電荷と電場

面積分と流束，発散とガウスの定理

著者：柚木芹香

本体の節では，流束を「電場 × 面積」の掛け算で計算できる場合だけを扱いました．ここでは面積分の一般の形と，電荷の分布を積分して電場を出す方法を練習し，後半（発展）で発散とガウスの定理を熱の流れから導入します．

定理数学の道具：面積分と流束

面を小さな部分に分け， $i$ 番目の部分の面積を $Δ S_{i}$ ，法線ベクトルを $n_{i}$ とする．分け方を細かくした極限

\int E \cdot n d S = lim \sum_{i} E_{i} \cdot n_{i} Δ S_{i}

を面積分という．よく使う面では次のように分ける．

平面（ $x y$ 平面）： $d S = d x d y$ ， $n = e_{z}$ ．中心からの距離 $s$ の輪に分けるなら $d S = 2 π s d s$ ．
半径 $r$ の円筒の側面：軸を $z$ 軸とし，軸のまわりの角を $φ$ として $d S = r d φ d z$ ， $n$ は軸から外向き．
半径 $r$ の球面：極からの角 $θ$ で幅 $r d θ$ の帯に分けると，帯の半径は $r \sin θ$ なので $d S = 2 π r^{2} \sin θ d θ$ ．全体は $\int_{0}^{π} 2 π r^{2} \sin θ d θ = 4 π r^{2}$ ．

面上で $E \cdot n$ が一定なら，面積分は「その値 × 面積」です．一定でなくても，対称性で1つの変数だけの関数になれば，帯や輪に分けて1変数の積分になります．

練習1　 $z$ 方向の一様な電場 $E$ の中に，底面が $x y$ 平面上にある半径 $R$ の半球面（ふたの無いお椀を伏せた形）を置く．半球面を外向きに通る流束を求めよ．

練習2　点電荷 $q$ から距離 $d$ の所に，点電荷を通る軸に垂直な半径 $a$ の円板を置く．円板の中心は軸上にある．円板を点電荷から遠ざかる向きに通る流束を求めよ．

答え　練習1：半球面と底面の円板を合わせた閉じた面の中には電荷が無いので，流束の和は0．底面を外向き（ $- z$ 向き）に通る流束は $- E π R^{2}$ なので，半球面の流束は $E π R^{2}$ ．帯に分けて直接 $\int_{0}^{π / 2} E \cos θ \cdot 2 π R^{2} \sin θ d θ$ を計算しても同じ．練習2：中心から $s$ の輪では，電場の軸方向の成分が $k q d / (d^{2} + s^{2})^{3 / 2}$ なので

Φ_{E} = \int_{0}^{a} \frac{k q d}{(d^{2} + s^{2})^{3 / 2}} 2 π s d s = 2 π k q d [\frac{1}{d} - \frac{1}{\sqrt{d^{2} + a^{2}}}] = \frac{q}{2 ε_{0}} (1 - \frac{d}{\sqrt{d^{2} + a^{2}}})

$a \to \infty$ で $q / (2 ε_{0})$ ，全流束の半分になる．

定理数学の道具：連続な電荷分布の電場

電荷が線・面・体積に分布しているときは，小さな部分の電荷 $d q = λ d l$ ， $σ d S$ ， $ρ d V$ を点電荷とみなし，その電場を積分する．

E (r) = \int k \frac{d q}{{| r - r^{'} |}^{2}} \frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |}

ここで $r^{'}$ は小さな部分の位置である．先に対称性で打ち消し合う成分を消し，残った成分だけを積分する．

一様に帯電した輪の軸上．半径 $a$ ，電荷 $Q$ の輪の中心軸を $z$ 軸とします．輪の小さな部分 $d q$ から軸上の点 $z$ までの距離はどこも $\sqrt{a^{2} + z^{2}}$ です．軸に垂直な成分は，輪の反対側の部分と打ち消し合うので，軸方向の成分だけを足します． $d q$ の電場の大きさに，軸となす角の余弦 $z / \sqrt{a^{2} + z^{2}}$ を掛けて

E_{z} = \int \frac{k d q}{a^{2} + z^{2}} \cdot \frac{z}{\sqrt{a^{2} + z^{2}}} = \frac{k Q z}{(a^{2} + z^{2})^{3 / 2}}

です．被積分関数が輪の上で一定なので，積分は電荷を全部足すだけになりました．

**［図：帯電した輪の軸上の電場］**
半径 a の輪の向かい合う2つの部分 dq が軸上の点 P に作る電場を示す．軸に垂直な成分は逆向きで，z 方向の成分は同じ向きである．

発散とガウスの定理（発展）

ここからは，流束を各点の量に直します．最初の例は電場ではなく，熱の流れです（第18章で1次元の場合を扱いました．読んでいなくても次の説明だけで足ります）．熱が伝わる物体の中の各点に，熱の流れる向きを向き，大きさがその向きに垂直な単位面積を単位時間に通る熱エネルギーであるベクトル $h$ （単位 $W m^{- 2}$ ）を考えます．閉じた面を通る $h$ の流束 $\int h \cdot n d S$ は，単位時間に面から出ていく熱です．

小さな直方体（辺 $Δ x, Δ y, Δ z$ ，体積 $Δ V$ ）から出ていく熱を数えます． $x$ 軸に垂直な2つの面では，右の面（ $x + Δ x$ ）から $h_{x} (x + Δ x) Δ y Δ z$ が出て，左の面（ $x$ ）から $h_{x} (x) Δ y Δ z$ が入るので，正味の流出は

[h_{x} (x + Δ x) - h_{x} (x)] Δ y Δ z \approx \frac{\partial h_{x}}{\partial x} Δ x Δ y Δ z = \frac{\partial h_{x}}{\partial x} Δ V

です． $y$ ， $z$ の向きの面も同じなので，直方体から出ていく熱は全部で $(\partial h_{x} / \partial x + \partial h_{y} / \partial y + \partial h_{z} / \partial z) Δ V$ です．

**［図：小さな直方体を通る熱の流れ］**
辺 Δx，Δy，Δz の直方体を通る熱流束 hₓ(x) と hₓ(x + Δx) を示す．両者の矢印は＋x 向きで，右から出る量と左から入る量の差が正味の流出である．

定義発散

ベクトル場 $h$ の発散を

\nabla \cdot h = \frac{\partial h_{x}}{\partial x} + \frac{\partial h_{y}}{\partial y} + \frac{\partial h_{z}}{\partial z}

と定める．小さな体積から出ていく流束を，その体積で割ったものに等しい．演算子 $\nabla = (\partial / \partial x, \partial / \partial y, \partial / \partial z)$ とベクトル $h$ の内積の形をしているので， $\nabla \cdot h$ と書く．

大きな体積を小さな直方体に分けると，隣り合う2つの直方体が共有する面では，一方から出る流束がもう一方に入る流束なので，足すと打ち消し合います．残るのは外側の面の流束だけです．

定理数学の道具：ガウスの定理

閉じた面 $S$ と，それが囲む体積 $V$ について

\int_{S} h \cdot n d S = \int_{V} \nabla \cdot h d V

連続の式．熱がどこかで生まれたり消えたりしなければ，体積 $V$ から出ていく熱は，中の熱エネルギーの減少に等しくなります．単位体積あたりの熱エネルギーを $u$ とすると， $\int_{S} h \cdot n d S = - d / d t \int_{V} u d V$ です．左辺をガウスの定理で体積積分に直すと，どんな $V$ でも成り立つことから

\frac{\partial u}{\partial t} = - \nabla \cdot h

です．流れがわき出している所（ $\nabla \cdot h > 0$ ）では，中身が減っていきます．同じ形は保存する量なら何にでも成り立ちます．電荷では，電荷密度 $ρ$ と電流密度 $j$ （単位時間に単位面積を通る電荷，第21章）について $\partial ρ / \partial t = - \nabla \cdot j$ で，これが各点での電荷の保存です．1次元に戻すと，第18章の $\partial c / \partial t = - \partial J / \partial x$ です．

ガウスの法則の各点の形．ガウスの法則 $\int_{S} E \cdot n d S = \frac{1}{ε_{0}} \int_{V} ρ d V$ の左辺をガウスの定理で書き直すと，どんな $V$ でも $\int_{V} (\nabla \cdot E - ρ / ε_{0}) d V = 0$ なので，各点で $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ です．電場は，電荷のある所からだけわき出します．

練習3　点電荷 $q$ の電場 $E = k q r / r^{3}$ について，原点以外で $\nabla \cdot E = 0$ を確かめよ．

答え　 $\partial r / \partial x = x / r$ なので $\partial / \partial x (x / r^{3}) = 1 / r^{3} - 3 x^{2} / r^{5}$ ． $y$ ， $z$ も同じで，足すと $3 / r^{3} - 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) / r^{5} = 0$ ．わき出しは原点の1点に集まっている．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $2 L$ の線分に，単位長さあたり $λ$ の電荷が一様に分布している．線分の垂直二等分線上で，線分から距離 $d$ の点 P の電場を求めよ．また， $d$ が $L$ よりずっと小さい場合と，ずっと大きい場合の形を調べよ．

**［図：有限な線分電荷と点 P］**
x 軸上の −L から L までに線密度 λ の電荷が分布する．点 P は線分の垂直二等分線上で，線分からの距離は d である．解答で導入する微小電荷や電場成分は描かない．

解答を見る

考え方 線分を $x$ 軸に置き，位置 $x$ の小さな部分 $λ d x$ の電場を足す． $x$ と $- x$ の部分の $x$ 成分は打ち消し合うので， $y$ 成分だけを積分する．

位置 $x$ の部分から P までの距離は $\sqrt{d^{2} + x^{2}}$ ，電場が $y$ 軸となす角の余弦は $d / \sqrt{d^{2} + x^{2}}$ なので

E_{y} = \int_{- L}^{L} \frac{k λ d}{(d^{2} + x^{2})^{3 / 2}} d x

$d / d x (\frac{x}{d^{2} \sqrt{d^{2} + x^{2}}}) = \frac{1}{(d^{2} + x^{2})^{3 / 2}}$ を使うと

E_{y} = k λ d {[\frac{x}{d^{2} \sqrt{d^{2} + x^{2}}}]}_{- L}^{L} = \frac{2 k λ L}{d \sqrt{d^{2} + L^{2}}}

である．

$d$ が $L$ よりずっと小さいとき， $\sqrt{d^{2} + L^{2}} \approx L$ で $E_{y} \approx \frac{2 k λ}{d} = \frac{λ}{2 π ε_{0} d}$ ．無限に長い直線電荷の，ガウスの法則による結果に一致する． $d$ が $L$ よりずっと大きいとき， $\sqrt{d^{2} + L^{2}} \approx d$ で $E_{y} \approx \frac{k \cdot 2 λ L}{d^{2}}$ ．全電荷 $2 λ L$ の点電荷の電場になる．

確かめ：次元は $k λ / d$ で，点電荷の $k q / r^{2}$ と同じく電場の次元になっている．無限に長い直線の近似のずれは $1 - L / \sqrt{d^{2} + L^{2}} \approx d^{2} / (2 L^{2})$ の割合で，たとえば $d = 0.1 L$ なら 0.5 % である．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

球対称な電荷の分布があり，中心からの距離 $r$ が $R$ より小さい所の電場が，外向きに $E_{r} = A r^{2}$ （ $A$ は正の定数）であることが分かっている．

半径 $r$ の球面にガウスの法則を使って，中に含まれる電荷 $Q (r)$ を求め，さらに電荷密度 $ρ (r)$ を求めよ．

(2)（発展）電場を $E = A r r$ と書いて $\nabla \cdot E$ を計算し，(1) と一致することを確かめよ．

**［図：球対称な分布で与えられた電場］**
半径 R の領域の内部で，Eᵣ = Ar²，A > 0 の外向きの電場が与えられている．中心からの距離 r と電場の増大を示し，解答で導入する薄い殻や電荷密度は示さない．

解答を見る

考え方 (1) 半径 $r$ と $r + d r$ の2つの球面の間の薄い殻の電荷が $d Q$ で，それが $ρ \cdot 4 π r^{2} d r$ に等しい．(2) は発散の定義どおりに偏微分する．

半径 $r$ の球面では $4 π r^{2} \cdot A r^{2} = Q (r) / ε_{0}$ なので $Q (r) = 4 π ε_{0} A r^{4}$ ．薄い殻の電荷は

d Q = 16 π ε_{0} A r^{3} d r = ρ (r) \cdot 4 π r^{2} d r

より $ρ (r) = 4 ε_{0} A r$ である．中心からの距離に比例して濃くなる分布である．

$E = A r^{2} e_{r} = A r r$ なので $E_{x} = A r x$ ． $\partial r / \partial x = x / r$ を使うと

\frac{\partial E_{x}}{\partial x} = A (r + \frac{x^{2}}{r})

$y$ ， $z$ も同じで，足すと $\nabla \cdot E = A (3 r + \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{r}) = 4 A r$ ．よって $ρ = ε_{0} \nabla \cdot E = 4 ε_{0} A r$ で，(1) と一致する．

確かめ： $\int_{0}^{r} ρ \cdot 4 π s^{2} d s = 16 π ε_{0} A \int_{0}^{r} s^{3} d s = 4 π ε_{0} A r^{4}$ で $Q (r)$ に戻る．(1) の薄い殻の計算は，発散の定義（小さな体積から出る流束 ÷ 体積）を球の殻で行ったものになっている．

ポイントここまでのまとめ

面積分 $\int E \cdot n d S$ は，面を小さな部分に分けて足したもの．球面は帯 $2 π r^{2} \sin θ d θ$ ，円板は輪 $2 π s d s$ に分ける．
対称性が無いときは， $d q$ の電場を積分する．打ち消し合う成分を先に消す．輪の軸上は $k Q z / (a^{2} + z^{2})^{3 / 2}$ ．
（発展）発散 $\nabla \cdot h$ は，小さな体積から出る流束 ÷ 体積．ガウスの定理 $\int_{S} h \cdot n d S = \int_{V} \nabla \cdot h d V$ ．
（発展）保存する量の連続の式 $\partial u / \partial t = - \nabla \cdot h$ ，電荷では $\partial ρ / \partial t = - \nabla \cdot j$ ．ガウスの法則の各点の形は $\nabla \cdot E = ρ / ε_{0}$ ．