ゆらぎと拡散（発展）

熱伝導と粘性の演習

著者：柚木芹香

温度差と熱流，速度差と粘性力を結びつけてください．気体では自由行程と容器の幅も比べましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

長さ $L = 2.0 cm$ ，断面積 $S = 1.0 {cm}^{2}$ の棒の熱伝導率は $κ = 2.0 W m^{- 1} K^{- 1}$ ，体積あたりの熱容量は $ρ c = 2.0 \times 10^{6} J m^{- 3} K^{- 1}$ です．側面は断熱し，物性値は一定です．

両端の温度差が $20 K$ の定常状態で，高温端から低温端へ $z$ 軸をとり，熱流束 $q$ と熱流 $P$ を求めなさい．
両端も断熱した後の均一化の時間を見積もり，同材質で長さ2倍の場合と比べなさい．

**［図：断熱した棒の寸法と熱流］**
長さL=2.0 cm，断面積S=1.0 cm²の棒の側面は断熱され，両端の温度差は20 Kである．z軸は高温端から低温端へ向かい，熱流束qと熱流Pも同じ向きに流れる．

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考え方 熱流束を面積倍し，均一化は熱拡散率で見積もる．

フーリエの法則より $q = - κ d T / d z = κ (20 K) / L = 2.0 \times 10^{3} W m^{- 2}$ ， $P = q S = 0.20 W$ で，高温端から低温端へ流れる．
$α = κ / (ρ c) = 1.0 \times 10^{- 6} m^{2} s^{- 1}$ ． $t \approx L^{2} / α = 4.0 \times 10^{2} s$ が目安である．長さ2倍では時間は4倍となる．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $L$ ，断面積 $S$ の棒2本の熱伝導率は $κ$ ， $3 κ$ です．温度 $T_{h} > T_{c}$ の熱源間に置き，側面は断熱し，接触熱抵抗は無視します．

高温側から $κ$ ， $3 κ$ の順につなぎ，直列の熱抵抗と接続点の温度を求めなさい．
並列の熱抵抗と，直列に対する全熱流の倍率を求めなさい．

**［図：2本の棒の直列配置と並列配置］**
各棒の長さはL，断面積はSで，熱伝導率はκと3κである．直列では高温側Thからκ，3κの順につなぎ，接続点をTiとする．並列では両方の棒が同じThとTcを共有する．直列では熱流が共通，並列では温度差が共通となる．

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考え方 直列では熱流，並列では温度差が共通である．

$R_{1} = L / (κ S)$ ， $R_{2} = R_{1} / 3$ だから $R_{s} = 4 L / (3 κ S)$ ．接続点の温度は $T_{i} = T_{c} + P R_{2} = T_{c} + (T_{h} - T_{c}) / 4$ である．
$1 / R_{p} = 1 / R_{1} + 1 / R_{2}$ より $R_{p} = L / (4 κ S)$ ．同じ温度差では $P_{p} / P_{s} = R_{s} / R_{p} = 16 / 3$ となる．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

長さ $ℓ$ ，内半径 $a$ ，外半径 $2 a$ の円筒状の断熱材の内外面を $T_{h} > T_{c}$ に保ちます． $κ$ は一定で，端面は断熱します．

定常の熱流 $P$ を求めなさい．
同材質を厚さ $a$ だけ加え，外半径を $3 a$ にします．内外面の温度が追加前と同じなら，熱流は何倍ですか．接触熱抵抗は無視し， $\ln 2 = 0.693$ ， $\ln 3 = 1.10$ とします．

**［図：円筒状の断熱材を厚くしたときの寸法］**
追加前は内半径a，外半径2a，追加後は内半径a，外半径3aの円筒である．どちらも内面をTh，外面をTcに保ち，長さℓと材質は同じである．追加後の半径2aは材料の界面を表す．下に軸を含む断面と断熱された両端面を示す．

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考え方 面積が半径で変わるので，円筒の熱抵抗を使う．

半径 $r$ の面では $P = - 2 π κ r ℓ d T / d r$ ． $a$ から $2 a$ まで積分すると $T_{h} - T_{c} = P \ln 2 / (2 π κ ℓ)$ ．よって $R = \ln 2 / (2 π κ ℓ)$ ， $P = 2 π κ ℓ (T_{h} - T_{c}) / \ln 2$ である．
$R^{'} = \ln 3 / (2 π κ ℓ)$ より $P^{'} / P = \ln 2 / \ln 3 \approx 0.63$ ．厚さ2倍でも，面積も増すので熱流は半分にならない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

間隔 $d$ ，幅 $w$ ，流路長 $L$ の静止した水平な平行平板の間に，粘性率 $η$ 一定の非圧縮性液体を流します．入口は出口より圧力が $Δ p > 0$ 高く，圧力は直線的に下がります．定常層流で，端・側面の影響と滑りは無視します．

下板からの高さを $z$ ，下流向きの速度を $u (z)$ とし，力のつり合いから速度分布を求めなさい．
各板の粘性力を向きも含めて求めなさい．圧力差と寸法は同じで， $η$ が2倍なら速度と力は何倍ですか．

**［図：圧力差で流れる平行平板間の液体］**
上面図に流路長Lと幅wを，下の側面図に板間隔dと下板から上向きのz軸を示す．入口の圧力は出口よりΔpだけ高く，液体は右へ流れる．上下の板は静止している．高さzの厚さdzの薄い層を緑で示し，その流速をu(z)と記す．

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考え方 層を押す圧力の力を，上下の粘性力の差が打ち消す．

厚さ $d z$ の層では $Δ p w d z + η w L \frac{d^{2} u}{d z^{2}} d z = 0$ ．2回積分し， $u (0) = u (d) = 0$ を使うと

u (z) = \frac{Δ p}{2 η L} z (d - z)

となる．

壁での勾配の大きさは $Δ p d / (2 η L)$ ．各板の力は $F = η w L | d u / d z | = Δ p w d / 2$ で，両方とも下流向きである． $η$ が2倍なら勾配は半分となり，速度は半分，力は不変である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

理想気体の分子の質量 $m$ ，1分子あたりの熱容量 $c_{1}$ ，衝突断面積 $σ$ は一定とします．

$λ = 1 / (n σ)$ から $κ, η$ が数密度によらないことを示しなさい．等温で圧力2倍，等圧で温度4倍にした場合の $λ, \bar{v}, D, κ, η$ の倍率を求めなさい．ともに $1 ≫ Kn$ とします．
固定温度で $p_{0} = 1.0 \times 10^{5} Pa$ のとき $λ_{0} = 1.0 \times 10^{- 7} m$ です．隙間 $d = 1.0 cm$ で $Kn = 1$ となる圧力を求めなさい．異なる壁温度を保ち， $0.010 Pa$ から $0.0010 Pa$ に下げると，気体の熱流は何倍ですか．放射と支持材の熱伝導は除きます．

**［図：平均自由行程と壁間隔の比較］**
同じ隙間dと壁温度Th>Tcをもつ2つの気体を比べる．左のλ≪dでは分子は衝突を繰り返し，輸送距離はλ程度である．右のλ≫dでは途中で衝突せず壁から壁へ直行し，輸送距離はd程度に限られる．

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考え方 分子数の減少と自由行程の増加は打ち消し合うが，輸送距離は壁間隔が上限である．

$κ \approx n \bar{v} λ c_{1} / 3 = \bar{v} c_{1} / (3 σ)$ ， $η \approx n m \bar{v} λ / 3 = m \bar{v} / (3 σ)$ で $n$ は消える． $n = p / (k_{B} T)$ ， $\bar{v} \propto \sqrt{T}$ ， $D \approx \bar{v} λ / 3$ より，等温では順に $1 / 2, 1, 1 / 2, 1, 1$ 倍．等圧では $n$ が1/4倍で，順に $4, 2, 8, 2, 2$ 倍となる．
$Kn = λ_{0} p_{0} / (p d)$ より境目は $p = λ_{0} p_{0} / d = 1.0 Pa$ ． $Kn = 100, 1000$ で輸送距離は壁間隔となる．壁温度一定で熱流は $n \propto p$ に比例し，約1/10倍になる．真空断熱はこの領域で効く．

ポイント教える人へ

熱流束と熱流の違いを単位で説明させます．
直列と並列で共通の量を問い，接続点の温度を確かめさせます．
円筒で厚さだけを使う誤りには，各半径の面積を描かせます．
静止板の粘性力を問い，両板の力の和を圧力の力と比べさせます．
密度によらない結論の適用条件を，自由行程と隙間で説明させます．