非慣性系

慣性系と非慣性系の例題

著者：柚木芹香

同じ問題を地上の立場（慣性系）と乗り物の中の立場（非慣性系）の両方で解いて，答えが一致することを確かめます．

ポイント数学の道具：2つの立場で解く手順

向きの正を決める．水平なら進行方向，鉛直なら上向きを正にする．
慣性系で解く場合：物体の加速度 $a$ （地上から見た値）を書き，実際に働く力の和を $m a$ に等しいとおく．
非慣性系で解く場合：物体の加速度 $a^{'}$ （乗り物から見た値）を書き，実際の力に見かけの力 $- m A$ を加えた和を $m a^{'}$ に等しいとおく．
2つの立場の式を比べる．移項すれば同じ式になるはずで，これが検算になる．

練習． 加速度 $A = 2.0 m s^{- 2}$ で水平に加速する電車の天井から，おもりを糸でつるした．糸が鉛直となす角 $θ$ を，慣性系と電車の系の両方で式を立てて求めよ（ $g = 9.8 m s^{- 2}$ ）．

答え：慣性系では $T \sin θ = m A$ ， $T \cos θ = m g$ ．電車の系では $T \sin θ - m A = 0$ ， $T \cos θ - m g = 0$ で，移項すれば同じ式になる． $\tan θ = A / g \approx 0.20$ より $θ \approx 12^{\circ}$ ．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

水平でまっすぐな線路を，電車が一定の加速度 $A = 1.5 m s^{- 2}$ で発車した．天井から軽い糸でつるされた，質量 $0.20 kg$ のつり革が，電車に対して静止して傾いている．重力加速度を $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

地上の人の立場で，糸が鉛直となす角 $θ$ と，糸の張力 $T$ を求めよ．
電車の中の人の立場で，同じ $θ$ と $T$ を求めよ．
発車から $10 s$ 後の電車の速さと，その間に進んだ距離を求めよ．また，この間に $θ$ はどう変わるか．加速が終わって電車が等速になると，つり革はどうなるか．

**［図：加速中のつり革］**
加速中のつり革．図中の記号と条件は「θ」「A」「mg」「T」である．

解答を見る

考え方 (1) は慣性系なので，実際の力だけを数える．(2) は非慣性系なので，後ろ向きの見かけの力 $m A$ を加える．

進行方向を $x$ ，上向きを $y$ の正とする．つり革の加速度は $A$ で，電車と同じ向きの水平成分だけをもつ．運動方程式は

x 方向： T \sin θ = m A, y 方向： T \cos θ - m g = 0

である．数値は $m A = 0.20 \times 1.5 = 0.30 N$ ， $m g = 0.20 \times 9.8 = 1.96 N$ だから，

\tan θ = \frac{m A}{m g} = \frac{A}{g} = \frac{1.5}{9.8} \approx 0.153 \Rightarrow θ \approx {8.7}^{\circ}

T = \sqrt{(m A)^{2} + (m g)^{2}} = \sqrt{{0.30}^{2} + {1.96}^{2}} \approx 1.98 N \approx 2.0 N

である．

電車の中の人から見て，つり革の加速度は $0$ である．働く力は，重力 $m g$ （下向き），張力 $T$ ，見かけの力 $m A$ （後ろ向き）の3つで，それらがつり合う．

x 方向： T \sin θ - m A = 0, y 方向： T \cos θ - m g = 0

である．これは(1)の式を移項しただけの同じ式で， $θ \approx {8.7}^{\circ}$ ， $T \approx 2.0 N$ が得られる．

発車から $10 s$ 後の速さは $v = A t = 1.5 \times 10 = 15 m s^{- 1}$ （時速 $54 km / h$ ）である．進んだ距離は

x = \frac{1}{2} A t^{2} = \frac{1}{2} \times 1.5 \times 10^{2} = 75 m

である． $\tan θ = A / g$ は電車の速さによらず，加速度 $A$ だけで決まるので， $A$ が一定の間は $θ$ も変わらない．加速が終わって $A = 0$ になると $\tan θ = 0$ となり，つり革は鉛直にぶら下がる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $60 kg$ の人が，エレベーターの床に置いた体重計に乗っている．体重計の目盛りは，人が体重計を押す力の大きさ（人が体重計から受ける垂直抗力 $N$ と同じ）に比例するものとし， $N = m g$ のとき，ふだんの値を示す． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

エレベーターが上向きに加速度 $2.0 m s^{- 2}$ で動き出した．体重計が示す力 $N$ を，地上（慣性系）の立場で求めよ．
(1)を，エレベーターの中の人の立場で求め，同じ結果になることを確かめよ．
下向きに加速度 $3.0 m s^{- 2}$ で動いているときの $N$ を求めよ．また，(1)と(3)を，体重計の目盛りを質量に直して比べよ．
ケーブルが切れて，エレベーターが自由落下を始めた．空気抵抗とブレーキの影響はないとして， $N$ を求めよ．

**［図：エレベーターの三つの加速条件］**
エレベーターの三つの加速条件．図中の記号と条件は「上向き加速」「A」「体重計の値は未知」「下向き加速」「自由落下」である．

解答を見る

考え方 人はエレベーターに対して止まっているので，エレベーターの加速度が，そのまま人の加速度になる．上向きを正とする．

地上から見た人の加速度は，エレベーターと同じ $a = 2.0 m s^{- 2}$ （上向き）である．人に働く力は，上向きの $N$ と，下向きの重力 $m g$ だけだから，

m a = N - m g \Rightarrow N = m (g + a) = 60 \times (9.8 + 2.0) = 708 N

である．およそ $7.1 \times 10^{2} N$ で，止まっているときの $60 \times 9.8 = 588 N$ より大きい．

エレベーターの加速度は $A = 2.0 m s^{- 2}$ （上向き）で，エレベーターの中の人の加速度は $a^{'} = 0$ である．力は $N$ （上向き）， $m g$ （下向き），見かけの力 $m A$ （ $A$ と逆の下向き）の3つで，

0 = N - m g - m A \Rightarrow N = m (g + A) = 708 N

となる．(1)と一致する．

下向きの加速度を $A = 3.0 m s^{- 2}$ とする．上向きを正とすれば，加速度は $- A$ で， $m (- A) = N - m g$ から

N = m (g - A) = 60 \times (9.8 - 3.0) = 408 N

である．非慣性系で解けば，見かけの力は上向きに $m A$ で， $0 = N - m g + m A$ から同じ結果が出る．

目盛りを質量に直すと，(1)では $708 / 9.8 \approx 72 kg$ ，(3)では $408 / 9.8 \approx 42 kg$ である．人の質量は変わらないのに，目盛りは上へ加速するときは重く，下へ加速するときは軽くなる．

自由落下では，エレベーターの加速度は下向きに $g$ である．(3)の式で $A = g$ とおけば

N = m (g - g) = 0

である．体重計は，人からまったく押されないので，目盛りは $0$ になる．エレベーターの中の人から見れば，重力 $m g$ と見かけの力 $m g$ （上向き）が打ち消し合っている．中の人は，床に対して浮いているように見える．

ポイントここまでのまとめ

同じ問題を，慣性系（実際の力だけ，加速度は地上から見た値）と非慣性系（見かけの力を足す，加速度は乗り物から見た値）の両方で解くと，移項すれば同じ式になる．これが検算になる．
電車の中で静止したつり革は， $\tan θ = A / g$ で傾く．傾きを決めるのは速さではなく，加速度である．
エレベーターの体重計の目盛りは，上向きに加速すると $m (g + A)$ ，下向きに加速すると $m (g - A)$ になる．質量が変わったのではなく，床が人を押す力が変わったのである．
自由落下（ $A = g$ ）では目盛りが $0$ になる．この「重さが消える」現象は，「並進慣性力」の節で，有効重力という考え方で整理する．