確率振幅から組み立てる量子力学（発展）

スピンと回転

著者：柚木芹香

問い

銀の原子を炉で蒸発させて細いビームにし，上下で強さの違う磁場（不均一な磁場）の中を通して，向こうのガラス板に当てます．銀の原子は小さな磁石なので，磁石の向きに応じて上や下へ曲げられるはずです．炉から出てくる原子の磁石の向きはばらばらなので，ガラス板には上下に伸びた1本の帯ができると予想できます．ところが実際には，ビームはちょうど2本に分かれ，その間には何も届きません．小さな磁石の向きはばらばらのはずなのに，なぜ2本なのでしょうか．

考えてみる

磁気モーメント $m$ を持つ小さな磁石を， $z$ 方向に強さが変わる磁場に置くと， $z$ 方向に力 $F_{z} = m_{z} \frac{\partial B_{z}}{\partial z}$ を受けます（第22章）．力は磁気モーメントの $z$ 成分 $m_{z} = m \cos α$ に比例するので，向き $α$ がばらばらなら，曲がる量も $- m$ から $m$ まで連続にばらつき，帯になるはずです．2本に分かれたということは，どの原子についても $m_{z}$ が $+ m$ か $- m$ の2つの値しかとらないということです．

ここで困るのは， $z$ 方向が実験する人の選んだ方向にすぎないことです．磁石を傾けて $x$ 方向に分ける装置にしても，やはり2本に分かれます．すべての原子の磁石が， $z$ 方向にも $x$ 方向にも「ちょうど上か下」を向いていることはできません．「原子の磁石が前からどちらかを向いていて，装置がそれを読む」という古典的な描像を捨て，前の題材までの確率振幅の言葉で考え直す必要があります．

シュテルン・ゲルラッハの装置とフィルター

銀の原子の磁気モーメントは，1個の電子のスピン（固有の角運動量）から来ています．電子・陽子・中性子もスピンを持ち，どれも1つの方向で測るとちょうど2つの値のどちらかになります．このような粒子をスピン1/2の粒子といいます（角運動量の成分が $\pm ℏ / 2$ になるため）．

不均一な磁場で $z$ 方向に2本に分ける装置を S と呼び，上へ曲がった原子の状態を $| + ⟩$ ，下へ曲がった原子の状態を $| - ⟩$ と書きます．出口の一方をふさげば，S は片方の状態だけを通すフィルターになります．

**［図：シュテルン・ゲルラッハの装置と2本のビーム］**
左から来た銀原子のビームが，とがった上の磁極と溝のある下の磁極の間を通る．装置 S はビームを上下に分け，右のガラス板に |+⟩ と |−⟩ の2か所の跡を作る．点線の縦長の枠は古典的に予想される連続した帯．磁極の形と軌道は模式的に示す．

$| + ⟩$ だけを通したビームを，同じ向きの2台目の S に入れると，すべて $+$ の出口に出ます． $-$ の出口には1個も来ません．1台目の結果は「たまたま」ではなく，2台目で同じ測定をすればまた同じ結果になります．では，2台目を $y$ 軸のまわりに角 $θ$ だけ傾けた装置 T にしたらどうなるでしょうか．実験では，T の $+$ の出口に出る割合は $\cos^{2} (θ / 2)$ ， $-$ の出口に出る割合は $\sin^{2} (θ / 2)$ です． $θ = 90^{\circ}$ なら半分ずつで， $θ = 180^{\circ}$ なら全部が $-$ です．

ここで，3台目として S をもう一度置くと，T の $+$ の出口から来た原子は， $z$ 方向で $+$ にも $-$ にも出ます．T を通したことで，1台目で $+$ と決めたことが「忘れられた」のです．状態は装置を通るたびに選び直されます．

定義基底の状態

ある装置で分けられる状態の組 $| i ⟩$ （スピン1/2の S なら $| + ⟩, | - ⟩$ ）を，その装置の基底という．基底は次の性質を持つ．

互いに重ならない： $⟨ j | i ⟩ = 0$ （ $i \neq j$ ）， $⟨ i | i ⟩ = 1$ ．
漏れがない：どんな状態 $| ψ ⟩$ も，どれかの出口に必ず出る． $\sum_{i} {| ⟨ i | ψ ⟩ |}^{2} = 1$ ．
どんな振幅も基底を経由して書ける： $⟨ χ | ψ ⟩ = \sum_{i} ⟨ χ | i ⟩ ⟨ i | ψ ⟩$ ．

3つ目は，前の題材の「区別できない経路の振幅を足し，続けてたどる経路の振幅を掛ける」規則そのものです．基底の装置を，出口の一方もふさがず，経路の記録も残さずに通すことは，何もしないのと同じだからです．実際に，S の2本のビームを逆向きの磁場でもう一度合わせる装置（修正した S）を作れば，入れる前と同じ状態が出てきます．逆向きの振幅は複素共役 $⟨ ψ | i ⟩ = {⟨ i | ψ ⟩}^{*}$ です．

傾けた装置への振幅

性質3から，どんな状態も S の基底の2つの振幅 $⟨ + | ψ ⟩$ ， $⟨ - | ψ ⟩$ で決まります．T の基底を $| +_{θ} ⟩, | -_{θ} ⟩$ と書くと，T で測る振幅は

⟨ +_{θ} | ψ ⟩ = ⟨ +_{θ} | + ⟩ ⟨ + | ψ ⟩ + ⟨ +_{θ} | - ⟩ ⟨ - | ψ ⟩

のように，4つの振幅 $⟨ \pm_{θ} | \pm ⟩$ が分かれば計算できます．これらを決めるのに，回転についての2つのことを使います．

1つ目は，確率の和が1であること（性質2）です．2つ目は，回転の重ね合わせです． $y$ 軸のまわりに $θ_{1}$ 傾けた装置からさらに $θ_{2}$ 傾けた装置は，最初から $θ_{1} + θ_{2}$ 傾けた装置と同じものです．空間はどの向きも同等なので（第13章の等方性），振幅の変換も，傾けた角度だけで決まり，角を足すと変換を続けて行うことになるはずです．

状態の振幅の組に掛ける変換を， $θ$ の関数として，各振幅の位相を適当に選んで実数にとります．確率の和を保ち， $θ = 0$ で何もせず，角の足し算が変換を続けることになる実数の変換は，ある定数 $k$ を使って

⟨ + | +_{θ} ⟩ = \cos k θ, ⟨ - | +_{θ} ⟩ = \sin k θ, ⟨ + | -_{θ} ⟩ = - \sin k θ, ⟨ - | -_{θ} ⟩ = \cos k θ

の形に限られます（平面の回転の行列と同じ形．数学の節で確かめます）． $| + ⟩$ から T の $+$ に出る確率は $\cos^{2} k θ$ で，実験の $\cos^{2} (θ / 2)$ と比べると $k = 1 / 2$ です．

法則スピン1/2の回転

$y$ 軸のまわりに角 $θ$ 傾けた装置の基底は，S の基底で

| +_{θ} ⟩ = \cos \frac{θ}{2} | + ⟩ + \sin \frac{θ}{2} | - ⟩, | -_{θ} ⟩ = - \sin \frac{θ}{2} | + ⟩ + \cos \frac{θ}{2} | - ⟩

と書ける． $⟨ +_{θ} | + ⟩ = \cos (θ / 2)$ ， $⟨ -_{θ} | + ⟩ = - \sin (θ / 2)$ ， $⟨ +_{θ} | - ⟩ = \sin (θ / 2)$ ， $⟨ -_{θ} | - ⟩ = \cos (θ / 2)$ である．

なぜ $\cos^{2} (θ / 2)$ なのかは，古典的な極限との対応から納得できます．多数の原子で測った $m_{z}$ の平均は， $+ m$ の確率から $- m$ の確率を引いて $m [\cos^{2} (θ / 2) - \sin^{2} (θ / 2)] = m \cos θ$ です．これは， $z$ 方向を向いた古典的な磁石を角 $θ$ 傾いた方向で測った値 $m \cos θ$ と同じで，平均は古典的な結果に一致するのです．

360°回すと符号が変わる

上の式で $θ = 2 π$ とおくと， $| +_{2 π} ⟩ = - | + ⟩$ ， $| -_{2 π} ⟩ = - | - ⟩$ です．装置を1回転させると元の装置に戻るのに，状態は $- 1$ 倍になります．元の $\cos (θ / 2)$ が $4 π$ で1周するためで， $4 π$ 回して初めて完全に元に戻ります．

全体に掛かる $- 1$ は，どの確率にも効きません．どの装置で測っても，振幅は全部 $- 1$ 倍になり，絶対値の2乗は同じだからです． $| ψ ⟩$ と $e^{i α} | ψ ⟩$ （ $α$ は実数）は，どんな測定でも区別できない同じ状態です．全体の位相には意味がありません．

意味があるのは相対位相です．1本のビームを2つの経路に分け，片方の経路のスピンだけを1回転させてから合わせると，回した経路の振幅だけが $- 1$ 倍になり，干渉の明暗が入れ替わります．1975年ごろ，中性子の干渉計の片方の経路に磁場をかけてスピンを回す実験で，この符号の変化が確かめられました．

［図：片方のスピンの回転と干渉計の出口］

初期状態は θ = 0 で，2つの経路の位相がそろい，出口 A の計数が100 %，B が0 %．スライダーで片方の経路のスピンだけを y 軸のまわりに0から4πまで回せる．2πではスピンの矢印が元の向きに戻る一方で振幅が −1 倍となり，出口の明暗が入れ替わる．4πでは振幅と計数が元に戻る．2つの経路を等分し，回転以外の位相差を0とした模式図．出口ではスピンを区別せず数える．

$z$ 軸のまわりの回転と横向きの状態

装置を $z$ 軸のまわりに角 $ϕ$ （ここでは振幅ではなく角）回しても，S は S のままです． $z$ 方向の基底は変わらず，振幅に位相が付くだけです．角の足し算と， $2 π$ 回すと $y$ 軸のまわりと同じく $- 1$ 倍になること（回転軸を少しずつ傾けても $2 π$ の回転の結果は連続にしか変われず， $\pm 1$ のどちらかなので同じ値になる）から，状態を $z$ 軸のまわりに $ϕ$ 回す変換は

| + ⟩ \to e^{- i ϕ / 2} | + ⟩, | - ⟩ \to e^{i ϕ / 2} | - ⟩

です．2つの位相の差 $ϕ$ が，横向きのスピンの向きを決めます．

$θ = π / 2$ の装置の $+$ は $x$ 方向を向いたスピンで， $| +_{x} ⟩ = (| + ⟩ + | - ⟩) / \sqrt{2}$ です．これを $z$ 軸のまわりに $π / 2$ 回すと，全体の位相を除いて

| +_{y} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| + ⟩ + i | - ⟩)

になり，これが $y$ 方向を向いたスピンです． $| +_{x} ⟩$ と $| +_{y} ⟩$ は， $z$ 方向の確率がどちらも半分ずつで，違うのは相対位相だけです．相対位相を実数に限ると横向きの状態が表せないので，振幅は複素数でなければなりません．

混合と重ね合わせ

炉から出たばかりの原子のビームは，どの向きの装置で測っても半分ずつに分かれます．これを無偏極といいます．無偏極のビームは， $| + ⟩$ と $| - ⟩$ の重ね合わせではありません． $(| + ⟩ + | - ⟩) / \sqrt{2}$ は $| +_{x} ⟩$ なので， $x$ 方向の装置で全部が $+$ に出てしまいます．

無偏極のビームは， $| + ⟩$ の原子と $| - ⟩$ の原子を，確率で半分ずつ混ぜたもの（混合）と考えます．混合では，成分ごとに確率を計算してから，混ぜた割合で重みを付けて足します．振幅を足すのは1個の原子の状態の中だけで，別々の原子の振幅は足しません．どの向きの成分で混ぜても，半分ずつの混合は同じ測定結果を与えます．

スピン1の場合（結果だけ）

窒素の原子核のように，1つの方向で測ると3本に分かれる粒子もあります．これをスピン1といい，基底は $| + ⟩, | 0 ⟩, | - ⟩$ の3つです．同じ考え方で， $y$ 軸のまわりに $θ$ 傾けた装置への振幅 $⟨ j_{θ} | i ⟩$ は次の表になります．

	$\| + ⟩$	$\| 0 ⟩$	$\| - ⟩$
$⟨ +_{θ} \|$	$(1 + \cos θ) / 2$	$\sin θ / \sqrt{2}$	$(1 - \cos θ) / 2$
$⟨ 0_{θ} \|$	$- \sin θ / \sqrt{2}$	$\cos θ$	$\sin θ / \sqrt{2}$
$⟨ -_{θ} \|$	$(1 - \cos θ) / 2$	$- \sin θ / \sqrt{2}$	$(1 + \cos θ) / 2$

各列の2乗の和が1になることを確かめてください．スピン1では $θ$ の半分の角が現れず， $2 π$ 回すと符号も含めて元に戻ります．半分の角が現れて $2 π$ で符号が変わるのは，スピン1/2・3/2 のように半整数のスピンの粒子です．それがフェルミ粒子で，第3題材の交換の符号とも結びついています（スピンと統計の関係）．

適用条件

ここではシュテルン・ゲルラッハの装置を理想化しました．2本のビームがはっきり分かれるには，曲がる量がビームの太さよりも十分大きいことが要ります．ビームを細く絞りすぎると，不確定性原理で横向きの運動量が広がり，かえってビームが太ります．また，2本を再び合わせる装置で干渉を見るには，2つの経路の長さや磁場の揺らぎによる位相のずれの幅が，1 rad より十分小さくなければなりません．この条件が破れると，相対位相がそろわず，干渉は消えて確率の足し算になります．

問いに戻る

銀の原子のスピンは，どの方向で測ってもちょうど2つの値しかとりません．「原子の磁石は前からどこかを向いている」のではなく，装置の向きを決めると，その向きの基底 $| + ⟩, | - ⟩$ のどちらかに，振幅の絶対値の2乗の確率で出るのです．だからビームは2本に分かれ，その間には何も届きません．ばらばらな向きに見えるのは， $| + ⟩$ と $| - ⟩$ の混合だからです．別の向きの装置への振幅は，回転の重ね合わせと確率の保存から $\cos (θ / 2)$ ， $\sin (θ / 2)$ と決まり，平均は古典的な $m \cos θ$ に戻ります．

ポイントここまでのまとめ

スピン1/2の粒子は，どの方向で測っても $+, -$ の2つの結果だけをとる．装置ごとの基底 $| + ⟩, | - ⟩$ で，どんな状態も2つの振幅で表せる．
$y$ 軸のまわりに $θ$ 傾けた装置の基底は $| +_{θ} ⟩ = \cos (θ / 2) | + ⟩ + \sin (θ / 2) | - ⟩$ ， $| -_{θ} ⟩ = - \sin (θ / 2) | + ⟩ + \cos (θ / 2) | - ⟩$ ．
$2 π$ 回すと状態は $- 1$ 倍になる．全体の位相は測れないが，干渉計で一方だけ回すと相対位相として現れる．
$z$ 軸のまわりの回転は位相 $e^{\mp i ϕ / 2}$ を付ける． $| +_{x} ⟩ = (| + ⟩ + | - ⟩) / \sqrt{2}$ ， $| +_{y} ⟩ = (| + ⟩ + i | - ⟩) / \sqrt{2}$ ．
無偏極のビームは重ね合わせではなく混合で，成分ごとの確率を割合で重み付けして足す．