電荷と電場

対称な電荷分布とガウスの法則の演習

著者：柚木芹香

対称性を確かめて流束を計算してください．電荷は固定され，空間は真空とします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

中心を共有する半径 $a, b$ （ $0 < a < b$ ）の薄い球面に，それぞれ電荷 $+ Q, - 2 Q$ を一様に固定する． $Q > 0$ とする．

中心からの距離 $r$ における電場の外向き成分 $E_{r}$ を，3領域に分けて求めよ．球面そのものは除く．
$a < r < b$ の球面を通る外向きの流束 $Φ_{E}$ は，外側の電荷を取り除くと変わるか．

**［図：同心の帯電球面とガウス面］**
半径a，bの同心球面と各電荷，その間の半径rのガウス面を描く．

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考え方
球対称性で電場は半径方向である．面が囲む電荷を数える．

半径 $r$ の球面で $4 π r^{2} E_{r} = Q_{in} / ε_{0}$ ．囲む電荷は順に $0, Q, - Q$ なので

E_{r} = {\begin{array}{ll} 0 & (r < a), \\ Q / (4 π ε_{0} r^{2}) & (a < r < b), \\ - Q / (4 π ε_{0} r^{2}) & (r > b) ． \end{array}

流束は $Q / ε_{0}$ で変わらない．ただし一般には，面外の電荷が流束を変えないことから各点の電場が変わらないとは言えない．遠方では総電荷 $- Q$ の点電荷と同じ場になる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

無限に長い円筒状の領域 $a < r < b$ に，一様な体積電荷密度 $ρ > 0$ を固定する． $r$ は軸からの距離であり， $r < a$ と $r > b$ に電荷はない．

電場の外向き成分 $E_{r}$ を全領域で求めよ．
長さあたりの電荷を $λ$ とし，外部の電場を $λ$ で表せ． $r = b$ でのつながりも確かめよ．

**［図：帯電した円筒領域とガウス面］**
同軸の半径a，bの円筒境界と，一部を切り出した長さLのガウス面を描く．

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考え方
円筒対称性から場は半径方向で，流束は側面だけから出る．

半径 $r$ ，長さ $L$ の面で $2 π r L E_{r} = Q_{in} / ε_{0}$ ．内部電荷は順に $0, ρ π (r^{2} - a^{2}) L, ρ π (b^{2} - a^{2}) L$ ．従って $r < a$ で $E_{r} = 0$ ， $a < r < b$ で $E_{r} = ρ (r^{2} - a^{2}) / (2 ε_{0} r)$ ， $r > b$ で $E_{r} = ρ (b^{2} - a^{2}) / (2 ε_{0} r)$ ．
$λ = ρ π (b^{2} - a^{2})$ より外部では $E_{r} = λ / (2 π ε_{0} r)$ ．両側で $E_{r} (b) = ρ (b^{2} - a^{2}) / (2 ε_{0} b)$ となり，連続である． $a \to 0$ では一様な円柱内部の場 $ρ r / (2 ε_{0})$ に戻る．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

$- d < x < d$ にだけ正の一定電荷密度 $ρ$ がある，無限に広い厚い平板を考える． $d, ρ$ は未知である．他の電荷による場はない．電場の測定結果は次のとおりで，測定誤差は無視する． $ε_{0} = 8.85 \times 10^{- 12} C V^{- 1} m^{- 1}$ とする．

$x / mm$	−2.00	−1.00	0	1.00	2.00	3.00
$E_{x} / (V m^{- 1})$	−200	−100	0	100	200	200

ガウスの法則で $E_{x} (x)$ を導き，厚さ $2 d$ と $ρ$ を求めよ．
平板の単位面積あたりの総電荷を求めよ．表から一様性を証明できるか述べよ．

**［図：未知の厚さの平板と測定点］**
平板の中央をx=0とし，未知の半厚さd，測定点の位置を描く．

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考え方
対称な箱で流束を数え，場の傾きと一定値から未知量を決める．

$x > 0$ の両底面の面積を $S$ とすると，内部では $2 S E_{x} = 2 x S ρ / ε_{0}$ ，外部では $2 S E_{x} = 2 d S ρ / ε_{0}$ ．従って内部は $E_{x} = ρ x / ε_{0}$ ，外部は $E_{x} = ρ d / ε_{0}$ ．負側では符号が反転する．傾きは $s = 1.00 \times 10^{5} V m^{- 2}$ なので $ρ = ε_{0} s = 8.85 \times 10^{- 7} C m^{- 3}$ ．一定値から $d = 200 / s = 2.00 \times 10^{- 3} m$ ，厚さは $4.00 mm$ ．
$2 d ρ = 3.54 \times 10^{- 9} C m^{- 2}$ ．点間の変化は排除できず，一様性は模型の仮定である．式に戻すと全測定点を再現する．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

半径 $R$ の球に正電荷密度 $ρ$ を一様に固定し，中心から距離 $b < R$ の直線に沿って細いトンネルを開ける．トンネルで除いた電荷の効果は無視する．質量 $m$ ，電荷 $- q$ （ $q > 0$ ）の粒子を，摩擦のない案内でこの直線上に拘束する．中心に最も近い点からの座標を $x$ とし， $0 < A < \sqrt{R^{2} - b^{2}}$ の位置から静かに放す．重力を無視する．

運動方程式と周期を求めよ．
$x = 0$ を初めて通る時間と速さを求め，案内が必要な理由を述べよ．

**［図：球内の偏心トンネルと初期位置］**
球の断面と中心から距離bのトンネル，座標x，初期位置A，電荷−qを示す．

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考え方
球内の電場の直線方向の成分を求める．

半径 $r < R$ の球面で $4 π r^{2} E_{r} = ρ (4 π r^{3} / 3) / ε_{0}$ より $E_{r} = ρ r / (3 ε_{0})$ ．直線方向の成分は $E_{x} = E_{r} x / r = ρ x / (3 ε_{0})$ ．よって $m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - q ρ x / (3 ε_{0})$ ， $ω = \sqrt{q ρ / (3 m ε_{0})}$ ， $T = 2 π / ω$ ．周期は $b$ に依存しない．
初期条件から $x = A \cos ω t$ ， $v_{x} = - A ω \sin ω t$ ．通過時間は $π / (2 ω)$ ，速さは $A ω$ ． $b > 0$ なら中心へ向かう垂直成分 $q ρ b / (3 ε_{0})$ もあり，案内の力がこれを支える．振幅の条件により軌道は球内に収まる．近似にはトンネル半径と $R$ の比が十分小さいことも必要である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

ある領域の静電場が $E_{x} = α x^{2}$ ， $E_{y} = β y$ ， $E_{z} = 0$ と与えられる． $α, β > 0$ で，単位はそれぞれ $V m^{- 3}, V m^{- 2}$ である．領域内の直方体 $0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c$ を考える．

発散を用いて体積電荷密度 $ρ (x, y, z)$ を求めよ．
直方体の各面の外向き流束を直接数え，(1)を体積積分した電荷とガウスの法則が一致することを示せ．

**［図：直方体の辺と各面の外向き法線］**
座標軸に沿う辺a，b，cの直方体と，各面の外向き法線を示す．

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考え方
発散による密度を，向かい合う面の流束の差で確かめる．

$\nabla \cdot E = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} + \frac{\partial E_{y}}{\partial y} + \frac{\partial E_{z}}{\partial z} = 2 α x + β$ ．従って $ρ = ε_{0} (2 α x + β)$ ．
$x = a$ の面は $α a^{2} b c$ ， $x = 0$ の面は0． $y = b$ の面は $β b a c$ ， $y = 0$ の面は0． $z$ の両面は0なので $Φ_{E} = b c (α a^{2} + β a)$ ．一方

Q_{in} = ε_{0} b c \int_{0}^{a} (2 α x + β) d x = ε_{0} b c (α a^{2} + β a) = ε_{0} Φ_{E} ．

$ρ$ の単位は $C m^{- 3}$ ， $Q_{in}$ は $C$ であり，両表現が一致する．

ポイント教える人へ

流束を電場と面積の積にできる根拠を，対称性と法線の向きから説明させる．
内部電荷が0でも一般に電場は0とは限らないことを問う．
密度を仮定して測定に合うことと，測定から一意に密度が決まることを区別させる．
トンネルの座標と球の半径座標，案内の力と復元力を別々に示させる．