万有引力と天体

単位ベクトルの微分と極座標の加速度

著者：柚木芹香

前の節で図から読んだ単位ベクトルの微分を成分で確かめ，加速度と面積速度の式を導きます．

定理数学の道具：単位ベクトルの微分

角が時間とともに変わるとき． $θ$ が時刻 $t$ の関数なら， $\cos θ$ は合成関数である．第3章の連鎖律で $y = \cos u$ ， $u = θ (t)$ とすると

\frac{d}{d t} \cos θ = - \dot{θ} \sin θ, \frac{d}{d t} \sin θ = \dot{θ} \cos θ

となる． $θ = ω t$ なら第3章の $\frac{d}{d t} \cos ω t = - ω \sin ω t$ に戻り， $θ = t^{2}$ なら $\frac{d}{d t} \cos t^{2} = - 2 t \sin t^{2}$ である．

単位ベクトルの微分． 成分ごとに微分すると

{\dot{e}}_{r} = (- \dot{θ} \sin θ, \dot{θ} \cos θ) = \dot{θ} e_{θ}, {\dot{e}}_{θ} = (- \dot{θ} \cos θ, - \dot{θ} \sin θ) = - \dot{θ} e_{r}

$e_{r} \cdot e_{r} = 1$ を微分すると $2 e_{r} \cdot {\dot{e}}_{r} = 0$ となるように，長さが変わらないベクトルの微分は，もとのベクトルに垂直である．

練習 1． (1) $θ = 3 t^{2}$ のとき， $t = 1$ での ${\dot{e}}_{r}$ を $e_{θ}$ で表せ．(2) $r = 2 t$ ， $θ = t$ で動く点の $t = 1$ での速さを求めよ．

答え：(1) $\dot{θ} = 6 t$ より $6 e_{θ}$ ．(2) $v = 2 e_{r} + 2 t e_{θ}$ より $2 \sqrt{2}$ ．

練習 2． (1) $r = 1.0$ ， $θ = 2 t$ の点の速度と加速度を $e_{r}$ ， $e_{θ}$ で表せ．(2) $r = t^{2}$ ， $θ = t$ の点の $t = 1$ での速さを求めよ．

答え：(1) $v = r \dot{θ} e_{θ} = 2.0 e_{θ}$ ， $a = - r {\dot{θ}}^{2} e_{r} = - 4.0 e_{r}$ （等速円運動）．(2) $v = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ} = 2 e_{r} + 1 e_{θ}$ より $\sqrt{5}$ ．

加速度の式を導く

$v = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}$ を項ごとに積の微分で微分します．第2項は $r$ ， $\dot{θ}$ ， $e_{θ}$ の3つの積なので，1つずつ微分して足します．

\frac{d}{d t} (\dot{r} e_{r}) = \ddot{r} e_{r} + \dot{r} \dot{θ} e_{θ}, \frac{d}{d t} (r \dot{θ} e_{θ}) = \dot{r} \dot{θ} e_{θ} + r \ddot{θ} e_{θ} - r {\dot{θ}}^{2} e_{r}

足して向きごとにまとめると $a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) e_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) e_{θ}$ です． $\dot{r} \dot{θ}$ が2回現れたのが $2 \dot{r} \dot{θ}$ の2の出どころです． $\frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ}) = 2 r \dot{r} \dot{θ} + r^{2} \ddot{θ}$ なので， $e_{θ}$ 成分は $\frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ})$ とも書けます．

直交座標からも確かめられます． $x = r \cos θ$ を2回微分すると $\ddot{x} = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) \cos θ - (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) \sin θ$ で， $\ddot{y}$ も同様です．これは $e_{r}$ ， $e_{θ}$ の $x$ 成分にそれぞれの係数を掛けた和で，上の結果と一致します．

面積速度との関係

第8章の面積速度 $\frac{1}{2} (x \dot{y} - y \dot{x})$ に， $\dot{x} = \dot{r} \cos θ - r \dot{θ} \sin θ$ ， $\dot{y} = \dot{r} \sin θ + r \dot{θ} \cos θ$ を代入すると， $\dot{r}$ の項は打ち消し合って

x \dot{y} - y \dot{x} = r^{2} \dot{θ}

となります．面積速度は $\frac{1}{2} r^{2} \dot{θ}$ で，前の節の扇形の考え方と一致します．逆に，直交座標で与えられた運動の $\dot{θ}$ を，角を求めずに $\dot{θ} = \frac{x \dot{y} - y \dot{x}}{r^{2}}$ と計算することもできます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

なめらかな水平の板の穴 O に通した糸の先に質量 $m$ の小球を結び，穴の下で糸を一定の速さ $u$ で引き続ける．小球の O からの距離は $r = r_{0} - u t$ で， $t = 0$ での角速度は $ω_{0}$ である．

**［図：一定の速さで糸を引く小球］**
一定の速さで糸を引く小球を示す模式図．

角速度 $\dot{θ}$ と糸の張力 $T$ を $r$ で表せ．
運動エネルギー $K$ の増える割合が，糸の力の仕事率に等しいことを確かめよ．

解答を見る

考え方 糸の力は O を向くので $r^{2} \dot{θ}$ が一定．張力は $e_{r}$ 成分の運動方程式から出す．

$r^{2} \dot{θ} = r_{0}^{2} ω_{0}$ より $\dot{θ} = \frac{r_{0}^{2} ω_{0}}{r^{2}}$ ． $\dot{r} = - u$ ， $\ddot{r} = 0$ なので， $m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) = - T$ より $T = m r {\dot{θ}}^{2} = \frac{m r_{0}^{4} ω_{0}^{2}}{r^{3}}$ ．
$K = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) = \frac{1}{2} m (u^{2} + \frac{r_{0}^{4} ω_{0}^{2}}{r^{2}})$ ． $u$ は一定なので，連鎖律で $\frac{d K}{d t} = \frac{1}{2} m r_{0}^{4} ω_{0}^{2} \cdot (- \frac{2}{r^{3}}) \dot{r} = \frac{m r_{0}^{4} ω_{0}^{2} u}{r^{3}}$ ．糸の力の仕事率は $- T e_{r} \cdot v = - T \dot{r} = T u$ で，(1)の $T$ を入れると一致する．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

水平面内で，質量 $m$ の小さな台車 P が，一定の角速度 $ω$ で回る棒に沿って，中心 O から一定の速さ $u$ で外へ走る．P の位置は $r = u t$ ， $θ = ω t$ である．

P の速度と加速度を $e_{r}$ ， $e_{θ}$ で表せ．
P に働く力の合力の $e_{θ}$ 成分を求め，それを及ぼしているものを答えよ．

解答を見る

考え方 $\dot{r} = u$ ， $\ddot{r} = 0$ ， $\dot{θ} = ω$ ， $\ddot{θ} = 0$ を極座標の式に入れる．

$v = u e_{r} + u ω t e_{θ}$ ， $a = - u ω^{2} t e_{r} + 2 u ω e_{θ}$ ．軌跡 $r = \frac{u}{ω} θ$ は，1周ごとに $\frac{2 π u}{ω}$ ずつ広がるうずまきである．
$F_{θ} = 2 m u ω$ ．角速度が一定でも，外へ出るほど回る向きの速さ $r ω$ が増えるので，回る向きの力が要る．それを及ぼすのは棒で，棒が P を回る向きに押している．この $2 m u ω$ は，第11章で回る棒の上から見た運動を考えるとき，もう一度現れる．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

力を受けない点 P が，時刻 $t$ に $(b, v_{0} t)$ （ $b > 0$ ）にあり，直線 $x = b$ の上を一定の速さ $v_{0}$ で進む．原点 O を中心とする極座標で見る．

$r^{2} \dot{θ}$ が一定であることを示し，図の三角形を使って面積速度が一定であることを説明せよ．
$\ddot{r}$ は0でないのに， $\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} = 0$ であることを確かめよ．

解答を見る

考え方 $r^{2} \dot{θ} = x \dot{y} - y \dot{x}$ を使えば角を求めずにすむ． $r = \sqrt{b^{2} + v_{0}^{2} t^{2}}$ は連鎖律で微分する．

$\dot{x} = 0$ ， $\dot{y} = v_{0}$ より $r^{2} \dot{θ} = b v_{0}$ で一定．時間 $Δ t$ に P が進む区間 $v_{0} Δ t$ を底辺とする三角形の高さは，いつも O から直線までの距離 $b$ なので，面積は $\frac{1}{2} b v_{0} Δ t$ で変わらない．力が0は中心力の特別な場合である．
$\dot{r} = \frac{v_{0}^{2} t}{r}$ ．積の微分と $\frac{d}{d t} \frac{1}{r} = - \frac{\dot{r}}{r^{2}}$ を使って

\ddot{r} = \frac{v_{0}^{2}}{r} - \frac{v_{0}^{2} t \dot{r}}{r^{2}} = \frac{v_{0}^{2} (r^{2} - v_{0}^{2} t^{2})}{r^{3}} = \frac{b^{2} v_{0}^{2}}{r^{3}}

一方 $\dot{θ} = \frac{b v_{0}}{r^{2}}$ より $r {\dot{θ}}^{2} = \frac{b^{2} v_{0}^{2}}{r^{3}}$ で， $\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2} = 0$ となり，力が無いことと合う． $\ddot{r}$ だけを動径方向の加速度と思うと，ありもしない力を考えてしまう．

ポイントここまでのまとめ

連鎖律で $\frac{d}{d t} \cos θ = - \dot{θ} \sin θ$ ．これから ${\dot{e}}_{r} = \dot{θ} e_{θ}$ ， ${\dot{e}}_{θ} = - \dot{θ} e_{r}$ ．
速度を積の微分でもう一度微分すると， $\dot{r} \dot{θ}$ が2回現れて $a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) e_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) e_{θ}$ ．
$x \dot{y} - y \dot{x} = r^{2} \dot{θ}$ ．面積速度は $\frac{1}{2} r^{2} \dot{θ}$ で，中心力なら一定．
動径方向の加速度は $\ddot{r}$ ではなく $\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}$ である．