ゆらぎと拡散（発展）

輸送の数学：熱抵抗と定常の流れ

著者：柚木芹香

熱伝導も粘性も，定常状態ではよく似た計算になります．温度差を熱流で割った量を「抵抗」とみなすと見通しがよくなるので，それを道具にまとめます．電気回路を習った人には，そこでの抵抗とそっくりの計算に見えるはずです．

定理数学の道具：定常の輸送と熱抵抗

定常状態では，途中で熱がたまらないので，熱流 $P$ （単位は $W$ ）はどの断面でも同じである．断面積 $S$ ，厚さ $L$ ，熱伝導率 $κ$ の平板では $P = κ S (T_{1} - T_{2}) / L$ だから，これを

T_{1} - T_{2} = P R, R = \frac{L}{κ S}

と書ける． $R$ を熱抵抗という．温度差が $R$ と熱流の積で決まるので，同じ熱流を通す層を重ねれば温度差が足し算になり，並べれば熱流が足し算になる．したがって

直列（重ねる）： $R = R_{1} + R_{2} + \dots$
並列（並べる）： $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \dots$

温度も拡散する． 密度 $ρ$ ，単位質量あたりの熱容量 $c$ の物体では，保存則とフーリエの法則から

\frac{\partial T}{\partial t} = α \frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}, α = \frac{κ}{ρ c}

となる． $α$ を熱拡散率といい，単位は拡散係数と同じ $m^{2} s^{- 1}$ である．厚さ $L$ の物体の温度がならされるのにかかる時間は $t \approx L^{2} / α$ で，ここでも $L^{2}$ に比例する．

練習． (1) 平板の厚さを2倍にすると，同じ温度差での熱流は何倍になるか．さらに面積も2倍にするとどうか．(2) 内半径 $a$ ，外半径 $b$ ，長さ $ℓ$ の円筒の壁の熱抵抗が $\ln (b / a) / (2 π κ ℓ)$ になることを示せ．

答え：(1) $R = L / (κ S)$ が2倍になるので熱流は $\frac{1}{2}$ 倍．面積も2倍にすると $R$ はもとに戻り，熱流ももとのままである．　(2) 定常では半径 $r$ の円筒面を通る熱流 $P = - κ (2 π r ℓ) d T / d r$ が $r$ によらない．変形して $d T = - \frac{P}{2 π κ ℓ} \frac{d r}{r}$ を $a$ から $b$ まで積分すると $T (a) - T (b) = \frac{P}{2 π κ ℓ} \ln \frac{b}{a}$ となる．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

外気と室内の温度差が $20 K$ の部屋がある．外に面した部分は，壁が $10 m^{2}$ ，窓が $2.0 m^{2}$ である．壁は内側から石膏ボード（ $12 mm$ ， $κ = 0.22 W m^{- 1} K^{- 1}$ ），グラスウール（ $100 mm$ ， $0.040$ ），合板（ $12 mm$ ， $0.16$ ）の3層からなる．窓は厚さ $3 mm$ のガラス（ $1.0$ ）2枚で $12 mm$ の空気層（ $0.026$ ）をはさんだ複層ガラスである．空気の対流と壁の表面の抵抗は無視する．

**［図：壁と複層ガラスの熱抵抗］**
壁は石膏ボード12 mm，グラスウール100 mm，合板12 mmの3層，窓はガラス3 mm，空気12 mm，ガラス3 mmの3層である．各層の熱伝導率κを示す．室内と外気の温度差は20 Kで，壁の面積は10 m²，窓は2.0 m²である．下の対応回路では各層の熱抵抗が直列，壁と窓が並列につながる．温度差が電圧，熱流Pが電流に対応する．

壁と窓について，面積 $1 m^{2}$ あたりの熱抵抗を求めなさい．
壁と窓を通る熱流と，その合計を求めなさい．
窓を同じ面積の壁に替えると，合計はどうなるか．

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考え方 層は直列，壁と窓は並列である．単位面積あたりの熱抵抗 $L / κ$ を先に出すと見通しがよい．

壁は $\frac{0.012}{0.22} + \frac{0.100}{0.040} + \frac{0.012}{0.16} = 0.055 + 2.5 + 0.075 = 2.6 m^{2} K W^{- 1}$ ．窓は $2 \times \frac{0.003}{1.0} + \frac{0.012}{0.026} = 0.006 + 0.46 = 0.47 m^{2} K W^{- 1}$ ．断熱材の2.5がほとんどを決めており，ガラス自体はほとんど効いていない．
壁は $P = 20 \times 10 / 2.6 \approx 77 W$ ，窓は $20 \times 2.0 / 0.47 \approx 85 W$ ．合計は約 $1.6 \times 10^{2} W$ である．窓は面積が壁の5分の1なのに，損失の半分以上を占める．
全体が壁になると $P = 20 \times 12 / 2.6 \approx 92 W$ で，合計は4割ほど減る．断熱では，いちばん抵抗の小さい並列経路から手を付けるのが効く．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

間隔 $d = 1.0 mm$ の2枚の平らな板の間を気体で満たし，面積 $S = 0.10 m^{2}$ の上の板を一定の速さ $u_{0} = 0.50 m s^{- 1}$ で水平に引く．下の板は固定で，気体は板の表面では板と同じ速さで動くとする．

**［図：平行平板間の直線的な速度分布］**
間隔dの2枚の板の下側を固定し，面積Sの上の板を右向きに速さu₀で引く．青い矢印は気体の流速u(z)で，上の板に近いほど長くなる．板の表面では気体は板と同じ速さで動くため，定常の速度分布は直線となる．赤い矢印Fは上の板を引く外力を表す．

定常では気体の各層が等速で動くことから，速度分布 $u (z)$ が直線になることを示し，上の板を引くのに必要な力を求めなさい．
空気（ $η = 1.8 \times 10^{- 5} Pa s$ ）と水（ $1.0 \times 10^{- 3} Pa s$ ）で力を計算しなさい．
板の間の空気を半分だけ抜くと，力はどう変わるか．どこまで抜くとその答えが成り立たなくなるか．

解答を見る

考え方 各層が加速しないためには，上下の面から受ける粘性の力がつり合っていなければならない．

厚さ $d z$ の層にはたらく力は $η S [d u / d z (z + d z) - d u / d z (z)] = η S d^{2} u / d z^{2} d z$ で，これが0だから $d^{2} u / d z^{2} = 0$ ，すなわち $u$ は $z$ の1次式である．境界条件 $u (0) = 0$ ， $u (d) = u_{0}$ から $u = u_{0} z / d$ ．よって力は $F = η S d u / d z = η S u_{0} / d$ である．
空気は $F = 1.8 \times 10^{- 5} \times 0.10 \times 0.50 / (1.0 \times 10^{- 3}) = 9.0 \times 10^{- 4} N$ ．水は $η$ が約56倍なので $5.0 \times 10^{- 2} N$ ．
$η \approx m \bar{v} / (3 σ)$ は数密度によらないので，力はほとんど変わらない．ただしこの結論は $λ$ が $d$ より十分小さいときだけである．1気圧で $λ \approx 0.1 μ m$ で $d = 1.0 mm$ の1万分の1だが， $λ \propto 1 / p$ なので圧力を $10^{- 4}$ 気圧ほどまで下げると $λ$ が $d$ に並び，そこから先は力が圧力に比例して減る．

ポイントここまでのまとめ

定常の熱伝導は熱抵抗 $R = L / (κ S)$ と $Δ T = P R$ で，オームの法則とまったく同じ形になる．重ねれば直列，並べれば並列である．
円筒の壁の熱抵抗は $\ln (b / a) / (2 π κ ℓ)$ で，厚さではなく半径の比で決まる．
熱拡散率 $α = κ / (ρ c)$ は拡散係数と同じ単位をもち，温度がならされる時間は $L^{2} / α$ 程度である．
平行な板にはさまれた流れの速度分布は直線で，引く力は $η S u_{0} / d$ ．気体では圧力を下げても変わらない．