電磁誘導と交流

磁束変化と誘導電場の演習

著者：柚木芹香

磁束変化から起電力を求めます．回路自身の磁場を無視し，誘導電場と静電場を比較します．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

半径 $a$ ，抵抗 $R$ の静止円形回路に，紙面手前向きの一様磁場があり， $0 \leq t \leq T$ に $B = B_{0} + β t^{2}$ と変化します． $B_{0}, β > 0$ です．

反時計回りを正として電流を求めよ．
$t = 0$ から $T$ までに導線の断面を通過する符号付き電荷と，その間の発熱量を求めよ．

**［図：変化する磁場中の静止円形回路］**
静止した円形回路，半径a，抵抗Rと磁場の向きを描く．

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考え方 磁束の値ではなく時間変化率が電流を決める．

$Φ = π a^{2} (B_{0} + β t^{2})$ より $E = - \frac{d Φ}{d t} = - 2 π a^{2} β t$ ．したがって $I = - 2 π a^{2} β t / R$ で時計回りに流れる．
$q = \int_{0}^{T} I d t = - π a^{2} β T^{2} / R$ ，発熱は

Q = \int_{0}^{T} I^{2} R d t = \frac{4 π^{2} a^{4} β^{2}}{R} \int_{0}^{T} t^{2} d t = \frac{4 π^{2} a^{4} β^{2} T^{3}}{3 R} .

$B_{0}$ は答えに現れない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

軸対称な磁場が紙面手前を向き，半径 $r \leq a$ での変化率が $\frac{\partial B}{\partial t} = β (1 - α r^{2} / a^{2})$ と表せます． $β > 0$ ， $0 \leq α \leq 1$ は未知です．同心の検出コイルの起電力の大きさを測りました．各コイルは1巻きで電流を無視します．

半径	$a / 2$	$a$
起電力の大きさ	$7.0 mV$	$16 mV$

$a = 0.100 m$ として， $α, β$ を求めよ．一様な変化率で説明できますか．

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考え方 円環の磁束変化を足し，2つの測定を説明する．

半径 $r$ のコイルでは

| E (r) | = \int_{0}^{r} β (1 - α s^{2} / a^{2}) 2 π s d s = π β r^{2} (1 - \frac{α r^{2}}{2 a^{2}}) .

$K = π β a^{2}$ とおけば， $K (1 - α / 2) = 16 mV$ ， $K (1 - α / 8) = 28 mV$ ．差から $3 K α / 8 = 12 mV$ ，つまり $K α = 32 mV$ ．よって $K = 32 mV$ ， $α = 1.0$ ， $β = 0.032 / (π \times {0.100}^{2}) \approx 1.0 T s^{- 1}$ ．一様なら起電力比は4だが，測定比は $16 / 7$ なので説明できない． $α$ は仮定の範囲内である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

半径 $a$ の長いソレノイドの内側だけの磁場が， $B (t) = β t$ と増えます．外側の半径 $r > a$ のなめらかな円形の絶縁ガイド上に，質量 $m$ ，電荷 $q > 0$ の小球を置き，時刻0に静止から放します．軸を上から見ると磁場は手前向きです．小球の場は無視します．

反時計回りの電場成分と，小球の速度成分を求めよ．
時刻 $T$ の運動エネルギーとその供給元を求めよ．

**［図：ソレノイドの外側の円形ガイドと小球］**
ソレノイド半径a，外側のガイド半径r，小球と磁場を描く．

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考え方 円周が囲む磁束変化から電場を求める．

円周上での対称性から $2 π r E_{θ} = - π a^{2} β$ ，よって $E_{θ} = - a^{2} β / (2 r)$ ．接線方向の運動方程式 $m \frac{d v_{θ}}{d t} = q E_{θ}$ を積分すると， $v_{θ} = - q a^{2} β t / (2 m r)$ となり，時計回りである．
$K = q^{2} a^{4} β^{2} T^{2} / (8 m r^{2})$ ．誘導電場はソレノイドの外にも存在し，仕事率 $q E_{θ} v_{θ}$ は正である．ガイドは仕事をしない．磁場を増す装置がエネルギーを与え， $β \to 0$ では加速も消える．

演習 4

オリジナル ★★☆☆☆

内半径 $a$ ，外半径 $b$ ，厚さ $h$ の静止した金属環板に，垂直な一様磁場を加えます．磁場は一定の割合 $β$ で変わり，局所的なオームの法則は $j = κ E$ です． $κ$ は電気伝導率で，温度によらないとします．

半径 $r$ の細い円環を独立した閉回路として扱い，全発熱率を求めよ．
$a = 0.020 m$ ， $b = 0.040 m$ ， $h = 1.0 \times 10^{- 3} m$ ， $κ = 5.0 \times 10^{7} Ω^{- 1} m^{- 1}$ ， $β = 0.20 T s^{- 1}$ で評価せよ．

**［図：金属環板と半径rの細い円環］**
環板のa，b，hと，半径r，幅drの細い円環，磁場を描く．

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考え方 各円環の発熱を半径方向に積分する．

円環の起電力の大きさは $π r^{2} | β |$ ．長さ $2 π r$ ，断面積 $h d r$ より抵抗は $2 π r / (κ h d r)$ ．よって

d P = \frac{π κ h β^{2}}{2} r^{3} d r, P = \frac{π κ h β^{2}}{2} \int_{a}^{b} r^{3} d r = \frac{π κ h β^{2}}{8} (b^{4} - a^{4}) .

中央の穴にも磁場があるので，囲む面積から穴を引いてはいけない．

$b^{4} - a^{4} = 2.4 \times 10^{- 6} m^{4}$ を代入して $P \approx 1.9 \times 10^{- 3} W$ ． $a \to b$ で発熱は0になる．回路自身の磁場を無視する十分条件は，磁場の変化時間を $T_{s}$ として $μ_{0} κ b^{2} / T_{s}$ が1より十分小さいことである．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

半径 $b$ の導体円板を，軸に平行な一様磁場 $B$ 中で角速度 $ω > 0$ で回します． $B$ と回転の向きは右手の関係です．中心軸と外周の摺動接点を，磁場外の静止した抵抗 $R$ で結びます．円板と接点の抵抗は無視し，電子の遠心力は無視します．

外周から抵抗へ流れる電流を求めよ．
等速回転を保つ外力のトルクと仕事率を求めよ．
閉路の磁束が一定でも電流が流れる理由を述べよ．

**［図：磁場中で回る導体円板と静止抵抗］**
円板，摺動接点，抵抗と半径b，磁場，回転の向きを描く．

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考え方 動く電荷への力から起電力を求める．

半径 $r$ の速度は $ω r$ で， $v \times B$ は外向き．中心から外周への起電力は $E = \int_{0}^{b} B ω r d r = B ω b^{2} / 2$ ．外周が高電位となり， $I = B ω b^{2} / (2 R)$ が抵抗へ流れる．
各半径での全電流は $I$ ．幅 $d r$ の部分への接線方向の磁気力は回転を妨げる向きに $I B d r$ である．トルクの大きさは $\int_{0}^{b} I B r d r = I B b^{2} / 2$ ．外力のトルクは回転と同方向に $T = B^{2} ω b^{4} / (4 R)$ ，仕事率は $T ω = I^{2} R$ となる．
円板を通る幾何学的な経路は，同じ導体部分を追う閉路ではない．磁束の時間微分だけでは運動起電力を数えられず，電荷へのローレンツ力を含める必要がある． $ω \to 0$ で電流も外力の仕事率も0となる．

演習 6

オリジナル ★★★☆☆

半径 $a$ の静止した円形導線を，直径の両端A，Dで2つの半円に分けます．左半円の抵抗は $R$ ，右半円は $3 R$ です．面に垂直で手前向きの一様磁場が $\frac{d B}{d t} = β > 0$ で増えます．電圧計の正端子をA，負端子をDにつなぎ，測定経路を左半円のすぐそばにした読みを $V_{L}$ ，右半円のすぐそばにした読みを $V_{R}$ とします．計器の電流と，導線との隙間の磁束は無視します．

時計回りの電流と両方の読みを求めよ．
読みの差を磁束変化で確かめ，電位差が経路による理由を述べよ．Aは円の上端です．

**［図：半円ごとに異なる抵抗と電圧計の測定経路］**
上端A，下端D，半円抵抗，磁場と電圧計の左右の導線経路を描く．

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考え方 回路に沿う導線では抵抗の電圧降下を読む．経路を変えると囲む磁束が変わる．

時計回りの起電力は $π a^{2} β$ ，よって $I = π a^{2} β / (4 R)$ ．左半円では電流はDからAなので $V_{L} = - I R = - π a^{2} β / 4$ ．右半円ではAからDなので $V_{R} = 3 I R = 3 π a^{2} β / 4$ ．
読みは経路に沿うAからDへの電場の線積分である．左をAからDへ，右をDからAへ進む閉路は反時計回りで，その周回積分は

V_{L} - V_{R} = - 4 I R = - π a^{2} β = - \frac{d Φ}{d t} .

非零の周回積分があるため，2点だけで定まる電位差では両方を表せない． $β \to 0$ では読みの差が消え，静電場の場合と一致する．

ポイント教える人へ

法線と周回方向を対応させ，起電力の符号を問う．
磁場の外にも誘導電場があることを円周積分で確かめる．
微小断面の抵抗と発熱の供給元を説明させる．
測定経路と，円板で追う導体部分を図で指定させる．