万有引力と天体

重力のポテンシャルとエネルギー

著者：柚木芹香

問い

ロケットを地上から打ち出すとき，どれだけ速く飛び出せば，二度と地球に戻ってこないでしょうか．空気抵抗は考えず，エンジンは最初の一瞬だけ働くものとします．速く打ち出すほど高くまで昇りますが，どこまで昇っても，いつかは引き戻されそうにも思えます．引き戻されない速さというものは，本当にあるのでしょうか．

考えてみる

地表付近では，高さ $h$ の位置エネルギーは $m g h$ です．高さ $h$ まで昇るには $\frac{1}{2} m v^{2} = m g h$ より $v = \sqrt{2 g h}$ が必要で， $h$ を大きくすればいくらでも大きな速さが要ります．無限遠まで行くには，無限に大きなエネルギーが必要に見えます．

ただしこの計算は，重力が高さによらず一定だと仮定しています．実際には，遠くへ行くほど万有引力は距離の2乗に反比例して弱まります．弱まる力に逆らってする仕事の総和は，有限になるかもしれません．確かめるために，まず万有引力の位置エネルギーを正しく求めましょう．

万有引力の位置エネルギー

質量 $M$ の天体は動かないものとし，その中心から $r$ の位置にある質量 $m$ の物体を考えます．万有引力は中心力で，大きさは距離だけで決まるので保存力です．第6章で見たとおり，位置エネルギー $U (r)$ は，基準点までの移動で力がする仕事として決まります．基準点を無限遠にとり，半径方向外向きを正とすると，力は $F = - G M m / r^{2}$ です．

U (r) = \int_{r}^{\infty} (- \frac{G M m}{r^{' 2}}) d r^{'} = {[\frac{G M m}{r^{'}}]}_{r}^{\infty} = 0 - \frac{G M m}{r} = - \frac{G M m}{r}

経路によらないので，半径方向に動く経路で計算してかまいません．

法則万有引力の位置エネルギー

無限遠を基準とするとき，質量 $M$ と $m$ の質点が距離 $r$ だけ離れているときの位置エネルギーは

U (r) = - \frac{G M m}{r}

である．

**［図：重力の位置エネルギー］**
U=−GMm/rを数値計算して描いた曲線．地表から単調に増加し無限遠で0に近づく．

値が負なのは，基準の無限遠より低い位置にいるからです．離れるほど $U$ は増えて $0$ に近づきます． $F = - \frac{d U}{d r}$ を計算すると $- G M m / r^{2}$ になり，確かに引力です．

地表付近の $m g h$ との関係も見ておきます． $r = R + h$ で $h$ が $R$ より十分小さいなら

U (R + h) - U (R) = \frac{G M m}{R} - \frac{G M m}{R + h} = \frac{G M m h}{R (R + h)} \approx \frac{G M}{R^{2}} m h = m g h

です． $m g h$ は， $U (r)$ の差を地表のすぐ近くで見た近似でした．

力学的エネルギーと軌道の種類

万有引力だけが働くなら，力学的エネルギー $E$ は保存します．

E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r}

$\frac{1}{2} m v^{2} \geq 0$ より $U (r) \leq E$ でなければ運動できません．これは，中心を通る直線上を動く（角運動量が0の）場合には動ける範囲そのものを決め，横向きの速さがあるときは必要条件にとどまります．以下の分類のうち軌道の形（円・楕円・放物線・双曲線）は，角運動量が0でない場合のものです．

$E < 0$ ： $- G M m / r \leq E$ より $r \leq G M m / | E |$ で，遠くへ行けない．束縛された運動で，角運動量が0でなければ軌道は円か楕円になる．
$E = 0$ ：無限遠にちょうど速さ $0$ で届く．軌道は放物線になる．
$E > 0$ ：無限遠でも速さが残る．軌道は双曲線になる．

**［図：エネルギーの符号と到達範囲］**
L=0の半径方向の運動では，負のエネルギー線とUの交点が最高点となる．角運動量がある場合の転回点には実効ポテンシャルを用いる．

角運動量が0なら，この交点が最も遠い点です．横向きの速さがあると，交点に届く前に折り返します．その一般の転回点は，あとの実効ポテンシャルの図で読みます．軌道の形そのものは，この章の後の節で詳しく調べます．

脱出速度

地表（中心から $R$ ）から速さ $v_{0}$ で打ち出した物体が無限遠まで行ける条件は $E \geq 0$ です．

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{G M m}{R} \geq 0 ⟹ v_{0} \geq \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{2 g R}

定義脱出速度

天体の表面から打ち出した物体が，二度と戻らず無限遠へ行ける最小の速さ

v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{2 g R}

を脱出速度（第二宇宙速度）という．打ち出す向きにはよらない（地面にぶつからない向きなら）．

地球では $v_{esc} \approx 1.12 \times 10^{4} m s^{- 1}$ （約 $11 km s^{- 1}$ ）です．地表すれすれの円軌道の速さ $\sqrt{g R} \approx 7.9 \times 10^{3} m s^{- 1}$ の $\sqrt{2}$ 倍にあたります．必要なエネルギーが有限なのは， $U$ が無限遠で $0$ に近づくからです．質量 $m$ の物体には $G M m / R = m g R$ のエネルギーが必要で， $m = 1 kg$ なら $g R \approx 6.2 \times 10^{7} J$ です．これは，重力が一定のまま半径ぶん $R$ だけ持ち上げる仕事 $m g R$ と同じです．

重力ポテンシャル

位置エネルギーを質量 $m$ で割ると，物体の質量によらず，場所だけで決まる量になります．

Φ (r) = \frac{U (r)}{m} = - \frac{G M}{r} (単位 J {kg}^{- 1} = m^{2} s^{- 2})

これを重力ポテンシャルといいます．質量 $m$ の物体の位置エネルギーは $U = m Φ$ ，重力加速度は $- \frac{d Φ}{d r}$ です．電気の電位は，これと同じ考え方で定義されます．

実効ポテンシャル：角運動量を含めた1次元化

楕円軌道では $r$ も $θ$ も変わります．前の題材の極座標で，速度は $v = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}$ で，速さの2乗は ${\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}$ です．中心力なら角運動量 $L = m r^{2} \dot{θ}$ が一定なので，回る向きの速さは $r \dot{θ} = \frac{L}{m r}$ と $r$ だけで書けます．万有引力に限らず，位置エネルギーが距離だけで決まる $U (r)$ の中心力（力の $e_{r}$ 成分は $F (r) = - \frac{d U}{d r}$ ）で考えると

E = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)

となり， $θ$ が式から消えます．

定義実効ポテンシャル

位置エネルギー $U (r)$ の中心力のもとで，角運動量 $L$ で運動する質点について

U_{eff} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)

を実効ポテンシャルという．力学的エネルギーは $E = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + U_{eff} (r)$ で，動径方向の運動は，ポテンシャル $U_{eff}$ の中の1次元の運動として扱える．

運動方程式の $e_{r}$ 成分 $m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) = F (r)$ で， $m r {\dot{θ}}^{2} = \frac{L^{2}}{m r^{3}}$ を右辺へ移しても

m \ddot{r} = F (r) + \frac{L^{2}}{m r^{3}} = - \frac{d U_{eff}}{d r}

となります． $\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}$ は，回っているために外向きの力 $m r {\dot{θ}}^{2}$ が働くかのように見える分で，第11章の遠心力と同じ形です． $L \neq 0$ なら， $r$ が小さいところでこの項が急に大きくなり，中心に近づくのを妨げる壁になります．

読み方は第6章のポテンシャル図と同じです． $E = U_{eff} (r)$ の点が転回点で， $\dot{r} = 0$ になりますが， $r \dot{θ}$ は残るので，物体は止まらず，近づく動きから遠ざかる動きへ移るだけです．転回点が2つあれば $r$ はその間を往復し（束縛された運動），1つなら壁で跳ね返って遠くへ去ります．谷の底は $r$ が一定の円軌道です（安定性は次の節）．

万有引力では $U_{eff} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{G M m}{r}$ で，近くは壁，遠くは $0$ に近づく裾の谷です．底に $E$ を合わせれば円軌道，少し高ければ近点と遠点の間を $r$ が往復する楕円， $E \geq 0$ なら遠くへ去ります． $L = 0$ では壁がなく，中心へ落ちていきます．

**［図：実効ポテンシャルと転回点］**
Ueff/A=1/(2x²)−1/xを数値計算した．負のエネルギーには2つの転回点があり，極小は円軌道に対応する．

ばねのように距離に比例する引力（ $U = \frac{1}{2} k r^{2}$ ）なら， $U_{eff} = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + \frac{1}{2} k r^{2}$ は遠くでも上がり続け，どんな $E$ でも転回点が2つで，遠くへは去れません．万有引力で脱出ができるのは，谷の高さに上限があるからです．

**［図：2つの中心力の実効ポテンシャル］**
同じ横軸rで，万有引力とばね型の中心力の実効ポテンシャルを並べる．橙のエネルギー線と曲線の交点が転回点になる．縦軸の縮尺はパネルごとに違う．

ポイントここまでのまとめ

万有引力は保存力で，無限遠を基準にすると位置エネルギーは $U (r) = - G M m / r$ ．力学的エネルギーは $E = \frac{1}{2} m v^{2} - G M m / r$ ．
角運動量が0でないとき， $E < 0$ は束縛（円・楕円）， $E = 0$ は放物線， $E > 0$ は双曲線．重力ポテンシャルは $Φ = - G M / r$ ．
中心力 $U (r)$ のもとでは $U_{eff} = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)$ を使って，動径方向を1次元の運動として扱える．転回点，束縛と非束縛，円軌道を図から読む．
問いの答え：地表から無限遠までのエネルギーは有限なので， $v_{esc} = \sqrt{2 G M / R} \approx 11 km s^{- 1}$ 以上で打ち出せば二度と戻らない．