万有引力と天体

極座標で運動を記述する

著者：柚木芹香

問い

なめらかな水平の板の穴に糸を通し，板の上で円運動する小球の糸を下からゆっくり引くと，小球はだんだん速く回ります．第8章では，角運動量の保存から，半径を3分の1にすると速さが3倍になることを確かめました．ところが，糸が小球を引く力はいつも穴の方を向いていて，小球が回る向きの成分はありません．回る向きに押す力がないのに，なぜ速さが増えるのでしょうか．

考えてみる

中心のまわりを回る運動は， $x$ ， $y$ の成分より，「中心からの距離 $r$ 」と「向き $θ$ 」で表すほうが自然です．素朴には，回る向きの加速度は第3章の円運動の接線加速度 $r \frac{d ω}{d t}$ だと考えたくなります．もしそうなら，回る向きの力がない小球の角速度は変わらないはずです．しかし実際には，半径が3分の1になると角速度は9倍になります．

困った原因は，「中心向き」と「回る向き」という向きそのものが，小球が動くにつれて回っていくことにあります． $x$ 軸， $y$ 軸の向きは場所によらないので，成分を微分すればそのまま加速度の成分になりました．向きが変わる方向に分けるときは，向きの変化まで微分に入れなければなりません．

極座標と単位ベクトル

平面上の点 P の位置を，原点 O からの距離 $r$ と， $x$ 軸から反時計回りに測った角 $θ$ （ラジアン）で表すのが極座標です．直交座標とは $x = r \cos θ$ ， $y = r \sin θ$ の関係にあります．たとえば $(r, θ) = (2, \frac{π}{3})$ の点は $(x, y) = (1, \sqrt{3})$ です．

定義極座標の単位ベクトル

点 P $(r, θ)$ で，O から P へ向かう単位ベクトルを $e_{r}$ ，それを反時計回りに90度回した単位ベクトル（ $θ$ が増える向き）を $e_{θ}$ とする．

e_{r} = (\cos θ, \sin θ), e_{θ} = (- \sin θ, \cos θ)

P の位置ベクトルは $r = r e_{r}$ である．

$θ = 0$ の点では $e_{r} = (1, 0)$ ， $e_{θ} = (0, 1)$ ですが， $θ = \frac{π}{2}$ の点では $e_{r} = (0, 1)$ ， $e_{θ} = (- 1, 0)$ です．同じ名前の単位ベクトルでも，場所によって向きが違います．

［図：極座標の回る単位ベクトル］

初期角は35°．角θを変えるとPと，互いに垂直な単位ベクトルeᵣ，eθが向きを変える．

単位ベクトルの時間変化

短い時間 $Δ t$ に角が $Δ θ$ だけ増えたとします． $e_{r}$ は長さ1のまま $Δ θ$ だけ回るので，その先端は半径1の円の上を弧の長さ $Δ θ$ だけ，ほぼ $e_{θ}$ の向きに動きます．よって $Δ e_{r} \approx Δ θ e_{θ}$ です．同じように $e_{θ}$ の先端は $- e_{r}$ の向きに動き， $Δ e_{θ} \approx - Δ θ e_{r}$ です． $Δ t$ で割って $Δ t \to 0$ とすると次の式になります．成分の計算での確かめは次の節で行います．

定理単位ベクトルの微分

$\dot{θ} = \frac{d θ}{d t}$ として

{\dot{e}}_{r} = \dot{θ} e_{θ}, {\dot{e}}_{θ} = - \dot{θ} e_{r}

**［図：単位ベクトルの小さな変化］**
単位ベクトルの小さな変化を示す模式図．

速度と加速度

$r = r e_{r}$ を積の微分で時間微分すると， $v = \dot{r} e_{r} + r {\dot{e}}_{r} = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}$ です． $\dot{r}$ は中心から離れていく速さ， $r \dot{θ}$ は回る向きの速さで， $v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}$ です． $r$ が一定なら第3章の $v = r ω$ に戻ります．もう一度微分した結果は次のとおりです（計算は次の節）．

法則極座標での速度と加速度

v = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}

a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) e_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) e_{θ}, r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ} = \frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ})

$- r {\dot{θ}}^{2}$ は第3章の向心加速度， $r \ddot{θ}$ は角速度の変化による項です．素朴な予想になかったのが $2 \dot{r} \dot{θ}$ で，半分は動径方向の速度 $\dot{r} e_{r}$ が $e_{r}$ とともに回されて $e_{θ}$ の向きに曲がる分，残りの半分は半径が変わって回る向きの速さ $r \dot{θ}$ が変わる分です． $r$ が一定なら $a = - r {\dot{θ}}^{2} e_{r} + r \ddot{θ} e_{θ}$ となり，第3章の円運動の式（中心向きに $r ω^{2}$ ，接線方向に $r \frac{d ω}{d t}$ ）に戻ります．

中心力と $r^{2} \dot{θ}$

中心力 $F = F e_{r}$ では，運動方程式の $e_{θ}$ 成分が $\frac{m}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ}) = 0$ なので， $r^{2} \dot{θ}$ は一定です．位置ベクトルに垂直な速度成分は $r \dot{θ}$ なので，角運動量の大きさは $L = m r^{2} \dot{θ}$ で，これは第8章の角運動量の保存そのものです．短い時間 $d t$ に位置ベクトルが掃く細い扇形の面積は $\frac{1}{2} r^{2} d θ$ なので，面積速度 $\frac{1}{2} r^{2} \dot{θ} = \frac{L}{2 m}$ も一定です． $e_{r}$ 成分の式 $m (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) = F$ は，このあとの題材で軌道を調べるのに使います．

問いに戻る

糸の力は中心向きなので $r^{2} \dot{θ}$ が一定で，半径が3分の1になれば $\dot{θ}$ は9倍， $r \dot{θ}$ は3倍です．回る向きの加速度 $r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}$ は0ですが， $\frac{d}{d t} (r \dot{θ}) = \dot{r} \dot{θ} + r \ddot{θ} = - \dot{r} \dot{θ}$ で，糸を引いている間（ $\dot{r} < 0$ ）は正です． $e_{θ}$ の向きが回っているので，その成分の加速度が0でも，速度の $e_{θ}$ 成分は一定ではないのです．

エネルギーで見ると，糸を引いている間の小球は円ではなく内向きのうずまきを描き，速度には中心向きの成分 $\dot{r}$ があります．速度は糸に垂直ではなく，張力 $T$ の仕事率 $- T e_{r} \cdot v = - T \dot{r}$ は正です．「回る向きの成分がない」のは正しくても，小球が進む向きは円の接線方向ではなかったのです．

［図：糸で引く小球の速度の分解］

時間を手動で進めると，小球は内向きに進み，回る向きの速度成分が増える．初期状態では動径の内向き成分と回る向きの成分を持つ．

ポイントここまでのまとめ

極座標の単位ベクトル $e_{r}$ ， $e_{θ}$ は場所で向きが変わり， ${\dot{e}}_{r} = \dot{θ} e_{θ}$ ， ${\dot{e}}_{θ} = - \dot{θ} e_{r}$ ．
$v = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}$ ， $a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) e_{r} + \frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ}) e_{θ}$ ． $r$ 一定で円運動の式に戻る．
中心力では $r^{2} \dot{θ} = L / m$ が一定（角運動量の保存，面積速度一定）．
問いの答え：糸を引いている間，小球は内向きに動くので，速度は糸に垂直でなく，糸の力が仕事をする．回る向きの加速度が0でも， $e_{θ}$ の向きが回るので $r \dot{θ}$ は増える．