確率振幅から組み立てる量子力学（発展）

同種粒子の散乱と状態の占有の演習

著者：柚木芹香

交換した過程が同じ検出結果になるかを確かめてください．交換の符号と状態の占有を，散乱，光子の数，電子を詰める順序へ結びつけましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

2粒子を散乱させ，検出器 $D, E$ に1個ずつ届く事象を調べる．交換前の振幅を $a = 1 / 10$ ，交換した過程の振幅を $b = 1 / 20$ とする．内部状態はそろえてあり，散乱で変わらない．

区別できる粒子，同種ボース粒子，同種フェルミ粒子の検出確率と，その比を求めよ．
経路を区別する標識を付けると，交換による干渉は残るか．

**［図：2粒子の直接経路と交換経路］**
2本の入射経路から検出器D，Eへ至る2組の経路を示す．実線の組の振幅a＝1/10と破線の組の振幅b＝1/20は，それぞれ2粒子の過程全体の振幅である．

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考え方
区別できる場合は確率を足し，同種粒子では交換の符号を含めて振幅を足す．

区別できる場合は $P_{dist} = {| a |}^{2} + {| b |}^{2} = 5 / 400$ ．ボース粒子は $P_{B} = {| a + b |}^{2} = 9 / 400$ ，フェルミ粒子は $P_{F} = {| a - b |}^{2} = 1 / 400$ ．したがって比は順に $5 : 9 : 1$ である．
標識から検出器への対応が分かれば最終状態が異なり，確率は $5 / 400$ となる．標識を読み取らなくても，その情報が残る限り干渉しない．検出器を指定した事象なので，確率に余分な係数2を付けない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

温度 $T$ の空洞にある振動数 $ν$ の各光子モードの平均占有数を $\bar{n}$ とする．準位差 $h ν$ の原子について，下準位と上準位の個数を $N_{l}, N_{u}$ とし，吸収率は $B \bar{n} N_{l}$ ，放出率は $B (\bar{n} + 1) N_{u}$ と与える．状態数は等しく，熱平衡では $N_{u} / N_{l} = e^{- h ν / (k_{B} T)}$ である．

吸収と放出のつり合いから $\bar{n}$ を求めよ．
体積 $V$ の空洞で，中心振動数 $ν_{0}$ ，幅 $Δ ν$ の狭い帯域のモード数は $G = 8 π V ν_{0}^{2} Δ ν / c^{3}$ である． $h ν_{0} = k_{B} T$ ， $G = 2.0 \times 10^{8}$ の場合の平均光子数を求め，帯域を狭いとする条件を述べよ．

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考え方
放出の $\bar{n} + 1$ の1を残して平衡を解く．光子数はモード数と占有数の積になる．

$\bar{n} N_{l} = (\bar{n} + 1) N_{u}$ より， $\bar{n} / (\bar{n} + 1) = e^{- h ν / (k_{B} T)}$ ．整理して $\bar{n} = 1 / (e^{h ν / (k_{B} T)} - 1)$ である．
帯域内でモード密度と占有数を一定と近似すると， $\bar{N} = G / (e - 1) = 1.16 \times 10^{8} \approx 1.2 \times 10^{8}$ ． $Δ ν / ν_{0}$ と $h Δ ν / (k_{B} T)$ が十分小さいことが必要である． $G$ と $\bar{N}$ は無次元であり，低温の極限では占有数が0へ近づく．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

状態数の等しい上下2準位を持つ $N$ 個の原子を用いる．下準位の原子1個あたりの励起率を $w$ ，上準位から下準位への自発的な緩和率を $γ$ とし，レーザー光が弱い段階では $w N_{l} = γ N_{u}$ ， $N_{l} + N_{u} = N$ が成り立つ．モードの光子数 $n$ に比例する正味の誘導放出率は $B n (N_{u} - N_{l})$ ，光子の損失率は $κ n$ とする．

反転分布 $N_{u} > N_{l}$ の条件と，微小な光が増幅される条件を区別して求めよ．
$κ / (B N) = 0.20$ ， $γ = 4.0 \times 10^{7} s^{- 1}$ のとき，増幅に必要な $w$ を求めよ．自発放出が存在するだけで増幅するといえるか．

**［図：励起と緩和と共振器内の光子］**
上下2準位の励起率w，緩和率γと，上準位・下準位の原子数Nᵤ，Nₗを示す．共振器内のモード光子数はn，光子損失率はκnである．

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考え方
原子の占有数を先に決め，光子数に比例する生成と損失の係数を比較する．

$N_{u} = N w / (w + γ)$ ， $N_{l} = N γ / (w + γ)$ より，反転分布は $w > γ$ ．増幅には $B N (w - γ) / (w + γ) > κ$ が必要である． $η = κ / (B N)$ とおくと， $η < 1$ で $w > γ (1 + η) / (1 - η)$ ． $η \geq 1$ では有限の励起率でこの条件を満たせない．
$w > 4.0 \times 10^{7} \times 1.20 / 0.80 = 6.0 \times 10^{7} s^{- 1}$ ．自発放出は光の種を供給するが，増幅係数を正にするとは限らない．損失を0にすると条件は反転分布だけになり整合する．占有数を固定する近似は，誘導遷移率 $B n$ が $w + γ$ より十分小さい段階に限る．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

入力 $A, B$ から各1粒子を同時に送り，出力 $D, E$ へ混合する装置を考える．1粒子の振幅は $⟨ D | A ⟩ = ⟨ E | B ⟩ = \sqrt{τ}$ ， $⟨ E | A ⟩ = ⟨ D | B ⟩ = i \sqrt{1 - τ}$ ， $0 \leq τ \leq 1$ である．相互作用と損失はなく，内部状態と到着時刻はそろっている．同種ボース粒子2個が同じ出力に入る振幅は，対応する1粒子振幅の積の $\sqrt{2}$ 倍とする．

区別できる粒子，ボース粒子，フェルミ粒子の，両出力に1個ずつ届く確率を求めよ．
ボース粒子の両方が $D$ に入る確率と，両方が $E$ に入る確率を求め，規格化を確かめよ． $τ = 0.60$ での同時検出確率も比較せよ．

**［図：混合装置の1粒子振幅］**
入力A，Bから出力D，Eへの1粒子の接続を示す．A→DとB→Eは√τ，A→EとB→Dはi√(1−τ)である．

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考え方
直接過程と交換過程を数え，同じ出力への増強と排他律も確認する．

直接過程は $τ$ ，交換過程は $i^{2} (1 - τ) = - (1 - τ)$ ．区別できる場合は $P_{dist} = τ^{2} + (1 - τ)^{2}$ ．ボース粒子は $P_{B} = {| τ - (1 - τ) |}^{2} = (2 τ - 1)^{2}$ ，フェルミ粒子は $P_{F} = {| τ + (1 - τ) |}^{2} = 1$ ．
両方が $D$ に入る振幅は $i \sqrt{2 τ (1 - τ)}$ ，確率は $2 τ (1 - τ)$ ． $E$ も同じなので，全確率は $(2 τ - 1)^{2} + 4 τ (1 - τ) = 1$ ．フェルミ粒子は同じ完全な状態には入れず，両方が同じ出力に入る確率は0である． $τ = 0.60$ で1個ずつ届く確率は順に $0.52, 0.040, 1$ ．ボース粒子の同時検出が0になるのは $τ = 1 / 2$ であり，位相と到着状態がそろうという前提も必要である．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

電子を1個ずつ閉じ込める装置には，軌道準位 $E_{j} = E_{0} + j Δ$ ， $j = 0, 1, \dots$ ， $Δ > 0$ がある．各軌道にはスピンの異なる2状態があり，それぞれ1電子だけ入る．電子数 $N$ の基底状態の全エネルギーを，占有準位の和と $K N (N - 1) / 2$ の和で表す模型を採用する． $K > 0$ は電子対あたりの反発エネルギーで，空の装置では $U (0) = 0$ とする．追加エネルギー $μ_{N} = U (N) - U (N - 1)$ を測定した．

$N$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$μ_{N}$ （ $eV$ ）	$0.40$	$0.60$	$1.40$	$1.60$	$2.40$	$2.60$

$E_{0}, Δ, K$ を求め，残る値でも確かめよ．
$μ_{7}, U (7)$ を求めよ．軌道準位1つに2電子を入れることが，排他律と矛盾しない理由も述べよ．

**［図：空の軌道準位と2つのスピン状態］**
等間隔の軌道準位Eⱼ＝E₀＋jΔを空のまま示す．各軌道にスピンの異なる2状態の空枠を置く．Δの数値と電子の占有は示さない．

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考え方
低い軌道から2個ずつ詰める．電子を1個加えると，新たにできる電子対は $N - 1$ 組である．

整数 $q \geq 1$ について， $μ_{2 q - 1} = E_{0} + (q - 1) Δ + (2 q - 2) K$ ， $μ_{2 q} = E_{0} + (q - 1) Δ + (2 q - 1) K$ ．最初の値から $E_{0} = 0.40 eV$ ， $K = μ_{2} - μ_{1} = 0.20 eV$ ．軌道が変わる差 $μ_{3} - μ_{2} = Δ + K$ より $Δ = 0.60 eV$ ． $q = 2, 3$ を代入すると残る $1.60, 2.40, 2.60 eV$ にも一致する．
第7電子は $j = 3$ に入るので $μ_{7} = E_{0} + 3 Δ + 6 K = 3.40 eV$ ．全エネルギーは $U (7) = 2 E_{0} + 2 (E_{0} + Δ) + 2 (E_{0} + 2 Δ) + (E_{0} + 3 Δ) + 21 K = 12.40 eV$ ．異なるスピンは別の完全な状態なので排他律に反しない．追加エネルギーを7個目まで足しても同じ値になる．

ポイント教える人へ

粒子を交換しても同じ事象か，内部状態まで含めて問いかける．
軌道が同じことと，スピンも含めた完全な状態が同じことを区別させる．
自発放出，誘導放出，損失をそれぞれ式の項に対応させる．
追加エネルギーの差の交互性から，排他律と反発の寄与を説明させる．