万有引力と天体

ケプラーの法則と万有引力の演習

著者：柚木芹香

距離は天体の中心から測り，力と加速度を区別して考えましょう．特に断らない限り，天体は球対称で自転せず，衛星の質量は中心天体に比べて十分小さいとします．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

半径 $R$ の惑星の地表で，重力加速度は $g = 9.8 m s^{- 2}$ である．

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考え方 逆2乗則に入れる距離は高度ではない．まず中心距離を $r = R + h$ と書き， $g = G M / R^{2}$ との比をとる．

$h = R$ では $r = 2 R$ だから， $g (r) / g = R^{2} / (2 R)^{2} = 1 / 4$ ．よって $g (r) = 2.45 m s^{- 2}$ ，与えられた精度では約 $2.5 m s^{- 2}$ である．
力は $F = m g (r)$ なので，順に $4.9 N$ ，約 $15 N$ であり，質量の比と同じく1対3である．一方，運動方程式で力をそれぞれの質量で割ると，加速度は両方とも $g (r)$ になる．重い物体ほど強く引かれることと，同じ場所で同じ加速度をもつことは両立する．高さが変われば共通の加速度そのものは変わる．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

同じ恒星を回る惑星A，Bの軌道の長半径は $a_{A} = a$ ， $a_{B} = 4 a$ であり，Aの周期は $T$ である．

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考え方 周期には長半径の3乗が，円運動の速さには軌道の周長も関わる．周期の比をそのまま速さの比にしない．

ケプラーの第3法則から $(T_{B} / T)^{2} = (4 a / a)^{3} = 64$ ．周期は正なので $T_{B} = 8 T$ ．この結果は，恒星の質量が支配的なら楕円でも使える．
円の周長は4倍，1周に要する時間は8倍だから $v_{B} / v_{A} = 4 / 8 = 1 / 2$ ．向心加速度 $v^{2} / r$ の比は $(1 / 2)^{2} / 4 = 1 / 16$ である．これは万有引力による加速度 $G M / r^{2}$ の比とも一致する．外側の惑星は遅く進むだけでなく，進行方向を曲げる加速度も小さい．楕円で瞬間の速さを比較するには，長半径に加えてその瞬間の中心距離が必要になる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

地球のまわりを半径 $r = 8.0 \times 10^{6} m$ の円軌道で回る衛星を考える． $G M = 3.98 \times 10^{14} m^{3} s^{- 2}$ とする．

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考え方 衛星を円運動させる力が万有引力である．室内の小球にもほぼ同じ重力加速度が働くため，床で支える必要がない．

$m v^{2} / r = G M m / r^{2}$ から $v = \sqrt{G M / r} = \sqrt{4.975 \times 10^{7}} \approx 7.1 \times 10^{3} m s^{- 1}$ ．したがって $T = 2 π r / v \approx 7.1 \times 10^{3} s$ ，約 $1.2 \times 10^{2}$ 分である．周期の式 $T = 2 π \sqrt{r^{3} / (G M)}$ に直接代入してもよい．
小球の重力加速度は $G M / r^{2} \approx 6.2 m s^{- 2}$ で，0ではない．衛星も小球も地球へ落下し続け，ほぼ同じ軌道を進むので，小球を床へ押し付ける支えの力がほとんど生じない．体重計が測るのはこの支えの力である．室内の大きさによる重力の差を無視する範囲で無重量となるのであり，地球の引力が消えるわけではない．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

同じ恒星を回る彗星の近日点距離は $r_{p} = d$ ，遠日点距離は $r_{a} = 5 d$ である．近日点の速さを $v_{p}$ とする．

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考え方 保存されるのは速さではなく面積速度である．両端点で速度は中心からの位置ベクトルと直交するので， $L = m r v$ を使える．

$m d v_{p} = m (5 d) v_{a}$ より $v_{a} = v_{p} / 5$ ．引力が常に中心を向くので，その中心まわりの力のモーメントが0になることが保存の根拠である．
同じ短時間 $Δ t$ の弧長は $v Δ t$ だから，近日点側対遠日点側は5対1である．一方，角変位は $Δ θ \approx v Δ t / r$ なので比は $(v_{p} / d) / (v_{a} / (5 d)) = 25$ ．角運動量を $L = m r^{2} \dot{θ}$ と書けば，角速度が距離の2乗に反比例することからも求まる．面積は近似的に $r^{2} Δ θ / 2$ であり，半径の2乗の比と角度の比が打ち消す．有限の長い時間では速さの変化を含めた面積で比較しなければならない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

一直線上の $x = 0$ に質量 $M$ ， $x = d$ に質量 $4 M$ の質点を固定する．その間に質量の無視できる試験粒子を置く．

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考え方 向きの異なる2つの重力を引き算し，つり合い点の近くでどちらが強まるかを調べる．ここで天体は外部の装置で固定されており，公転する2天体ではない．

右向き加速度は $f (x) = 4 G M / (d - x)^{2} - G M / x^{2}$ ． $f (x_{0}) = 0$ から $2 / (d - x_{0}) = 1 / x_{0}$ となり， $x_{0} = d / 3$ である．重い天体から遠い側に位置する．
微分すると $f^{'} (x) = 8 G M / (d - x)^{3} + 2 G M / x^{3}$ ． $x_{0} = d / 3$ で $f^{'} (x_{0}) = 27 G M / d^{3} + 54 G M / d^{3} = 81 G M / d^{3}$ なので， $\ddot{ξ} \approx (81 G M / d^{3}) ξ$ ．右へずれると右向き，左へずれると左向きに加速し，ずれが拡大するので不安定である．つり合いとはその点で合力が0という条件であり，戻す力があるという意味ではない．粒子の質量は加速度の式から消えるため，この安定性は試験粒子の質量によらない．

ポイント教える人へ