非慣性系

慣性系と非慣性系

著者：柚木芹香

問い

駅を発車する電車の中で，つり革につかまらずに立っていると，つり革が進行方向とは逆の後ろ向きに傾きます．加速が一定になると，つり革は傾いたまま，電車に対して止まったように見えます．

電車の中の人から見れば，止まっているつり革に働く力はつり合っているはずです．ところが，つり革に働く実際の力は，重力と，糸が引く張力の2つだけです．つり革が斜めに傾いたままでは，この2つはつり合いません．では，つり革を後ろへ傾けているのは，何でしょうか．先を読む前に，自分の考えを一文で書いてみてください．

**［図：発車する電車を二つの系から見る］**
左は地上から見た傾いたつり革と右向き加速度A．右は車内から見た同じつり革で，重力と張力だけでは合力が0にならない．

考えてみる

まず，地上に立つ人の立場で考えます．地面は慣性系とみなせますから（第4章），運動方程式 $m a = F$ をそのまま使えます．つり革は電車と一緒に，進行方向へ加速度 $A$ で加速しています．質量を $m$ とすれば，合力は進行方向を向き，大きさは $m A$ でなければなりません．

重力は鉛直下向きに $m g$ です．糸が後ろへ傾いていると，張力 $T$ は上向きで，しかも前向きの成分をもちます．この水平成分が合力になり，鉛直成分が重力とつり合えば，つり革は電車と一緒に加速できます．糸が鉛直となす角を $θ$ とすると

T \sin θ = m A, T \cos θ = m g

です．辺々を割って $\tan θ = A / g$ を得ます．加速度が大きいほど，つり革は大きく傾きます．

この見方では，つり革を後ろへ引く力は，どこにも必要ありません．つり革は，前へ加速するために，傾いて水平方向の力を作っているのです．

次に，電車の中に立つ人の立場で考えます．この人から見て，つり革は止まっています．つまり加速度は $0$ で，運動方程式 $m a = F$ に従うなら，合力も $0$ でなければなりません．しかし，実際に働く力は重力と張力だけで，その合力は水平前向きに $m A$ だけ残ります．運動方程式が，そのままでは成り立ちません．

加速する電車の中は，第4章で見た，慣性の法則が成り立たない基準系です．

慣性系と非慣性系

定義慣性系と非慣性系

慣性系：慣性の法則（したがって運動方程式 $m a = F$ ）が成り立つ基準系．
非慣性系：慣性系に対して加速または回転している基準系．ここでは，運動方程式がそのままでは成り立たない．

この節では，座標軸の向きを変えずに動く（並進する）基準系だけを扱います．回転する基準系は，あとの遠心力とコリオリ力の節で扱います．慣性系 $S$ （地上）に対して，加速度 $A$ で並進する基準系 $S^{'}$ （電車）を考えます．ある物体の加速度は， $S$ で見れば $a$ ， $S^{'}$ で見れば $a^{'}$ で，第3章のガリレイ変換から

a^{'} = a - A

の関係にありました． $A = 0$ ，つまり $S^{'}$ が等速で動くなら $a^{'} = a$ で， $S^{'}$ も慣性系です． $A \neq 0$ のとき，並進する系は非慣性系です．

**［図：つり革の加速度を比較する］**
つり革の加速度を比較する．図中の記号と条件は「地上 S」「θ」「A」「a＝A」「電車 S'」「a'＝0」である．

つり革では， $a = A$ ， $a^{'} = 0$ です．

見かけの力という考え方

$S$ では $m a = F$ が成り立ちます．これに $a = a^{'} + A$ を代入して整理すると

m a^{'} = F - m A

となります．右辺は，実際に働く力 $F$ に， $- m A$ という項をつけ足した形です．この項を「力」とみなして足せば，非慣性系 $S^{'}$ の中でも， $m a^{'} = (力の和)$ という運動方程式の形が使えます．

定義見かけの力（慣性力）

非慣性系で運動方程式の形を保つために，実際の力につけ足す力．並進する系の加速度が $A$ のとき，質量 $m$ の物体に対する並進による見かけの力は $- m A$ ．回転する系の見かけの力は，あとの節で扱う．

見かけの力には，次の特徴があります．

向きは，系の加速度 $A$ と逆向きである．
大きさは，物体の質量に比例する．
他の物体から受ける力ではない．そのため，作用・反作用の反作用にあたる力が，どこにも存在しない．

つり革の例で，2つの立場を並べて比べてみます．

	地上（慣性系）	電車の中（非慣性系）
つり革の加速度	$A$	$0$
働く力	重力 $m g$ ，張力 $T$	重力 $m g$ ，張力 $T$ ，見かけの力 $- m A$
運動方程式	$m A = m g + T$	$0 = m g + T - m A$

下の行は，どちらも同じ式です．左辺の $m A$ を右辺へ移せば，上と下が一致します．電車の中の人にとって，つり革は，重力と張力と後ろ向きの見かけの力 $m A$ の3つがつり合って静止しているのです．

なぜ，わざわざ非慣性系で考えるのか

地面という慣性系だけで考えれば，見かけの力は要らないはずです．それでも非慣性系を使う理由は，主に3つあります．

私たちが立っている地球が，厳密には非慣性系だから．地球は自転しているため，地面に固定した基準系は加速しています．普通の実験では無視できますが，台風や海流，長い距離を飛ぶ弾道を調べるときは，この効果が現れます．
乗り物の中の観測は，その乗り物を基準にするのが自然だから．電車の中の人にとっての「落ちる」「傾く」「止まっている」は，電車に対する運動です．
解きやすくなることがあるから．系の中で静止している物体は $a^{'} = 0$ なので，つり合いの式だけで済みます．上のつり革は，その例です．

ただし，便利さの代わりに，守るべき約束があります．

ポイント非慣性系で考えるときの約束

最初に，どの基準系で考えるかを決める．
慣性系で考えるなら，実際に働く力だけを数える．見かけの力は入れない．
並進する非慣性系で考えるなら，実際の力に，並進による見かけの力 $- m A$ を加える．
2つの立場を途中で混ぜない．慣性系の加速度を使いながら見かけの力も足すと，同じ効果を二重に数えてしまう．

ポイントここまでのまとめ

問いの答え：つり革を後ろへ傾けている力は，実在しない．電車の中の人から見たときだけ，後ろ向きの見かけの力（慣性力） $- m A$ が重力と張力に加わって，3つの力がつり合う．
地上の人から見れば，つり革は前へ加速するために傾いている．同じ現象が，どちらの立場でも説明できる．
慣性系に対して向きを変えずに加速度 $A$ で動く（並進する）基準系は非慣性系で，運動方程式がそのままでは成り立たない． $a^{'} = a - A$ から， $m a^{'} = F - m A$ となる．
並進による見かけの力 $- m A$ を足すと，並進する非慣性系でも運動方程式の形が使える．向きは $A$ と逆で，大きさは質量に比例し，反作用の相手はない．
非慣性系で考える理由は，地球自体が非慣性系であること，乗り物の中の観測が自然であること，静止した物体がつり合いで解けることの3つである．
どちらの系で考えるかを先に決め，途中で混ぜない．