = τ$ で符号が変わる．位置は積分で求め，道のりは符号が変わる時刻で区間を分ける．

$x (t) = \int_{0}^{t} v_{0} (1 - \frac{s}{τ}) d s = v_{0} (t - \frac{t^{2}}{2 τ}) = 15 t - \frac{5}{4} t^{2}$ （cm）．
$15 t - \frac{5}{4} t^{2} = 40$ より $t^{2} - 12 t + 32 = 0$ ， $(t - 4) (t - 8) = 0$ ．よって $t = 4 s$ と $8 s$ ．1度目は行きの途中，2度目は折り返したあとである．
$t = 6 s$ で $v = 0$ になり，それ以降は $v < 0$ である． $x (6) = 90 - 45 = 45 cm$ ． $x (12) = 180 - 180 = 0$ ．6 sまでに45 cm進み，6 s以降に同じ距離だけ戻るので，道のりは $45 + 45 = 90 cm$ で，変位は0である．

演習 5

オリジナル ★★☆☆☆

x軸上の物体の速度が $v (t) = t^{2} - 4 t + 3$ （ $m s^{- 1}$ ）で， $t = 0$ に原点にある． $0 \leq t \leq 4 s$ について，(1) 変位 (2) 道のり (3) $x (t)$ の極値となる時刻を求めよ．

**［図：与えられた速度のグラフ］**
問題で与えられたvと時刻tの関係を示す．求める量やその値は記入しない．

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考え方 $v = 0$ となる時刻で区間を分ける．速度の符号が変わる時刻は，位置の極値の時刻である．

$v = (t - 1) (t - 3)$ で， $0 < t < 1$ で正， $1 < t < 3$ で負， $3 < t < 4$ で正である．位置は

x (t) = \frac{t^{3}}{3} - 2 t^{2} + 3 t

であり， $x (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 = \frac{4}{3}$ ， $x (3) = 9 - 18 + 9 = 0$ ， $x (4) = \frac{64}{3} - 32 + 12 = \frac{4}{3}$ （m）．

変位は $x (4) - x (0) = \frac{4}{3} m$ ．
区間ごとの変位は $+ \frac{4}{3}$ ， $- \frac{4}{3}$ ， $+ \frac{4}{3}$ なので，道のりは各絶対値の和で $\frac{4}{3} \times 3 = 4 m$ ．
極大は $t = 1 s$ ，極小は $t = 3 s$ である．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

抵抗を受けて減速する物体の加速度が，速度に比例して $a = - k v$ （ $k$ は正の定数）と表されるとする．時刻 $t = 0$ に原点を速度 $v_{0}$ で通過した．(1) $v (t) = v_{0} e^{- k t}$ がこの関係を満たすことを微分で確かめよ（指数関数の微分 $(e^{k t})^{'} = k e^{k t}$ を使ってよい）．(2) 位置 $x (t)$ を求めよ．(3) 止まるまでに進む距離はいくらか．また，物体は有限の時間で止まるか．

**［図：直線運動の初期状態］**
速度と逆向きに加速度が働く物体の初期状態を示す．

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考え方 (1) は微分して確かめる．(2) は (1) の速度を積分する．

$\frac{d v}{d t} = - k v_{0} e^{- k t} = - k v$ となり， $a = - k v$ を満たす．初期条件 $v (0) = v_{0}$ も満たす．
$x (t) = \int_{0}^{t} v_{0} e^{- k s} d s = \frac{v_{0}}{k} (1 - e^{- k t})$ ．
$t \to \infty$ で $e^{- k t} \to 0$ となり， $x \to v_{0} / k$ ．進む距離は $v_{0} / k$ を超えない． $v_{0} e^{- k t}$ は有限の時刻では0にならないので，有限の時間では止まらず，限りなくゆっくり $v_{0} / k$ に近づく．演習 2 の一定の加速度の減速とは，この点が違う．

ポイント教える人へ

問いかけ：「速度計の記録だけで走った距離は分かるか」と聞き，台形のグラフを見せる．面積が変位になる理由を，「短い時間なら速度は一定とみなせる」という言い方で，教わる人自身に言わせる．
つまずき：定積分（面積という数）と不定積分（関数）が混ざる．積分定数を入れ忘れて初期条件を使わない誤りも多いので，位置を求めるときは必ず「初めの位置は？」と聞き返す．
変位と道のり：速度が負の区間の扱いで混乱する．往復運動の図を描かせ，戻ったぶんをどう数えるかを言葉で説明させる．
理解の確かめ： $v = 3 t^{2}$ の0から1までの変位を，区分求積の和（ $n = 4$ など）と原始関数の両方で求めさせる．「 $a = - k v$ は止まるか」と問い，第4章の空気抵抗への関心につなげる．