万有引力と天体

ケプラーの法則と万有引力

著者：柚木芹香

問い

木から離れたリンゴは，地球に引かれて真下に落ちます．では夜空の月はどうでしょうか．月も同じ地球の引力を受けているなら，月は地球に向かって落ち続けているはずです．ところが，月が地面に落ちてくることはありません．なぜ月は落ちてこないのでしょうか．また，リンゴを落とす力と月を引く力は，同じ力なのでしょうか．

考えてみる

リンゴを手から離すと真下に落ち，水平に投げると放物線を描いて少し離れた所に落ちます．強く投げるほど遠くに落ちるので，もっと強く投げれば，もっと遠くに落ちるはずです．地球は丸いので，地面は遠くへ行くほど下へ曲がっていきます．落ちる間に地面のほうが先に遠ざかるほど速く投げたら，ボールはどうなるのでしょうか．

**［図：水平投射と周回］**
球形の地表から同じ点で水平投射する．2つの落下軌道と円軌道を描く．

月に当てはめると，月は慣性で直進しようとし，その進路が地球の引力で曲げられ続けているとも読めます．これが正しいかは，引力の大きさが距離とともにどう変わるかで決まります．それを教えてくれたのが，惑星の運動の観測です．

ケプラーの3法則

ケプラーは，ティコ・ブラーエが長年かけて集めた火星などの精密な観測を整理して，惑星の運動に3つの規則を見つけました．

法則ケプラーの3法則

第1法則　惑星は，太陽を1つの焦点とする楕円軌道を描く．

第2法則　太陽と惑星を結ぶ線分は，等しい時間に等しい面積を掃く．すなわち，単位時間あたりに掃く面積（面積速度）は一定である．

第3法則　惑星の公転周期 $T$ の2乗は，軌道の長半径 $a$ の3乗に比例する．すなわち $T^{2} / a^{3}$ は，すべての惑星で同じ値である．

これらは観測から見つかった事実で，当時はなぜそうなるのかが分かっていませんでした．第2法則は，近日点（太陽に近い点）では速く，遠日点では遅く動くことを意味します．なお第3法則の共通の値は，惑星の質量が太陽よりずっと小さく，太陽が動かないとみなせる近似での関係です．

**［図：面積速度一定］**
厳密な楕円の焦点を基準に，同じ平均近点角の幅に対応する等面積の領域を示す．

第8章で見たとおり，中心力だけを受ける質点では角運動量 $L$ が保存し，面積速度 $L / (2 m)$ が一定です．逆にいえば，面積速度が一定だという第2法則は，惑星に働く力が常に太陽と惑星を結ぶ直線に沿うこと（中心力であること）を教えています．太陽に向かう引力か，遠ざける斥力かは第2法則だけでは決まらず，惑星が太陽のまわりに曲がって回ることから，引力だと分かります．

第3法則から逆2乗則を読む

ほとんどの惑星の軌道は円に近いので，半径 $r$ ，周期 $T$ の等速円運動で近似します．向心加速度の大きさは $a_{向心} = r ω^{2} = 4 π^{2} r / T^{2}$ です．第3法則を，すべての惑星に共通の定数 $k$ を使って $T^{2} = k r^{3}$ と書くと

a_{向心} = \frac{4 π^{2} r}{k r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{k} \cdot \frac{1}{r^{2}}

となり，加速度は距離の2乗に反比例します．惑星の質量を $m$ とすれば，太陽が惑星に及ぼす力は $F = m a_{向心} = (4 π^{2} / k) m / r^{2}$ で， $m$ に比例します．作用・反作用により，惑星が太陽を引く力も同じ大きさです．惑星の質量に比例するなら，太陽の質量 $M$ にも比例すると考えるのが対称的です．ニュートンはこれをすべての物体に広げました．

法則万有引力の法則

質量 $m_{1}$ ， $m_{2}$ の2つの質点が距離 $r$ だけ離れているとき，互いに引き合う力の大きさは

F = G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

である．向きは2点を結ぶ直線に沿う． $G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} {kg}^{- 2}$ を万有引力定数という．

「万有」とは，あらゆる物体の間に働くという意味です．リンゴと地球の間にも，机の上の2冊の本の間にも働きますが，後者は小さすぎて気づきません．地球のような球は，外から見ると全質量が中心に集まった質点と同じに扱えます．この事実は，この章の後の節で証明します．

地表の重力と地球の質量

質量 $m$ の物体が地表（地球の中心から $R$ ）で受ける重力が万有引力だとすれば，地球の質量を $M$ として $m g = G M m / R^{2}$ です．

g = \frac{G M}{R^{2}}

重力加速度 $g$ は，物体の質量によらず，地球の質量と半径だけで決まります．これで，質量によらず同じ加速度で落ちる理由もわかります．高さ $h$ では $g$ は $G M / (R + h)^{2}$ に減ります．月の距離は地球の半径の約60倍なので，そこでの値は $g$ の $1 / 60^{2}$ のはずで，約 $2.7 \times 10^{- 3} m s^{- 2}$ です．これが月の実際の向心加速度と合うことは，次の節で確かめます．

重ね合わせの原理

物体が3つ以上あるときは，その物体が受ける力を，ほかの物体それぞれからの万有引力のベクトル和として求めます．

ポイント重ね合わせの原理

質点が受ける万有引力は，ほかの各質点が単独でいるときの万有引力の和（ベクトル和）である．第三の物体が現れても，2つの物体の間の力は変わらない．

月は地球に引かれると同時に太陽にも引かれ，その合力で動きます．

キャベンディッシュの実験

ニュートンの時代には， $G$ の値は測られていませんでした．1798年にキャベンディッシュは，細い糸で水平につるした棒の両端に小さな鉛球をつけ，大きな鉛球を近づけて，棒がわずかにねじれるのを測りました．

**［図：ねじれ秤］**
棒の両端の小球が近くの大球へ引かれ，つり糸を軸に棒がねじれる．

質量 $1 kg$ の2つの物体を $1 m$ 離したときの力は $6.67 \times 10^{- 11} N$ にすぎず，これを測るのは大変な仕事でした． $G$ が分かると， $g = G M / R^{2}$ から地球の質量 $M = g R^{2} / G$ が求まります．この実験が「地球の重さを量った」と言われるのはそのためです．

月は落ち続けている

地表すれすれを水平に飛ぶ物体が円軌道を描くとして，運動方程式 $m v^{2} / R = m g$ を解くと， $v = \sqrt{g R} \approx 7.9 \times 10^{3} m s^{- 1}$ （第一宇宙速度）です．これより遅ければ地面に落ち，この速さなら落ち続けながら地面に届きません．月の場合は，中心までの距離 $r = 3.84 \times 10^{8} m$ での円運動の式から $v = \sqrt{G M / r} \approx 1.0 \times 10^{3} m s^{- 1}$ になります．月は，地球に引かれて落ち続けながら，横向きに進む速さのために地面に届かないのです．

ポイントここまでのまとめ

ケプラーの3法則：楕円軌道，面積速度一定， $T^{2} / a^{3}$ が共通．第2法則は，力が中心力であること（角運動量の保存）を表す．
円軌道と第3法則から，力は距離の2乗に反比例する．万有引力の法則は $F = G m_{1} m_{2} / r^{2}$ ， $g = G M / R^{2}$ ．力はベクトルとして足し合わせる（重ね合わせ）．
問いの答え：月は地球に向かって落ち続けているが，横向きに十分な速さで進んでいるため，落ちた先の地面がいつも遠ざかる．リンゴを落とす力と月を回す力は，同じ万有引力である．