万有引力と天体

円軌道の運動方程式と比の計算

著者：柚木芹香

円運動の運動方程式から第3法則を導き，ニュートンの「月の落下」を数で確かめます．

定理数学の道具：べき乗則と比の計算

べき乗の比． ある量が $y = C x^{n}$ （ $C$ は定数）と表されるとき， $x$ を $k$ 倍にすると $y$ は $k^{n}$ 倍になる．2つの場合の比をとると，比例定数 $C$ は消える．

\frac{y_{2}}{y_{1}} = {(\frac{x_{2}}{x_{1}})}^{n}

$y^{2} \propto x^{3}$ なら $y \propto x^{3 / 2}$ のように， $n$ が分数でもそのまま使える．

練習 1． (1) 木星の軌道の長半径は地球の $5.2$ 倍である．第3法則を使って，木星の公転周期は何年か．(2) 万有引力は距離の2乗に反比例する．地球の中心から $2 R$ の点（ $R$ は地球の半径）の重力加速度は，地表の何倍か．

答え：(1) $T \propto a^{3 / 2}$ より $(5.2)^{3 / 2} \approx 11.9$ 倍．約12年．　(2) 距離が2倍なので $1 / 2^{2} = \frac{1}{4}$ 倍．

練習 2． (1) 火星の軌道の長半径は地球の $1.52$ 倍である．公転周期は何年か．(2) 公転周期が $8$ 年の小惑星の軌道の長半径は，地球の何倍か．

答え：(1) ${1.52}^{3 / 2} \approx 1.9$ 年．(2) $a \propto T^{2 / 3}$ より $8^{2 / 3} = 4$ 倍．

円軌道の運動方程式

質量 $M$ の天体のまわりを，質量 $m$ の物体が半径 $r$ の等速円運動をしているとします． $m$ は $M$ よりずっと小さく，天体は動かないとみなします．向心方向の運動方程式は

m \frac{v^{2}}{r} = G \frac{M m}{r^{2}}

です． $m$ が消えて $v = \sqrt{G M / r}$ ．周期は $T = 2 π r / v$ なので

T = 2 π \sqrt{\frac{r^{3}}{G M}}, \frac{T^{2}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G M}

です．この近似のもとで，右辺は $m$ にも $r$ にもよらず，中心の天体の質量 $M$ だけで決まります（天体の動きまで考えると $M$ は $M + m$ になり，周回する物体の質量もわずかに入ります）．太陽のまわりの惑星では $M$ が共通なので，これがケプラーの第3法則です．楕円軌道では $r$ が長半径 $a$ に変わって同じ式が成り立ちます（後の節）．

ニュートンの月の落下

月までの距離 $r = 3.84 \times 10^{8} m$ は，地球の半径 $R = 6.37 \times 10^{6} m$ の約 $60.3$ 倍です．力が距離の2乗に反比例するなら，月の位置での重力加速度は地表の値 $g = 9.8 m s^{- 2}$ の $1 / {60.3}^{2}$ 倍なので

a_{予想} = \frac{9.8}{{60.3}^{2}} \approx 2.70 \times 10^{- 3} m s^{- 2}

です．一方，月の公転周期は約 $27.3$ 日 $= 2.36 \times 10^{6} s$ なので，実際の値は

a_{実測} = \frac{4 π^{2} r}{T^{2}} = \frac{4 π^{2} \times 3.84 \times 10^{8}}{(2.36 \times 10^{6})^{2}} \approx 2.72 \times 10^{- 3} m s^{- 2}

です．2つの値はよく一致し，地表の重力と月を回す力は同じ万有引力で説明できます．

**［図：月の接線方向の進行と落下］**
1秒間の接線方向の進行と，直進位置から中心側へ落ちる変位．落下量は大きく誇張した模式図である．

1秒間に月は接線方向に約 $1.0 km$ 進み，その間に地球へ $\frac{1}{2} a t^{2} \approx 1.4 mm$ だけ落ちます．この小さな落下が毎瞬続くので，月は直進せず円を描きます．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

地表の重力加速度を $g = 9.8 m s^{- 2}$ ，地球の半径を $R = 6.37 \times 10^{6} m$ とする．自転の影響は無視し，万有引力定数を $G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} {kg}^{- 2}$ とする．

**［図：地表の物体と重力］**
地表の質量mの物体に中心向きの重力mgが働く．中心から表面までがRである．

地球の質量 $M$ を求めよ．
地球の平均密度を求めよ．

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考え方 地表の重力が万有引力であるとして， $m g = G M m / R^{2}$ を $M$ について解く．

$M = \frac{g R^{2}}{G} = \frac{9.8 \times (6.37 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{- 11}} \approx 5.96 \times 10^{24} kg$ ．
体積 $\frac{4}{3} π R^{3} \approx 1.08 \times 10^{21} m^{3}$ で割って $5.5 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ．地表の岩石（約 $3 \times 10^{3} kg m^{- 3}$ ）より大きく，内部はもっと密だと分かる．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

赤道上空で，地上から見て静止して見える人工衛星（静止衛星）を考える．地球の質量を $5.97 \times 10^{24} kg$ ，半径を $6.37 \times 10^{6} m$ とし，衛星の周期は地球の自転周期に等しく $24$ 時間（ $8.64 \times 10^{4} s$ ）としてよい．

**［図：静止衛星の配置］**
赤道上の地点と衛星が中心から同じ方向を保ち，地球と同じ角速度で公転する．

軌道半径 $r$ （地球の中心から）を求めよ．
地表からの高さを求めよ．
衛星の速さを求めよ．

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考え方 円軌道の式 $T^{2} / r^{3} = 4 π^{2} / (G M)$ を $r$ について解く．

$G M = 6.67 \times 10^{- 11} \times 5.97 \times 10^{24} = 3.98 \times 10^{14} m^{3} s^{- 2}$ ．

r^{3} = \frac{G M T^{2}}{4 π^{2}} = \frac{3.98 \times 10^{14} \times (8.64 \times 10^{4})^{2}}{4 π^{2}} \approx 7.53 \times 10^{22} m^{3}

より， $r \approx 4.22 \times 10^{7} m$ ．

$r - R \approx 3.6 \times 10^{7} m$ （約 $36000 km$ ）．
$v = \frac{2 π r}{T} = \frac{2 π \times 4.22 \times 10^{7}}{8.64 \times 10^{4}} \approx 3.1 \times 10^{3} m s^{- 1}$ ．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

地球は太陽のまわりを半径 $1.50 \times 10^{11} m$ ，周期 $1$ 年 $= 3.16 \times 10^{7} s$ の円軌道で回っているとする．万有引力定数を $G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} {kg}^{- 2}$ ，地球の質量を $5.97 \times 10^{24} kg$ とする．

**［図：太陽を回る地球］**
円軌道の地球の速度は接線方向，万有引力は太陽へ向かう．

太陽の質量を求め，地球の質量の何倍かを答えよ．

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考え方 円軌道の式を，中心の天体（太陽）の質量 $M$ について解く．

$M = \frac{4 π^{2} r^{3}}{G T^{2}} = \frac{4 π^{2} \times (1.50 \times 10^{11})^{3}}{6.67 \times 10^{- 11} \times (3.16 \times 10^{7})^{2}} \approx 2.0 \times 10^{30} kg$ ．地球の質量の $\frac{2.0 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} \approx 3.4 \times 10^{5}$ 倍．

ポイントここまでのまとめ

円軌道では $v = \sqrt{G M / r}$ ， $T^{2} / r^{3} = 4 π^{2} / (G M)$ ．質量 $m$ は消え，中心の天体の質量 $M$ だけが残る．
月の向心加速度は地表の $g$ の $1 / 60^{2}$ 程度で，実測と合う．リンゴと月は同じ万有引力で動く．
周期と軌道半径から中心天体の質量が求まる．べき乗の関係は，比をとると定数が消える．