確率振幅から組み立てる量子力学（発展）

2×2 行列と回転の変換

著者：柚木芹香

本体の節では，スピン1/2の状態を2つの振幅で表し，装置を傾けたときの振幅の変換を求めました．2つの振幅を縦に並べ，変換を2×2 の行列で書くと，変換を続けて行うことが行列の掛け算になり，確率を保つ条件も短く書けます．ここでその計算に慣れておきます．次の題材（2状態系）でも同じ道具を使います．

定理数学の道具：振幅の列と行列

状態 $| ψ ⟩$ の $z$ 基底での振幅を縦に並べた $ψ = (\begin{matrix} ψ_{+} \\ ψ_{-} \end{matrix})$ （ $ψ_{\pm} = ⟨ \pm | ψ ⟩$ ）を振幅の列という．2×2 の行列は列に次のように作用する．

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix})

2つの行列の積は，右の行列の各列に左の行列を作用させたものである．

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix}) = (\begin{matrix} a p + b r & a q + b s \\ c p + d r & c q + d s \end{matrix})

行列 $B$ を作用させてから $A$ を作用させることは，積 $A B$ を1回作用させることと同じである．一般に $A B \neq B A$ で，掛ける順序を変えてはいけない．

先に行う操作を右に書くのは，列が右にあるからです． $A (B ψ) = (A B) ψ$ は，成分を書き出せば確かめられます．単位行列 $I = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ は何もしない操作で， $A I = I A = A$ です．

状態の回転を行列で書く

本体の節の結果は，状態を回す操作として次のように書けます． $y$ 軸のまわりに $θ$ 回す操作は $| + ⟩$ を $| +_{θ} ⟩$ に， $| - ⟩$ を $| -_{θ} ⟩$ に移すので，行列の第1列が $| +_{θ} ⟩$ の振幅の列，第2列が $| -_{θ} ⟩$ の振幅の列です． $c = \cos (θ / 2)$ ， $s = \sin (θ / 2)$ として

R_{y} (θ) = (\begin{matrix} c & - s \\ s & c \end{matrix}), R_{z} (ϕ) = (\begin{matrix} e^{- i ϕ / 2} & 0 \\ 0 & e^{i ϕ / 2} \end{matrix})

です． $R_{z}$ は $z$ 軸のまわりに $ϕ$ 回す操作です．

回転を続けると角が足されることを確かめます． $R_{y} (θ_{1}) R_{y} (θ_{2})$ の左上の成分は

\cos \frac{θ_{1}}{2} \cos \frac{θ_{2}}{2} - \sin \frac{θ_{1}}{2} \sin \frac{θ_{2}}{2} = \cos \frac{θ_{1} + θ_{2}}{2}

で，ほかの成分も加法定理から同じように出て， $R_{y} (θ_{1}) R_{y} (θ_{2}) = R_{y} (θ_{1} + θ_{2})$ です． $R_{z}$ では $e^{- i ϕ_{1} / 2} e^{- i ϕ_{2} / 2} = e^{- i (ϕ_{1} + ϕ_{2}) / 2}$ から同じことが言えます．逆の操作は逆向きに回すことで， $R_{y} (θ) R_{y} (- θ) = R_{y} (0) = I$ です．

本体の節では，半分の角 $k = 1 / 2$ を実験と比べて決めました．行列の中の角の係数 $k$ を変えても，角が足されることは成り立ちます．確率の保存と角の足し算だけでは $k$ が決まらず，実験（または平均が古典的な $m \cos θ$ に戻ること）で決まるのです． $k = 1 / 2$ のとき $R_{y} (2 π) = - I$ ， $R_{y} (4 π) = I$ です．

確率を保つ変換

複素数の振幅の列 $χ, ψ$ について，2つの状態の振幅は，本体の性質3と $⟨ χ | i ⟩ = {⟨ i | χ ⟩}^{*}$ から

⟨ χ | ψ ⟩ = χ_{+}^{*} ψ_{+} + χ_{-}^{*} ψ_{-}

です．特に $⟨ ψ | ψ ⟩ = {| ψ_{+} |}^{2} + {| ψ_{-} |}^{2}$ は確率の和で，1に規格化します．

定理数学の道具：ユニタリ行列

行列 $U$ の2つの列を $u_{1}, u_{2}$ とする．どんな $ψ$ についても $U ψ$ の確率の和が $ψ$ と同じになるのは，2つの列が規格化されていて互いに直交する

{| u_{1} |}^{2} = {| u_{2} |}^{2} = 1, u_{1}^{*} \cdot u_{2} = 0

ときで，そのときに限る（ $u_{1}^{*} \cdot u_{2}$ は， $u_{1}$ の成分の複素共役と $u_{2}$ の成分の積の和）．このような $U$ をユニタリ行列という． $U$ の逆行列は，各成分の複素共役をとって行と列を入れ替えた行列である．

短い導出： $U ψ = ψ_{+} u_{1} + ψ_{-} u_{2}$ なので，確率の和は

{| ψ_{+} |}^{2} {| u_{1} |}^{2} + {| ψ_{-} |}^{2} {| u_{2} |}^{2} + 2 Re (ψ_{+}^{*} ψ_{-} u_{1}^{*} \cdot u_{2})

です． $ψ = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ ， $(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ を入れると ${| u_{1} |}^{2} = {| u_{2} |}^{2} = 1$ が要り， $ψ_{+}^{*} ψ_{-}$ の位相は自由に選べるので，最後の項がいつも0になるには $u_{1}^{*} \cdot u_{2} = 0$ が要ります．逆に，この条件があれば確率の和は変わりません．逆行列は，列の条件をそのまま行列の積に書き直せば分かります．

基底を取り替える

本体の節の $⟨ \pm_{θ} | ψ ⟩$ を行列で書くと， $⟨ +_{θ} | ψ ⟩ = c ψ_{+} + s ψ_{-}$ ， $⟨ -_{θ} | ψ ⟩ = - s ψ_{+} + c ψ_{-}$ なので

(\begin{matrix} ⟨ +_{θ} | ψ ⟩ \\ ⟨ -_{θ} | ψ ⟩ \end{matrix}) = (\begin{matrix} c & s \\ - s & c \end{matrix}) (\begin{matrix} ψ_{+} \\ ψ_{-} \end{matrix}) = R_{y} (- θ) ψ

です．装置を $θ$ 傾けて測ることは，状態を $- θ$ 回してから元の装置で測ることと同じです．状態を回すか装置を回すかで，角の符号が逆になることに注意してください．

練習1　 $R_{y} (π)$ を $| + ⟩$ と $| - ⟩$ に作用させよ．また $R_{y} (2 π)$ を求めよ．

練習2　 $| +_{x} ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) / \sqrt{2}$ と $| +_{y} ⟩ = (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) / \sqrt{2}$ の間の振幅 $⟨ +_{x} | +_{y} ⟩$ と，その確率を求めよ．

答え　練習1： $c = 0$ ， $s = 1$ なので $R_{y} (π) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ ． $| + ⟩ \to | - ⟩$ ， $| - ⟩ \to - | + ⟩$ ． $R_{y} (2 π) = R_{y} (π) R_{y} (π) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) = - I$ ．練習2： $⟨ +_{x} | +_{y} ⟩ = (1 \cdot 1 + 1 \cdot i) / 2 = (1 + i) / 2$ ．確率は ${| 1 + i |}^{2} / 4 = 1 / 2$ ． $x$ と $y$ は直角なので，傾けた装置の $\cos^{2} (π / 4) = 1 / 2$ と一致する．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

$| + ⟩$ のビームを， $+$ の出口だけを通すフィルターを $N$ 台並べた装置に入れる． $k$ 台目のフィルターは $y$ 軸のまわりに $k π / N$ 傾けてある（ $k = 1, 2, \dots, N$ ）．

最後まで通る確率 $P_{N}$ を求め， $N = 1, 2, 10$ の値を示せ．
$N$ が大きいとき $P_{N}$ はどうなるか．最後に出てくる状態は何か．

**［図：少しずつ向きを変えた N 台のフィルター］**
左から |+⟩ のビームが入り，1台目，2台目，途中を省略して N−1 台目，N 台目のフィルターを順に通る．k 台目の向きは y 軸のまわりに kπ/N だけ傾けてある．各台の − の出口を赤い遮断印でふさぎ，+ の出口を次の台へつなぐ．測定方向を上の矢印で模式的に示し，最後の台を入射状態の測定方向と逆向きにする．出口名は各台の基底に対する +，−．

解答を見る

考え方 $k$ 台目を通った状態は $| +_{k π / N} ⟩$ である．隣り合う2台の向きの差はいつも $π / N$ なので，次の台を通る振幅は，向きの差だけで決まる $\cos (π / (2 N))$ である．

1台目までの振幅も $⟨ +_{π / N} | + ⟩ = \cos (π / (2 N))$ ．各台は独立に選別するので，確率は掛け算になり

P_{N} = \cos^{2 N} \frac{π}{2 N}

$N = 1$ では $\cos^{2} (π / 2) = 0$ ． $N = 2$ では ${(\cos^{2} (π / 4))}^{2} = 1 / 4$ ． $N = 10$ では $\cos 9^{\circ} = 0.98769$ より $P_{10} = {0.98769}^{20} \approx 0.78$ ．

$x = π / (2 N)$ が1より十分小さいとき $\cos x \approx 1 - x^{2} / 2$ で， $\ln P_{N} \approx 2 N (- x^{2} / 2) = - π^{2} / (4 N)$ ．よって $P_{N} \approx e^{- π^{2} / (4 N)} \approx 1 - π^{2} / (4 N)$ で， $N \to \infty$ で1に近づく．最後の台は $θ = π$ なので，出てくる状態は $| +_{π} ⟩ = | - ⟩$ である．

確かめ： $N = 10$ の近似 $e^{- π^{2} / 40} \approx 0.78$ は厳密な値と合う．1台で直接 $| - ⟩$ を選ぶと何も通らないのに，少しずつ向きを変えると，ほとんど失わずに $| + ⟩$ を $| - ⟩$ に変えられる．

例題 2

オリジナル ★★★☆☆

$x y$ 平面の中で $x$ 軸から角 $ϕ$ の向きを向いたスピンの状態 $| +_{ϕ} ⟩$ を， $| +_{x} ⟩$ を $z$ 軸のまわりに $ϕ$ 回した状態とする．

全体の位相を除いて $| +_{ϕ} ⟩ = (| + ⟩ + e^{i ϕ} | - ⟩) / \sqrt{2}$ となることを示せ．
$| +_{ϕ} ⟩$ を $x$ 方向の装置で測って $+$ に出る確率を求め，本体の節の $\cos^{2} (θ / 2)$ と比べよ．
$| +_{ϕ} ⟩$ と直交する状態を求め，それが向き $ϕ + π$ のスピンであることを確かめよ．

［図：横向きのスピンと複素平面の点］

初期状態は φ = π/3．左の xy 平面に状態 |+φ⟩ の向きを青い矢印で，右の複素平面に振幅の比 ψ−/ψ+ を緑の点で示す．φ のスライダーを動かすと，矢印と点が正の x 軸，正の実軸から同じ角だけ反時計回りに回る．点は単位円上にあり，原点からの向きがスピンの矢印と対応する．

解答を見る

考え方 $R_{z} (ϕ)$ を振幅の列に掛け，全体の位相をくくり出す．確率は内積の絶対値の2乗である．

R_{z} (ϕ) \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} e^{- i ϕ / 2} \\ e^{i ϕ / 2} \end{matrix}) = e^{- i ϕ / 2} \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 \\ e^{i ϕ} \end{matrix})

全体の位相 $e^{- i ϕ / 2}$ を除けば示す式になる． $ϕ = π / 2$ で $| +_{y} ⟩$ になる．

$⟨ +_{x} | +_{ϕ} ⟩ = (1 + e^{i ϕ}) / 2 = e^{i ϕ / 2} \cos (ϕ / 2)$ ．確率は $\cos^{2} (ϕ / 2)$ である．2つのスピンの向きのなす角は $ϕ$ なので， $y$ 軸のまわりに傾けた場合の $\cos^{2} (θ / 2)$ と同じ形になる．どの軸のまわりに傾けても，確率は向きのなす角だけで決まる．
$χ = (\begin{matrix} 1 \\ - e^{i ϕ} \end{matrix}) / \sqrt{2}$ とすると $⟨ χ | +_{ϕ} ⟩ = (1 - e^{- i ϕ} e^{i ϕ}) / 2 = 0$ ． $- e^{i ϕ} = e^{i (ϕ + π)}$ なので $χ = | +_{ϕ + π} ⟩$ で，逆向きのスピンである．

確かめ：(2) で $ϕ = π$ とすれば確率は0で，(3) で $ϕ = 0$ とした $| -_{x} ⟩ = (| + ⟩ - | - ⟩) / \sqrt{2}$ と合う．

例題 3

オリジナル ★★☆☆☆

スピン1/2の粒子の状態が $| ψ ⟩ = \frac{3}{5} | + ⟩ + \frac{4 i}{5} | - ⟩$ である．

$z$ ， $x$ ， $y$ の各方向の装置で測ったとき， $+$ に出る確率をそれぞれ求めよ．
各方向で $+$ の確率から $-$ の確率を引いた値を $n_{z}, n_{x}, n_{y}$ とする． $n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2}$ を計算し，この状態が何を意味するか述べよ．

解答を見る

考え方 $x$ ， $y$ 方向の基底を $z$ 基底で書き，内積で振幅を求める．

$z$ ： ${| 3 / 5 |}^{2} = 9 / 25$ ． $x$ ： $⟨ +_{x} | ψ ⟩ = (3 / 5 + 4 i / 5) / \sqrt{2}$ で，確率は $(9 + 16) / 50 = 1 / 2$ ． $y$ ： $| +_{y} ⟩$ の振幅の複素共役は $(\begin{matrix} 1 & - i \end{matrix}) / \sqrt{2}$ なので $⟨ +_{y} | ψ ⟩ = (3 / 5 + (- i) (4 i / 5)) / \sqrt{2} = 7 / (5 \sqrt{2})$ ．確率は $49 / 50$ ．
$n_{z} = 9 / 25 - 16 / 25 = - 7 / 25$ ， $n_{x} = 0$ ， $n_{y} = 49 / 50 - 1 / 50 = 24 / 25$ ．

n_{x}^{2} + n_{y}^{2} + n_{z}^{2} = \frac{576 + 49}{625} = 1

$(n_{x}, n_{y}, n_{z})$ は単位ベクトルで，この状態は $y z$ 平面の中の，この向きを向いたスピンの $| + ⟩$ である．その向きで測れば必ず $+$ に出る．

確かめ： $y$ 軸から $- z$ 側へ傾いた向きなので， $+_{y}$ の確率は1に近く， $+_{z}$ の確率は1/2より小さい．どんなスピン1/2の状態も，ある向きの $| + ⟩$ になっている．

ポイントここまでのまとめ

状態は振幅の列で，変換は2×2 の行列で表す．先に行う操作を右に書き，順序を入れ替えない．
$R_{y} (θ) = (\begin{matrix} \cos \frac{θ}{2} & - \sin \frac{θ}{2} \\ \sin \frac{θ}{2} & \cos \frac{θ}{2} \end{matrix})$ ， $R_{z} (ϕ) = (\begin{matrix} e^{- i ϕ / 2} & 0 \\ 0 & e^{i ϕ / 2} \end{matrix})$ ．回転を続けると角が足され， $2 π$ 回すと $- I$ になる．
確率を保つ変換はユニタリ行列で，列が規格化されて互いに直交する．
装置を $θ$ 傾けて測ることは，状態を $- θ$ 回して元の装置で測ることと同じ．
どんなスピン1/2の状態も，ある向きを向いたスピンの $| + ⟩$ である．