万有引力と天体

第10章のまとめ

著者：柚木芹香

この章では，ケプラーが観測から見いだした3つの法則を出発点に，万有引力の法則を導きました．中心力の運動を調べるために極座標を導入し，位置エネルギーと脱出速度，実効ポテンシャル，軌道の形の導出と楕円軌道の乗り換え，球対称な天体の重力と潮汐へと進みました．ここで法則を一覧にし，各題材の最初の問いに短く答えます．

定義と法則

法則ケプラーの法則と万有引力

ケプラーの法則：(1) 惑星は太陽を一方の焦点とする楕円を描く．(2) 太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に掃く面積（面積速度）は一定．これは中心力による角運動量の保存である．(3) 周期の2乗は長半径の3乗に比例する．
万有引力の法則：質量 $m_{1}$ ， $m_{2}$ の質点が距離 $r$ で引き合う力は $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$ （ $G = 6.67 \times 10^{- 11} N m^{2} {kg}^{- 2}$ ）．複数の質点からの力は，ベクトルとして足し合わせる（重ね合わせ）．地表の重力加速度は $g = \frac{G M}{R^{2}}$ ．

法則極座標での運動

単位ベクトル $e_{r} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $e_{θ} = (- \sin θ, \cos θ)$ は場所で向きが変わり， ${\dot{e}}_{r} = \dot{θ} e_{θ}$ ， ${\dot{e}}_{θ} = - \dot{θ} e_{r}$ ．
速度は $v = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}$ ，加速度は $a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) e_{r} + \frac{1}{r} \frac{d}{d t} (r^{2} \dot{θ}) e_{θ}$ ． $r$ 一定で円運動の式に戻る．
中心力では $r^{2} \dot{θ} = L / m$ が一定（角運動量の保存，面積速度 $\frac{1}{2} r^{2} \dot{θ}$ が一定）．

法則重力のポテンシャルと軌道のエネルギー

無限遠を基準にした位置エネルギーは $U = - \frac{G M m}{r}$ ．万有引力は保存力である．
半径 $r$ の円軌道の速さは $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ ，力学的エネルギーは $E = - \frac{G M m}{2 r}$ （運動エネルギーの符号を変えたもの）．
角運動量が0でないとき， $E < 0$ は束縛された楕円（円を含む）， $E = 0$ は放物線， $E > 0$ は双曲線． $E = 0$ となる地表での速さが脱出速度で， $v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ ．
位置エネルギー $U (r)$ の中心力のもとで角運動量 $L$ をもつ運動の動径方向は，実効ポテンシャル $U_{eff} (r) = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)$ の中の1次元運動として読める． $E = U_{eff}$ が転回点，谷の底が円軌道（ $\frac{d U_{eff}}{d r} = 0$ は円運動の運動方程式と同じ）， $\frac{d^{2} U_{eff}}{d r^{2}} > 0$ なら安定．万有引力では $U_{eff} = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} - \frac{G M m}{r}$ ．

法則楕円軌道

$u = 1 / r$ を $θ$ の関数とみると，運動方程式は $\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{1}{ℓ}$ （ $ℓ = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$ ）となり，軌道の式 $r = \frac{ℓ}{1 + e \cos θ}$ （ $θ$ は近点から）が導ける． $E = \frac{G M m}{2 ℓ} (e^{2} - 1)$ で， $e = 0$ 円， $0 < e < 1$ 楕円， $e = 1$ 放物線， $e > 1$ 双曲線．
長半径 $a$ ，離心率 $e$ のとき，近点 $r_{p} = a (1 - e)$ ，遠点 $r_{a} = a (1 + e)$ ， $ℓ = a (1 - e^{2})$ ．
$E = - \frac{G M m}{2 a}$ ，距離 $r$ での速さは $v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ ．近点と遠点では $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ ．
周期は $T = 2 π \sqrt{\frac{a^{3}}{G M}}$ ．半径 $r_{1}$ の円軌道から半径 $r_{2}$ の円軌道への乗り換え（ホーマン遷移）は，長半径 $\frac{r_{1} + r_{2}}{2}$ の半楕円を通り，高い軌道（ $r_{2} > r_{1}$ ）へ移るときは接点で2回加速し，低い軌道へ移るときは2回減速する．

法則球対称な質量分布

球殻の定理：一様な球殻は，外の質点には中心に集まった質点として働き，内の質点には力を及ぼさない．
一様な球（半径 $R$ ）の内部では，内側の質量だけが中心に集まったものとして働き， $F = \frac{m g}{R} r$ ．中心を通るトンネルでは周期 $2 π \sqrt{R / g}$ の単振動になる．
潮汐力は，天体（質量 $M$ ，距離 $r$ ）の引力の，中心との差である．天体と中心を結ぶ軸上で中心から $d$ （ $r$ より十分小さい）の点では，大きさ $\frac{2 G M m d}{r^{3}}$ で，天体側は天体向き，反対側は逆向きに働く（軸に垂直な方向では，大きさ $\frac{G M m d}{r^{3}}$ で中心向き）．

手順

ポイント天体の運動の問題を解く手順

円軌道なら，万有引力 $=$ 向心力（ $\frac{G M m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$ ）．地表では $G M = g R^{2}$ で $M$ を消せることが多い．
楕円軌道では，近点・遠点の角運動量保存 $r_{p} v_{p} = r_{a} v_{a}$ とエネルギー保存を連立する．長半径 $a$ が分かれば， $E$ ， $T$ が決まる．
軌道の種類や脱出は， $E$ の符号で判断する（ $E = 0$ の境目）．万有引力以外の中心力では，実効ポテンシャルの図で転回点と円軌道を読む．
球対称な天体の内部では，内側の質量だけを中心に置く．外では全質量を中心に置く．
検算は， $g = G M / R^{2}$ ，第一宇宙速度 $7.9 km s^{- 1}$ ，地表すれすれの周期 84 分と比べる．

主な公式

万有引力： $F = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$ ， $U = - \frac{G M m}{r}$
極座標： $v = \dot{r} e_{r} + r \dot{θ} e_{θ}$ ， $a_{r} = \ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}$ ， $a_{θ} = r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}$ ， $L = m r^{2} \dot{θ}$
実効ポテンシャル： $U_{eff} = \frac{L^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)$
円軌道： $v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$ ， $E = - \frac{G M m}{2 r}$
脱出速度： $v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$
軌道の式： $r = \frac{ℓ}{1 + e \cos θ}$ ， $ℓ = \frac{L^{2}}{G M m^{2}}$ ， $E = \frac{G M m}{2 ℓ} (e^{2} - 1)$
楕円軌道： $E = - \frac{G M m}{2 a}$ ， $v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ ， $T = 2 π \sqrt{\frac{a^{3}}{G M}}$
一様な球の内部： $F = \frac{m g}{R} r$ ，潮汐力（軸上， $d$ は $r$ より十分小さい）： $\frac{2 G M m d}{r^{3}}$

各題材の問いへの答え

ケプラーの法則と万有引力：月は地球の引力を受けて，常に地球の方へ落ち続けている．ただし横向きの速さが大きく，落ちた分だけ地球の表面が曲がって遠ざかるので，ぶつからずに回り続ける．月は地球半径の約 60 倍の距離にあり，向心加速度は地表の $g$ の約 $60^{2}$ 分の1である．
極座標で運動を記述する：糸を引いている間，小球は内向きに動くので速度は糸に垂直でなく，糸の力が仕事をする．加速度で見ると，回る向きの成分 $r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}$ が0でも， $e_{θ}$ の向きが回るので回る向きの速さ $r \dot{θ}$ は増える． $r^{2} \dot{θ}$ が一定なので，半径が3分の1なら速さは3倍になる．
重力のポテンシャルとエネルギー：地表から打ち出して無限遠でちょうど止まるには， $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M m}{R}$ ．よって $v = \sqrt{2 G M / R} \approx 11.2 km s^{- 1}$ で，地表すれすれの円軌道の速さの $\sqrt{2}$ 倍である．
軌道：円軌道で速さを少し上げると，その点を近点とする楕円になる．反対側の遠点が高くなり，周期も延びる．速くなるのは近点付近だけで，遠点付近ではむしろ遅い．
球対称な質量分布と潮汐：一様な地球を貫くトンネルでは，重力が中心からの距離に比例するので，約 84 分の単振動になる．地表すれすれの円軌道と周期が等しく，中心を通るとき最も速い．

この章で使った数学

円運動と面積速度，極座標の単位ベクトルの微分（連鎖律と三角関数の微分），保存力とポテンシャル（線積分，広義積分）， $θ$ を変数にした微分と軌道の方程式，楕円の幾何，置換積分，テイラー展開による近似，単振動の微分方程式がありました．