万有引力と天体

広義積分と実効ポテンシャル図の読み方

著者：柚木芹香

広義積分を整理し，一般の中心力の実効ポテンシャルの図から，円軌道の条件と安定性を読み取ります．

定理数学の道具：広義積分とべき乗の近似

広義積分． 上端が無限大の積分は，上端を $b$ として計算してから $b \to \infty$ とする． $n > 1$ のとき

\int_{r}^{\infty} \frac{d x}{x^{n}} = lim_{b \to \infty} {[\frac{x^{1 - n}}{1 - n}]}_{r}^{b} = \frac{r^{1 - n}}{n - 1}

と有限の値に収束する． $n = 1$ では $\int_{r}^{b} d x / x = \ln b - \ln r$ となり $b \to \infty$ で発散する．万有引力は $n = 2$ で収束し，無限遠までの仕事が有限になる．力が $1 / r$ でしか弱まらなければ，無限遠基準の位置エネルギーは定義できない．

小さい量の近似． $| x |$ が十分小さいとき， $(1 + x)^{n} \approx 1 + n x$ ．

練習 1． (1) $\int_{r}^{\infty} \frac{d x}{x^{3}}$ を求めよ．(2) 高さ $h = 1.0 km$ での位置エネルギーの増加の厳密な値は $\frac{G M m h}{R (R + h)}$ である． $R = 6.37 \times 10^{6} m$ として， $m g h$ は厳密な値より何パーセント大きいか．

答え：(1) $n = 3$ より $\frac{1}{2 r^{2}}$ ．　(2) 厳密な値と $m g h$ の比は $\frac{R}{R + h} \approx 1 - \frac{h}{R}$ ． $h / R \approx 1.6 \times 10^{- 4}$ なので， $m g h$ は約 $0.016$ % 大きいだけである．

練習 2． (1) $\int_{R}^{\infty} \frac{G M m}{x^{2}} d x$ を求めよ．(2) $(1 + x)^{- 1 / 2} \approx 1 - \frac{x}{2}$ を使って， $x = 0.010$ のときの値を求めよ．(3) $\sqrt{2 g R}$ を $g = 9.8 m s^{- 2}$ ， $R = 6.37 \times 10^{6} m$ で計算せよ．

答え：(1) ${[- \frac{G M m}{x}]}_{R}^{\infty} = \frac{G M m}{R}$ ．(2) $1 - 0.005 = 0.995$ ．(3) $\sqrt{2 \times 9.8 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.1 \times 10^{4} m s^{- 1}$ ．

実効ポテンシャルの図の読み方

前の節の $E = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + U_{eff} (r)$ を，第6章のポテンシャル図と同様に，次の手順で読みます．

$E$ の水平線と $U_{eff}$ の交点が転回点で， $\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} = E - U_{eff} \geq 0$ となる範囲だけを動く．
谷の底（ $\frac{d U_{eff}}{d r} = 0$ ）が円軌道の半径．底の $U_{eff}$ の値が円軌道のエネルギー．
底で下に凸（ $\frac{d^{2} U_{eff}}{d r^{2}} > 0$ ）なら安定．少しずれても谷の中で振動する．

一般の $U_{eff} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)$ で式にすると，次のようになります．底では

\frac{d U_{eff}}{d r} = - \frac{L^{2}}{m r^{3}} + \frac{d U}{d r} = 0

です． $L = m r^{2} \dot{θ}$ を入れると $m r {\dot{θ}}^{2} = \frac{d U}{d r}$ で，これは中心向きの引力の大きさ $\frac{d U}{d r}$ が向心力 $m r {\dot{θ}}^{2}$ に等しいという，円運動の運動方程式そのものです． $\frac{d U}{d r} > 0$ （引力）の場所でなければ，円軌道はありません．底の半径を $r_{0}$ とし， $L^{2} = m r_{0}^{3} U^{'} (r_{0})$ を使うと，底での2階微分は

\frac{d^{2} U_{eff}}{d r^{2}} = \frac{3 L^{2}}{m r_{0}^{4}} + U^{″} (r_{0}) = \frac{3 U^{'} (r_{0})}{r_{0}} + U^{″} (r_{0})

です（ $U^{'}$ ， $U^{″}$ は $r$ での1階，2階微分）．これが正なら円軌道は安定で，少しずれた軌道では $r$ が $r_{0}$ のまわりを角振動数 $ω_{r} = \sqrt{\frac{1}{m} \frac{d^{2} U_{eff}}{d r^{2}}}$ で単振動します（第7章）．

万有引力 $U = - \frac{G M m}{r}$ では， $\frac{d U_{eff}}{d r} = - \frac{L^{2}}{m r^{3}} + \frac{G M m}{r^{2}} = 0$ より底は $r_{0} = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$ で，エネルギーは $U_{eff} (r_{0}) = - \frac{G M m}{2 r_{0}}$ です．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

地球の質量を $5.97 \times 10^{24} kg$ ，半径を $6.37 \times 10^{6} m$ ，万有引力定数を $6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} {kg}^{- 2}$ とする．空気抵抗と自転は無視する．

**［図：鉛直投射の初期位置と最高点］**
地表から半径方向に初速v₀で投射する．最高点までの中心距離をrmaxとする．

脱出速度を求めよ．
地表から鉛直上向きに速さ $8.0 \times 10^{3} m s^{- 1}$ で打ち出した物体が達する，最高点の地表からの高さを求めよ．

解答を見る

考え方 力学的エネルギー保存 $\frac{1}{2} m v^{2} - G M m / r = E$ を使う．最高点では速さが $0$ である．

$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.98 \times 10^{14}}{6.37 \times 10^{6}}} \approx 1.12 \times 10^{4} m s^{- 1}$ ．
単位質量あたり $E / m = \frac{1}{2} (8.0 \times 10^{3})^{2} - \frac{3.98 \times 10^{14}}{6.37 \times 10^{6}} = 3.2 \times 10^{7} - 6.25 \times 10^{7} = - 3.05 \times 10^{7} m^{2} s^{- 2}$ ．最高点では $- G M / r_{max} = E / m$ なので $r_{max} = \frac{3.98 \times 10^{14}}{3.05 \times 10^{7}} \approx 1.31 \times 10^{7} m$ ．高さは $r_{max} - R \approx 6.7 \times 10^{6} m$ で，地球の半径ほどある．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の人工衛星が，質量 $M$ の地球のまわりを半径 $r$ の円軌道で回っている．

**［図：円軌道の衛星とエネルギーの問い］**
円軌道の半径と速度を示す．K，U，Eの値と棒の長さは読者が求めるため，解答を示す棒グラフは置かない．

運動エネルギー $K$ ，位置エネルギー $U$ ，力学的エネルギー $E$ を $G M m / r$ で表せ．
薄い大気の抵抗で衛星のエネルギーがわずかに減り，軌道が円に近い形のまま半径が小さくなった．速さは増えるか減るか．

解答を見る

考え方 円軌道の運動方程式から $v^{2}$ を出し， $K$ と $U$ を比べる．

$m \frac{v^{2}}{r} = \frac{G M m}{r^{2}}$ より $K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M m}{2 r}$ ． $U = - \frac{G M m}{r} = - 2 K$ ．よって $E = K + U = - \frac{G M m}{2 r} = - K$ ．
$K = - E$ なので， $E$ が減ると $K$ は増える．半径が小さくなると $E = - G M m / (2 r)$ はより負になり，速さは増える．抵抗を受けて速くなるのは，位置エネルギーが，運動エネルギーの増えた分の2倍だけ減るからである．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の物体が，質量 $M$ の動かない天体のまわりを角運動量 $L$ で運動する．実効ポテンシャルは $U_{eff} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{G M m}{r}$ である．

**［図：実効ポテンシャルの谷］**
数値計算した実効ポテンシャルと，極小より高いエネルギー線を示す．r₀，r₁，r₂の値は示さない．

円軌道の半径 $r_{0}$ を求めよ．
この円軌道が安定であることを示し， $r_{0}$ のまわりの小さな動径方向の振動の角振動数を求めよ．
万有引力の代わりに，大きさ $k r^{n}$ （ $k > 0$ ）の中心向きの引力が働くとする．円軌道が安定になる $n$ の範囲と， $ω_{r}$ と円運動の角速度 $\dot{θ}$ の比を求めよ．また $n = 1$ （ばねのような力）のとき，1周の間に $r$ は何回最小になるか．

解答を見る

考え方 底の位置は $\frac{d U_{eff}}{d r} = 0$ ．安定性は 2階微分の符号で調べる．小さな振動は第7章の単振動として扱う．

前に求めたとおり $r_{0} = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$ ．
$\frac{d^{2} U_{eff}}{d r^{2}} = \frac{3 L^{2}}{m r^{4}} - \frac{2 G M m}{r^{3}}$ ． $L^{2} = G M m^{2} r_{0}$ を代入すると $r = r_{0}$ で $\frac{G M m}{r_{0}^{3}} > 0$ となり，下に凸なので安定である．動径方向の運動方程式は $m \ddot{r} \approx - \frac{G M m}{r_{0}^{3}} (r - r_{0})$ なので，単振動で $ω_{r} = \sqrt{\frac{G M}{r_{0}^{3}}}$ ．円運動の角速度 $\dot{θ} = \frac{L}{m r_{0}^{2}} = \sqrt{\frac{G M}{r_{0}^{3}}}$ と一致する．1周する間に動径方向もちょうど1往復する．
$U^{'} (r) = k r^{n}$ ， $U^{″} (r) = n k r^{n - 1}$ なので，本文の式から $\frac{d^{2} U_{eff}}{d r^{2}} = 3 k r_{0}^{n - 1} + n k r_{0}^{n - 1} = (n + 3) k r_{0}^{n - 1}$ ．安定なのは $n > - 3$ のときである．円運動の式 $m r_{0} {\dot{θ}}^{2} = k r_{0}^{n}$ より ${\dot{θ}}^{2} = \frac{k r_{0}^{n - 1}}{m}$ ，また $ω_{r}^{2} = \frac{(n + 3) k r_{0}^{n - 1}}{m}$ なので $\frac{ω_{r}}{\dot{θ}} = \sqrt{n + 3}$ ．万有引力（ $n = - 2$ ）では1で，(2)と合う． $n = 1$ では2で，1周の間に $r$ は2回最小になる（中心 O が楕円の中心にある楕円軌道）．比が整数でないと，最も近づく点の向きが1周ごとにずれていく．

ポイントここまでのまとめ

$\int_{r}^{\infty} d x / x^{n}$ は $n > 1$ で収束する．万有引力は $1 / r^{2}$ で弱まるので，無限遠基準の位置エネルギーが決まる．
実効ポテンシャル $U_{eff} = L^{2} / (2 m r^{2}) + U (r)$ の底が円軌道で，その条件 $\frac{d U_{eff}}{d r} = 0$ は円運動の運動方程式と同じ． $\frac{d^{2} U_{eff}}{d r^{2}} > 0$ なら安定．万有引力では $r_{0} = L^{2} / (G M m^{2})$ ，エネルギーは $- G M m / (2 r_{0})$ ．
引力が $k r^{n}$ なら，円軌道は $n > - 3$ で安定で， $ω_{r} / \dot{θ} = \sqrt{n + 3}$ ．
円軌道では $K = - E$ ， $U = - 2 K$ ．弱い抵抗で軌道がほぼ円のまま少しずつ縮むときは，エネルギーが減って半径が小さくなり，速さは大きくなる（抵抗は直接には速さを減らすが，低い円軌道ほど速いため）．