運動を記述する

速度から位置へと積分

著者：柚木芹香

前の節で，v-tグラフの面積が変位になることを見ました．毎回細い長方形を足し合わせるのは大変なので，ここでは微分の逆向きの操作を使った近道を作り，積分の道具として整えます．

原始関数と微積分学の基本定理

前の節の結果をよく見てください． $v = 3 t^{2}$ の0から1までの変位が1でした．ところが $x = t^{3}$ を微分すると $3 t^{2}$ になり， $x (1) - x (0) = 1 - 0 = 1$ と一致します．これは偶然ではありません．

定義原始関数と不定積分

微分すると $f (t)$ になる関数 $F (t)$ ，すなわち $F^{'} (t) = f (t)$ を満たす $F$ を， $f$ の原始関数という．原始関数は定数だけの違いを除いて決まるので，

\int f (t) d t = F (t) + C (C は積分定数)

と書き，不定積分という．

定理微積分学の基本定理

$F$ が $v$ の原始関数であるとき，

\int_{a}^{b} v (t) d t = F (b) - F (a)

が成り立つ．右辺を $[F (t)]_{a}^{b}$ とも書く．

証明の筋だけ述べます（ $v$ は連続とします）．定積分の上端を動かして $S (t) = \int_{a}^{t} v (s) d s$ という関数を作ります．時刻が $h$ だけ進むと， $S$ は幅 $h$ の細い帯の面積だけ増えます． $h$ が小さければ帯はほぼ長方形で，高さは $v (t)$ なので

S (t + h) - S (t) \approx v (t) h ⟹ \frac{S (t + h) - S (t)}{h} \to v (t) (h \to 0)

となり， $S^{'} (t) = v (t)$ です．すなわち $S$ は $v$ の原始関数の1つです．ほかの原始関数 $F$ との差 $F - S$ は，微分すると0になるので定数であり， $F (b) - F (a) = S (b) - S (a) = S (b)$ となります．これが定理の中身です．

運動の言葉に直すと，「位置を微分すると速度」の逆として「速度を積分すると位置の変化」が成り立ちます．時刻 $t$ の位置は，初めの位置に，そこまでの変位を加えて

x (t) = x (0) + \int_{0}^{t} v (s) d s

と書けます．不定積分で書くなら $x (t) = F (t) + C$ で，積分定数 $C$ を決めるのが初期条件 $x (0) = x_{0}$ です．速度から位置を求めるには，速度だけでは足りず，出発点の位置という情報が1つ必要です．同じ速度でも，どこから出発したかで位置は変わるからです．加速度 $a (t)$ から速度を求めるときも同じで， $v (t) = v (0) + \int_{0}^{t} a (s) d s$ となり，初速度が必要です．

定理数学の道具：積分

べき関数，三角関数，指数関数の原始関数は，微分の公式を逆に読んで得られる． $C$ は積分定数， $k$ は0でない定数， $ω$ も0でない定数とする（ $k = 0$ なら $e^{k t} = 1$ で $\int d t = t + C$ ， $ω = 0$ なら $\sin (ω t) = 0$ で積分は定数 $C$ となる）．指数関数の微分 $(e^{k t})^{'} = k e^{k t}$ は高校数学の結果としてそのまま使う．

\int t^{n} d t = \frac{t^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq - 1), \int \sin t d t = - \cos t + C, \int \cos t d t = \sin t + C, \int e^{k t} d t = \frac{e^{k t}}{k} + C

定数倍と和は項ごとに積分できます．

\int (α f + β g) d t = α \int f d t + β \int g d t

確かめ方は，右辺を微分して被積分関数に戻ることを見るだけです．また $\sin (ω t)$ のように中身が $ω t$ のときは，微分で $ω$ が出てくることを逆に使って

\int \sin (ω t) d t = - \frac{\cos (ω t)}{ω} + C

です．定積分は，原始関数を1つ見つけて端点の値の差をとります．

\int_{1}^{3} 2 t d t = [t^{2}]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8

練習 1． $\int_{0}^{2} (3 t^{2} - 4 t + 1) d t$ を求めよ．

練習 2． $\int_{0}^{π / 2} \cos t d t$ と $\int_{0}^{π} \sin t d t$ を求めよ．

練習 3． $\int_{1}^{4} \sqrt{t} d t$ ， $\int_{0}^{π} \sin 2 t d t$ ， $\int_{0}^{1} e^{2 t} d t$ を求めよ（ $\int t^{n} d t$ の公式は $n = \frac{1}{2}$ のような分数でも使える）．

練習 4． 速度が $v = 4 - 2 t [m s^{- 1}]$ の物体について， $t = 0$ から $3 s$ までの変位と道のりを求めよ．

答え：(1) 原始関数は $t^{3} - 2 t^{2} + t$ なので， $8 - 8 + 2 = 2$ ．(2) $[\sin t]_{0}^{π / 2} = 1$ ， $[- \cos t]_{0}^{π} = 1 - (- 1) = 2$ ．(3) ${[\frac{2}{3} t^{3 / 2}]}_{1}^{4} = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{14}{3}$ ． ${[- \frac{1}{2} \cos 2 t]}_{0}^{π} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ ． ${[\frac{1}{2} e^{2 t}]}_{0}^{1} = \frac{e^{2} - 1}{2} \approx 3.19$ ．(4) 変位は $[4 t - t^{2}]_{0}^{3} = 3 m$ ． $t = 2$ で $v = 0$ となって向きを変えるので，道のりは $0 \to 2 s$ の $4 m$ と $2 \to 3 s$ の $1 m$ を足して $5 m$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

x軸上を運動する物体の速度が $v = 3 t^{2}$ （ $m s^{- 1}$ ， $t$ の単位は s）で表されるとき， $t = 1 s$ から $t = 3 s$ までの変位を求めよ．さらに $t = 0$ の位置が $x = 2 m$ のとき， $x (t)$ を求めよ．

**［図：与えられた速度のグラフ］**
問題で与えられたvと時刻tの関係を示す．求める量やその値は記入しない．

解答を見る

考え方 速度の積分が変位になる．原始関数を見つけて端点の値の差をとる．位置そのものは初期条件で積分定数を決める．

$3 t^{2}$ の原始関数の1つは $t^{3}$ なので，

Δ x = \int_{1}^{3} 3 t^{2} d t = [t^{3}]_{1}^{3} = 27 - 1 = 26 m

である．位置は $x (t) = t^{3} + C$ と書け， $x (0) = 2$ から $C = 2$ であるので， $x (t) = t^{3} + 2$ （m）．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

x軸上を運動する物体の加速度が $a (t) = 6 t - 4$ （ $m s^{- 2}$ ）で， $t = 0$ での速度が $v (0) = 2 m s^{- 1}$ ，位置が $x (0) = 1 m$ である．速度 $v (t)$ と位置 $x (t)$ を求めよ．また，速度が最小になる時刻と，そのときの速度を求めよ．

**［図：与えられた加速度のグラフ］**
問題で与えられたaと時刻tの関係を示す．求める量やその値は記入しない．

解答を見る

考え方 加速度を積分して速度，速度を積分して位置を得る．そのつど初期条件で積分定数を決める．速度の最小は $a = 0$ の時刻に現れる．

$v (t) = \int (6 t - 4) d t = 3 t^{2} - 4 t + C_{1}$ ． $v (0) = 2$ から $C_{1} = 2$ なので

v (t) = 3 t^{2} - 4 t + 2

である．次に $x (t) = \int (3 t^{2} - 4 t + 2) d t = t^{3} - 2 t^{2} + 2 t + C_{2}$ ． $x (0) = 1$ から $C_{2} = 1$ で，

x (t) = t^{3} - 2 t^{2} + 2 t + 1

となる．速度の最小は $a = 6 t - 4 = 0$ より $t = \frac{2}{3} s$ ．このとき $v = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 2 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 2 = \frac{2}{3} m s^{- 1}$ で， $a$ が負から正に変わるので最小である．

ポイントここまでのまとめ

$F^{'} (t) = f (t)$ となる $F$ が原始関数．定積分は $\int_{a}^{b} v d t = F (b) - F (a)$ （微積分学の基本定理）．
公式： $\int t^{n} d t = \frac{t^{n + 1}}{n + 1} + C$ （ $n \neq - 1$ ）， $\int \sin t d t = - \cos t + C$ ， $\int \cos t d t = \sin t + C$ ， $\int e^{k t} d t = \frac{e^{k t}}{k} + C$ （ $k \neq 0$ ）． $\sin (ω t)$ のように中身が $ω t$ のときは $ω \neq 0$ の定数として $- \cos (ω t) / ω$ を使う．
$x (t) = x (0) + \int_{0}^{t} v (s) d s$ ， $v (t) = v (0) + \int_{0}^{t} a (s) d s$ （積分変数は $s$ ，上端の $t$ と区別する）．積分定数は初期条件（初めの位置・初速度）で決める．
位置を求めるには，速度のほかに出発点の位置が1つ要る．