電磁誘導と交流

誘導電場とファラデーの法則

著者：柚木芹香

問い

IH調理器に鍋をのせてスイッチを入れると，鍋の底が熱くなります．天板の下のコイルは鍋に触れておらず，鍋も動いていません．天板のガラスが熱くなるのは，鍋から熱が伝わるからです．止まった鍋の中で電荷を押し，電流を流しているのは何でしょうか．

考えてみる

前の題材では，磁場の中を動く導体の電荷が磁気力で押されました．しかし鍋は止まっているので，電荷に磁気力 $q v \times B$ は働きません．止まった電荷に力を及ぼせるのは電場 $E$ だけです．そこで，コイルの電流が変わって磁場が変わると，そのまわりに電場ができると考えるほかありません．

ところが，これまでの電場ではうまくいきません．電荷が作る静電場は，閉じた道に沿って一周した線積分が0です（第20章．第21章のキルヒホッフの第2法則の根拠でもありました）．これでは，電荷を一周させて正味の仕事をすることができず，閉じた導体の中に電流を流し続けることができません．鍋の底をぐるりと回る電流を流すには，一周の線積分が0でない，新しい種類の電場が必要です．

変化する磁場が作る電場

ファラデーの実験が示す法則を，電場の言葉で書きます．

法則ファラデーの電磁誘導の法則

空間に固定した閉じた道に沿って一周した電場の線積分は，その道を縁とする面を貫く磁束の減る速さに等しい．

\int_{一周} E \cdot d l = - \frac{d Φ}{d t}

回る向きと面の法線は右ねじの関係にとる．この法則は，道に沿って導線が無くても成り立つ．

磁場の変化が作るこの電場を誘導電場といいます．止まった回路では，左辺は回路の起電力そのものです．前の題材の運動起電力と合わせると，回路が動いても，磁場が変わっても，その両方でも，起電力は $E = - d Φ / d t$ で決まります．これを磁束の法則と呼びます．ただし，回路が動く部分の起電力は $v \times B$ から，磁場が変わる部分は誘導電場から来ていて，2つはまったく別の仕組みです．別々の仕組みがたまたま1つの簡単な式にまとまるのは物理では珍しく，ファインマンも講義でこの点を強調しています．

対称な例で誘導電場を求めます．半径 $a$ の長いソレノイドの中に軸に平行な一様な磁場 $B$ があり，外の磁場は0とします． $B$ が $d B / d t$ で変わるとき，軸のまわりの対称性から，電場は軸を中心とする円に沿った向きで，大きさ $E$ は軸からの距離 $r$ だけで決まります．半径 $r$ の円に法則を使うと， $2 π r E$ が円を貫く磁束の変化の速さに等しいので

E = \frac{r}{2} | \frac{d B}{d t} | (r < a), E = \frac{a^{2}}{2 r} | \frac{d B}{d t} | (r \geq a)

です．向きは，その電場が流す電流が磁束の変化を妨げる向き（レンツの法則）です．磁場が0のソレノイドの外にも電場があることに注意してください．

［図：ソレノイド内外の誘導電場］

初期状態は手前向きの磁場が増える場合で，電場Eは時計回り．dB/dtの符号と大きさを変えると内外の電場が反転し，Eの大きさのグラフも変わる．磁場の向きは⊙で固定して示す．

電位が決まらない電場

静電場では，点Aから点Bまで電荷を運ぶ仕事は道によらないので，電位が定義できました．誘導電場では一周の線積分が0でないので，AからBへの線積分は道によって違います．誘導電場があるところでは，電位は定義できません．

一般の電場は，電荷が作る静電場と誘導電場の和です．回路を一周すると，静電場の分は0になり，誘導電場の分だけが残ります．抵抗の中では電流に沿った電場の線積分が $R I$ なので，回路の式は次のように直します．

ポイント誘導があるときの回路の式

回路を正の向きに一周するとき，抵抗での電圧降下の和は，起電力の和に等しい．

\sum_{k} R_{k} I_{k} = \sum_{k} E_{k} - \frac{d Φ}{d t}

$E_{k}$ は電池などの起電力， $- d Φ / d t$ は誘導起電力である．誘導が無ければ，第21章のキルヒホッフの第2法則にもどる．

電圧計は何を読むか

電圧計は，大きな内部抵抗 $r_{m}$ に流れる小さな電流 $i_{m}$ を測り， $r_{m} i_{m}$ を表示する計器です．これは内部抵抗に沿った電場の線積分です．導線の中では電場がほぼ0なので，端子の導線と回路の一部が作る閉じた道に法則を使うと，読みは「端子の導線がたどる道に沿った電場の線積分」になります．道が囲む磁束が変われば，読みも変わります．

例として，抵抗 $R_{1}$ と $R_{2}$ の半円をつないだ円形の回路を考えます．上のつなぎ目をP，下のつなぎ目をQとし，左の半円を $R_{1}$ ，右の半円を $R_{2}$ とします．手前向きの磁場が増え，回路を貫く磁束が $d Φ / d t > 0$ で増えると，回路の式から時計回りに $I = (d Φ / d t) / (R_{1} + R_{2})$ が流れます．電圧計の正端子をP，負端子をQにつなぎ，導線を左の半円にぴったり沿わせると，導線と左の半円が囲む磁束は0なので，読みは左の半円に沿ったPからQへの線積分 $- R_{1} I$ です．導線を右の半円に沿わせると，読みは $+ R_{2} I$ です．2つの読みの差は $(R_{1} + R_{2}) I = d Φ / d t$ で，2本の導線が囲む磁束の変化の速さです． $R_{1} = R_{2}$ でも，読みは符号が逆になります．

**［図：誘導がある回路の2つの電圧測定経路］**
手前向きに増える磁場の中で時計回りの電流Iが流れる．抵抗R₁とR₂をもつ左右の半円に沿って，PとQを結ぶ電圧計の導線を描く．導線の離れは見やすさのために広げている．

誘導があるときの「2点間の電圧」は，道を決めて初めて意味をもちます．交流回路でコイルの両端の電圧というときは，磁束の変わる場所を避け，コイルの外を通る道で測ることにしています．

微分形（発展）

第20章で導入し第22章でも使ったストークスの定理 $\int_{一周} E \cdot d l = \int (\nabla \times E) \cdot n d S$ を左辺に使い，固定した面の磁束の時間微分を $\int \partial B / \partial t \cdot n d S$ と書きます．どんな面についても成り立つので，被積分関数どうしが等しく

\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}

です．静電場では $\nabla \times E = 0$ で，そのため電位が存在しました．磁場が変わる場所では電場に渦があります．第22章の $\nabla \times B = μ_{0} j$ と比べると， $- \partial B / \partial t$ が電流密度の役をしています．直線電流の外でも磁場が $1 / r$ で残るように，ソレノイドの外でも誘導電場が $1 / r$ で残るのはこのためです．この式は第24章でマクスウェル方程式の1つになります．

渦電流と電磁制動

導線でなく金属の板やかたまりの中でも，誘導電場は電流を流します．局所的なオームの法則 $j = κ E$ に従って，金属の中を渦のように回る電流を渦電流といいます．発熱率は電流密度の2乗に比例するので，磁場の変化の速さの2乗と伝導率に比例します．同じ理由で，大きな板ほど電流の回る輪が長く，誘導電場も強くなって，発熱が急に増えます．変圧器の鉄心が薄い板を絶縁して重ねた形をしているのは，渦電流の輪を小さく切って損失を減らすためです．

金属板を磁石のすき間に通すと，板の中の渦電流に運動を妨げる力が働きます（レンツの法則）．これが電磁制動で，電車のブレーキや運動器具に使われています．板が速いほど力は大きく，止まると力は0になるので，すり減る部品がありません．

渦電流は自分でも磁場を作り，もとの磁場の変化を打ち消そうとします．大きさ $b$ の導体の中で磁場が時間 $T$ で変わるとき，誘導電場は $b B / T$ 程度，電流密度は $κ b B / T$ 程度，それが作る磁場は $μ_{0} κ b^{2} B / T$ 程度です．ここまでの扱いは，この比 $μ_{0} κ b^{2} / T$ が1より十分小さく，渦電流の磁場を無視できる場合です．比が1に近づくと，磁場は導体の表面近くしか入れなくなります．

磁束の法則が使えないとき

磁束の法則は，同じ導体の部分をたどって作った回路にだけ使えます．そうでない例を2つ挙げます（ファインマンによる）．

1つ目は単極発電機（ファラデーの円板）です．一様な磁場の中で銅の円板を回し，軸と縁に当てた接点を止まった導線でつなぎます．電流が流れる場所は空間の中でいつも同じなので，その「回路」を貫く磁束は変わりません．それでも，円板と一緒に回る電荷は $v \times B$ で半径の向きに押され，電流が流れます．起電力は，前の題材の例題 3 の回転する棒と同じ計算で，円板の半径を $a$ として $B ω a^{2} / 2$ です．2つ目はその逆です．一様な磁場の中で，縁の少し曲がった2枚の金属板を1点で触れ合わせ，わずかに揺すります．触れる点は大きく動くので，板を通る「回路」の磁束は大きく変わりますが，板はほとんど動かないので $v \times B$ は小さく，起電力はほとんど生じません．

**［図：磁束だけでは起電力を決められない回路］**
左は磁場中で回る円板の軸と縁を固定した検流計で結ぶ．右はわずかに揺すった板の接点がPからP′へ移る模式図である．どちらも回路がたどる導体の部分が接点で入れ替わる．

迷ったときは，基本の2つの法則，電荷に働く力 $F = q (E + v \times B)$ と，固定した道についてのファラデーの法則に戻れば，必ず正しい答えが得られます．

問いに戻る

IH調理器のコイルには高い振動数の交流が流れ，その磁場が速く変わります．磁場の変化は，鍋の底を回る誘導電場を作ります．鍋は止まっているので，電荷を押しているのは磁気力ではなく，この誘導電場です．金属の鍋の底では誘導電場が渦電流を流し，その発熱で鍋が熱くなります．天板のガラスにも同じ電場はありますが，ガラスは絶縁体で $κ$ がほぼ0なので，電流が流れず，熱くなりません．

ポイントここまでのまとめ

磁場が変わると，固定した閉じた道について $\int_{一周} E \cdot d l = - d Φ / d t$ を満たす誘導電場ができる（微分形は $\nabla \times E = - \partial B / \partial t$ ）．
運動起電力と誘導電場はまったく別の仕組みだが，どちらも磁束の法則 $E = - d Φ / d t$ にまとまる．同じ導体をたどれない回路には使えない．
誘導電場は一周の線積分が0でないので電位が決まらない．回路の式は「電圧降下の和＝起電力の和」に直し，電圧計の読みは導線のたどる道で変わる．
金属の中では誘導電場が渦電流を流し，発熱や電磁制動を起こす．IH調理器は止まった鍋の中の誘導電場で渦電流を流している．