万有引力と天体

極座標の演習

著者：柚木芹香

動径方向と回る向きの成分は，場所とともに向きを変えます． $\dot{r}$ ， $r \dot{θ}$ ， $\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}$ ， $r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}$ を分け，成分の変化とベクトルの変化を区別してください．ドットは時間微分を表します．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

原点Oのまわりの極座標で，ある瞬間の運動が $r = 2.0 m$ ， $θ = π / 2$ ， $\dot{r} = - 0.50 m s^{- 1}$ ， $\dot{θ} = 0.75 rad s^{- 1}$ ， $\ddot{r} = 0$ ， $\ddot{θ} = 0.20 rad s^{- 2}$ と測定された．

速度を直交座標の成分で表し，速さを求めよ．
加速度を直交座標の成分で表せ．

**［図：y軸上の点での単位ベクトル］**
y軸上の点での単位ベクトルを示す模式図．

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考え方 まず極座標の成分を計算し，この位置の単位ベクトルへ掛ける．

$e_{r} = (0, 1)$ ， $e_{θ} = (- 1, 0)$ なので $v = - 0.50 e_{r} + 1.5 e_{θ} = (- 1.5, - 0.50) m s^{- 1}$ ．速さは $\sqrt{{1.5}^{2} + {0.50}^{2}} \approx 1.6 m s^{- 1}$ ．
$a_{r} = - 2.0 \times {0.75}^{2} = - 1.125 m s^{- 2}$ ， $a_{θ} = 2.0 \times 0.20 + 2 (- 0.50) \times 0.75 = - 0.35 m s^{- 2}$ ．したがって $a = (0.35, - 1.125) m s^{- 2} \approx (0.35, - 1.1) m s^{- 2}$ ． $r \dot{θ}$ は速度， $r {\dot{θ}}^{2}$ と $\dot{r} \dot{θ}$ は加速度の次元である．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

原点Oから $+ x$ 方向に距離 $a$ の点Cを中心とする半径 $a$ の円上を，点Pが一定角速度 $Ω$ で反時計回りに動く．時刻 $t = 0$ にPは $(2 a, 0)$ にある． $0 \leq Ω t < π$ を考える．

Oを原点とする極座標で $r$ ， $θ$ を表せ．
極座標の速度の式から，Pの速さが $a Ω$ で一定であることを示せ．

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考え方 円の中心から測った角と，Oから測った角は同じではない．半角の公式で $x, y$ を同じ係数でくくる．

$x = a (1 + \cos Ω t) = 2 a \cos^{2} (Ω t / 2)$ ， $y = a \sin Ω t = 2 a \sin (Ω t / 2) \cos (Ω t / 2)$ ．指定した区間では $\cos (Ω t / 2) > 0$ だから $r = 2 a \cos (Ω t / 2)$ ， $θ = Ω t / 2$ ．
$\dot{r} = - a Ω \sin (Ω t / 2)$ ， $r \dot{θ} = a Ω \cos (Ω t / 2)$ ．よって $v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2} = a^{2} Ω^{2}$ ， $v = a Ω$ ．Oからの距離は変わっても，速さは一定である． $t \to π / Ω$ ではPがOへ近づき，極座標は原点で定義できなくなるが，速さは有限のままである．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の小球が，鉛直線 $x = b > 0$ 上を $x = b$ ， $y = v_{0} t - g t^{2} / 2$ と運動する．上向きが $+ y$ で，力は鉛直下向きの重力だけである．Oを原点とする極座標で考える．

Oのまわりの角運動量 $L$ と，面積速度を求めよ．
$\frac{d L}{d t} = r F_{θ}$ が成り立つことを，重力の成分から確かめよ．

**［図：原点からずれた鉛直の運動］**
原点からずれた鉛直の運動を示す模式図．

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考え方 直交座標で角運動量を求めてから，極座標の成分の式と照合する．等速運動の例題と違って，Oまわりのトルクは0ではない．

$L = m (x \dot{y} - y \dot{x}) = m b (v_{0} - g t)$ ．面積速度は符号つきで $L / (2 m) = b (v_{0} - g t) / 2$ ．上昇中は正，頂点で0，下降中は負である．幾何学的な面積の増加率を求める場合は絶対値をとる．
$F = (0, - m g)$ ， $e_{θ} = (- \sin θ, \cos θ)$ より $F_{θ} = - m g \cos θ$ ． $r \cos θ = b$ なので $r F_{θ} = - m g b = \frac{d L}{d t}$ ． $L$ の単位は $kg m^{2} s^{- 1}$ ，その微分は $N m$ ． $g \to 0$ では角運動量と面積速度が一定になり，等速直線運動の結果に戻る．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

平面内で質量 $m$ の粒子が $r = r_{0} e^{λ t}$ ， $θ = ω t$ と動く． $r_{0}, λ, ω$ は正の定数で， $λ, ω$ の単位は $s^{- 1}$ である．この曲線は，半径が角に対して指数関数的に増すらせんである．

速度，加速度を極座標の成分で表せ．
必要な合力は中心力か． $λ = ω$ の場合，力の動径成分が0でも半径が増す理由を説明せよ．

**［図：指数関数的に広がるらせん］**
指数関数的に広がるらせんを示す模式図．

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考え方 $r$ の時間微分は $\dot{r} = λ r$ ， $\ddot{r} = λ^{2} r$ ．速度の成分の変化だけで加速度を判断しない．

$v = r (λ e_{r} + ω e_{θ})$ ， $a = r [(λ^{2} - ω^{2}) e_{r} + 2 λ ω e_{θ}]$ ．速さは $r \sqrt{λ^{2} + ω^{2}}$ で増える．
$F_{θ} = 2 m λ ω r \neq 0$ だから中心力ではない． $λ = ω$ なら $\ddot{r} = r ω^{2}$ で，動径方向の加速度 $\ddot{r} - r ω^{2}$ は0でも，距離の2階微分 $\ddot{r}$ は正である．向きが回る分が差を生む． $λ \to 0$ で半径一定の円運動となり， $a = - r_{0} ω^{2} e_{r}$ に戻る． $λ ω r$ の単位は加速度である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

質量 $m$ の粒子が，原点Oを向く力だけを受けて平面内を動く．Oからの距離は $r = r_{0} (1 + ϵ \cos ν t)$ である． $0 < ϵ < 1$ ， $ν > 0$ ， $r^{2} \dot{θ} = h > 0$ が一定とする．

$\dot{θ}$ と，必要な力の外向き成分 $F_{r}$ を時刻の関数で表せ．
距離が最小になる瞬間にも力がOを向くための $h$ の条件を求めよ．その条件だけで全時刻にわたって力がOを向くと言えるか調べ，全時刻での条件も求めよ．

**［図：中心力運動での距離の範囲］**
中心力運動での距離の範囲を示す模式図．

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考え方 中心力の角方向の式から角速度が決まる．動径の2階微分が正でも，力が外向きとは限らない．

$\dot{θ} = h / r^{2}$ ， $\ddot{r} = - r_{0} ϵ ν^{2} \cos ν t$ より $F_{r} = m [- r_{0} ϵ ν^{2} \cos ν t - h^{2} / r^{3}]$ ． $r^{2} \dot{θ}$ が一定なので $F_{θ} = 0$ である．
最小距離では $\cos ν t = - 1$ ． $F_{r} < 0$ の条件は $h^{2} > r_{0}^{4} ϵ ν^{2} (1 - ϵ)^{3}$ ．ただしこれは全時刻の条件とは限らない． $q = - \cos ν t$ とすれば，外向きの項が生じる半周期で必要な条件は $h^{2} > r_{0}^{4} ϵ ν^{2} q (1 - ϵ q)^{3}$ （ $0 \leq q \leq 1$ ）． $\frac{d}{d q} [q (1 - ϵ q)^{3}] = (1 - ϵ q)^{2} (1 - 4 ϵ q)$ より，最大値は $ϵ \leq 1 / 4$ なら $(1 - ϵ)^{3}$ ， $ϵ > 1 / 4$ なら $27 / (256 ϵ)$ ．したがって全時刻の条件は，それぞれ $h^{2} > r_{0}^{4} ϵ ν^{2} (1 - ϵ)^{3}$ ， $h^{2} > 27 r_{0}^{4} ν^{2} / 256$ である．最小距離だけを調べれば十分なのは $ϵ \leq 1 / 4$ の場合である． $h^{2}$ と $r_{0}^{4} ν^{2}$ はともに $m^{4} s^{- 2}$ の次元をもち， $ϵ \to 0$ で円運動に戻る．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

Oを通る半径 $a$ の円の一部を，質量 $m$ の粒子が $r = 2 a \cos θ$ ， $- π / 2 < θ < π / 2$ に沿って動く．今度は円周上の速さを一定にせず， $r^{2} \dot{θ} = h > 0$ を一定に保つ．

$\dot{r}$ と $\ddot{r}$ を $r, θ$ で表せ．
必要な合力が中心力であることを示し，その大きさの $r$ への依存性を求めよ．

**［図：面積速度を一定に保つ円の軌道］**
面積速度を一定に保つ円の軌道を示す模式図．

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考え方 $\dot{θ} = h / r^{2}$ を使って角に関する微分を時間微分へ直す．演習2と同じ幾何学的な円でも，時間の進み方が違えば力も違う．

$\dot{r} = (- 2 a \sin θ) h / r^{2}$ ． $\ddot{θ} = - 2 h \dot{r} / r^{3}$ なので， $\ddot{r} = - r {\dot{θ}}^{2} - 2 a \sin θ \ddot{θ} = - h^{2} / r^{3} - 8 a^{2} h^{2} \sin^{2} θ / r^{5}$ ． $4 a^{2} \sin^{2} θ = 4 a^{2} - r^{2}$ を入れると $\ddot{r} = h^{2} / r^{3} - 8 a^{2} h^{2} / r^{5}$ ．
$a_{θ} = r^{- 1} \frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ}) = 0$ ． $a_{r} = \ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} = - 8 a^{2} h^{2} / r^{5}$ より，力はOを向き，大きさは $8 m a^{2} h^{2} / r^{5}$ で，距離の5乗に反比例する． $h$ の単位は $m^{2} s^{- 1}$ だから， $a^{2} h^{2} / r^{5}$ は加速度である．Oへ近づくと力は発散するので，Oそのものを通過する運動まではこの模型で扱えない．

ポイント教える人へ

速度の成分を，その位置の単位ベクトルと一緒に図へ描かせる．
$\ddot{r}$ と動径加速度の違いを，円の中心と極座標の原点が異なる例で説明させる．
面積速度が一定かどうかは，原点のまわりのトルクで判断させる．
演習5では，1つの特別な瞬間の条件が全時刻の条件になるかを確かめさせる．