電磁誘導と交流

自己誘導と電気振動の演習

著者：柚木芹香

電流と磁束の正方向を決め，切り替えを初期条件でつないでください．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

空心ソレノイドの半径，断面積，長さ，巻数を $a, S, l, N$ ，電流を $I$ とします． $a / l$ は十分小さく，内部の磁場を $B = μ_{0} N I / l$ ，外部の磁場を0と近似します．

自己インダクタンス $L$ を鎖交磁束 $N Φ = L I$ から求めよ．
エネルギー密度 $B^{2} / (2 μ_{0})$ を体積にわたって積分し，コイルのエネルギーを求めよ．

**［図：空心ソレノイドの寸法と電流］**
ソレノイドの半径，長さ，巻数，電流方向を示す．

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考え方 1巻の磁束と全巻の鎖交磁束を区別する．

$Φ = B S = μ_{0} N I S / l$ より， $L I = μ_{0} N^{2} S I / l$ ，したがって $L = μ_{0} N^{2} S / l$ である．
内部で密度は一定だから

U = \int \frac{B^{2}}{2 μ_{0}} d V = \frac{B^{2} S l}{2 μ_{0}} = \frac{μ_{0} N^{2} S}{2 l} I^{2} = \frac{1}{2} L I^{2}

端の効果を無視する近似は， $a / l$ が十分小さい場合に使える．

演習 2

オリジナル ★☆☆☆☆

自己インダクタンス $L = 0.12 H$ ，内部抵抗 $r = 3.0 Ω$ のコイルを， $E = 6.0 V$ の理想電源で定常状態にします．時刻0に電源を外し，コイルと $R = 9.0 Ω$ の抵抗だけからなる閉回路へ切り替えます．電流の経路は切り替え中も確保します．

切り替え後の電流 $I (t)$ と時定数を求めよ．
内部抵抗と外部抵抗で発生する全熱量をそれぞれ求めよ．

**［図：電源から抵抗閉回路への切り替え］**
電源とコイルの接続，切り替え後の閉回路，電流の正方向を示す．

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考え方 電流の連続性を使い，切り替え後の熱を積分する．

$I (0) = E / r = 2.0 A$ ．回路の式は $L \frac{d I}{d t} + (r + R) I = 0$ ．積分して $\ln (I / I (0)) = - (r + R) t / L$ より， $I (t) = I (0) e^{- t / τ}$ ， $τ = L / (r + R) = 0.010 s$ である．
初期エネルギーは $U_{0} = L I (0)^{2} / 2 = 0.24 J$ ．例えば

Q_{r} = \int_{0}^{\infty} r I (0)^{2} e^{- 2 t / τ} d t = \frac{r I (0)^{2} τ}{2} = \frac{r}{r + R} U_{0} = 0.060 J

同様に $Q_{R} = 0.18 J$ ．和は初期エネルギー $U_{0}$ に一致する．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

理想コイル $L = 8.0 mH$ とコンデンサー $C = 20 μ F$ の閉回路を考えます．時刻0でコンデンサーの電荷は0，コイルの電流は $I_{*} = 0.30 A$ です．抵抗と電源はなく，電流が流れ込む極板の電荷を $q$ として $I = \frac{d q}{d t}$ とします．

$e^{s t}$ を使って $q (t), I (t)$ を求めよ．
最大電圧と，初めて両エネルギーが等しくなる時刻を求めよ．

**［図：初期電流をもつLC閉回路］**
LC閉回路に初期電流と電荷qの極板を示す．

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考え方 初期電流から電荷の時間微分を決める．

$L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + q / C = 0$ に $q \propto e^{s t}$ を代入すると $L s^{2} + 1 / C = 0$ ．根は $s = \pm i ω_{0}$ ， $ω_{0} = 1 / \sqrt{L C}$ ．実部を重ねた $q = A \cos ω_{0} t + D \sin ω_{0} t$ に初期条件を入れ， $A = 0, D = I_{*} / ω_{0}$ を得る．よって $q = (I_{*} / ω_{0}) \sin ω_{0} t$ ， $I = I_{*} \cos ω_{0} t$ である．
$V = q / C$ より $V_{max} = I_{*} \sqrt{L / C} = 6.0 V$ ． $U_{C} = L I_{*}^{2} \sin^{2} ω_{0} t / 2$ ， $U_{L} = L I_{*}^{2} \cos^{2} ω_{0} t / 2$ なので，初めて等しくなるのは $t = π \sqrt{L C} / 4 = 0.31 ms$ ．電圧最大時には電流が0である．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

$C = 10.0 μ F$ のコンデンサーを含む直列LRC閉回路で，電源を外した後の同じ向きの電流の山を測りました． $L, R$ は一定で，測定器の影響を無視します．

$t_{n}$ （ $ms$ ）	$I_{n}$ （ $mA$ ）
1.00	50.0
3.00	40.0
5.00	32.0

$q \propto e^{s t}$ から減衰率 $γ$ と角振動数 $ω^{'}$ の関係式を導き，表から $L, R$ を決めよ．
最初の山の高さの半分以下になるのは，その何周期後の山からか．

**［図：LRC閉回路と測定された電流の山］**
LRC閉回路と測定器，表の観測点を示す．

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考え方 同位相の山の比は指数因子だけで決まる．

回路の式 $L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + R \frac{d q}{d t} + q / C = 0$ の特性方程式は $L s^{2} + R s + 1 / C = 0$ ．根を $- γ \pm i ω^{'}$ と書くと， $γ = R / (2 L)$ ， $ω^{' 2} = 1 / (L C) - γ^{2}$ ．電流も同じ率で減衰するので

γ = - \frac{\ln 0.800}{2.00 \times 10^{- 3} s} = 112 s^{- 1}, ω^{'} = \frac{2 π}{2.00 \times 10^{- 3} s}

したがって $L = 1 / [C (ω^{' 2} + γ^{2})] = 10.1 mH$ ， $R = 2 γ L = 2.26 Ω$ ．3点目も高さの比0.800を満たす．

${0.800}^{n} \leq 1 / 2$ より $n \geq \ln (1 / 2) / \ln 0.800 = 3.11$ ．答えは4周期後である． $γ / ω^{'} = 0.0355$ が小さい弱減衰であるが，計算は近似していない．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

長さ $l$ ，巻数 $N$ が等しい空心ソレノイドを同軸に重ねます．断面積は内側が $S$ ，外側が $4 S$ で，端の効果を無視します．各電流の正方向は内部に同じ向きの磁場を作る方向です．内側を1，外側を2とします．

$L_{1}, L_{2}, M$ と結合の割合 $k = M / \sqrt{L_{1} L_{2}}$ を求めよ．
直列で磁場を強め合う場合と弱め合う場合の合成インダクタンスを求め，エネルギーの非負性を確かめよ．

**［図：同軸コイルと二通りの直列接続］**
断面積Sと4Sの同軸コイルと電流方向，直列の2通りの端子接続を示す．内側のコイル1を青の太線で区別し，Sと4Sの矢印で断面の対応を示す．

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考え方 共通に鎖交する断面は $S$ である．

$L_{1} = μ_{0} N^{2} S / l$ ， $L_{2} = 4 L_{1}$ ．外側の電流が内側に与える鎖交磁束は $N (μ_{0} N I_{2} / l) S = M I_{2}$ だから $M = L_{1}$ ．内側の磁場がある断面は $S$ だけなので同じ値になる． $k = 1 / 2$ である．
強め合う接続では $I_{1} = I_{2} = I$ ，弱め合う接続では $I_{1} = I, I_{2} = - I$ ．

U = \frac{1}{2} L_{1} I_{1}^{2} + M I_{1} I_{2} + \frac{1}{2} L_{2} I_{2}^{2} = \frac{1}{2} L_{eq} I^{2}

に代入すると $L_{eq} = L_{1} + L_{2} \pm 2 M$ ，順に $7 L_{1}, 3 L_{1}$ ．任意の電流でも $U = L_{1} {(I_{1} + I_{2})}^{2} / 2 + 3 L_{1} I_{2}^{2} / 2 \geq 0$ である．端を無視するには外側半径と $l$ の比が十分小さいことが必要である．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

面積 $S$ ，一定の自己インダクタンス $L$ をもつ細い超伝導リングを，一様な外部磁場 $B$ の中でゆっくり回します．抵抗0の閉回路として扱い，初めは電流0で正の法線は磁場と同方向です．法線と磁場の角を $θ$ とし，正の電流の磁気モーメントは正の法線を向くものとします．

外部磁束と自己磁束の和が保存されることを示し， $I (θ)$ を求めよ．
$0$ から $π / 2$ まで回す外力の仕事を求めよ．リングの運動エネルギーの変化は無視します．

**［図：一様磁場中で回す超伝導リング］**
一様磁場中のリング，法線，θ，Sと電流の正方向を示す．

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考え方 外部磁束と自己磁束の和を保存する．

回路の式は $0 = - \frac{d}{d t} (L I + B S \cos θ)$ ．初期値から $L I + B S \cos θ = B S$ ，よって $I = B S (1 - \cos θ) / L$ ．
磁気モーメントの大きさは $I S$ ．磁気トルクは角を戻す方向に $- I S B \sin θ$ なので，外力の仕事は

W = \int_{0}^{π / 2} \frac{B^{2} S^{2}}{L} (1 - \cos θ) \sin θ d θ = \frac{B^{2} S^{2}}{2 L}

終状態の $L I^{2} / 2$ に等しい．電流は一定でなく，エネルギーは機械的な仕事から来る．

ポイント教える人へ

素子ごとに電流と電圧の連続性を問う．
LC振動の初期エネルギーの所在を問う．
山の高さを片対数で直線化し，周期とは別の情報を読む．
相互誘導の符号と保存する磁束を図で点検する．