対称性から組み立てる力学（発展）

相互作用と力

著者：柚木芹香

問い

2つの物体が，ばねでつながれたり，引き合ったりして影響し合うとき，ラグランジアンはどう変わるでしょうか．そして，第4章で法則として受け入れた「作用と反作用は等しい」は，なぜ成り立つのでしょうか．

考えてみる

前の題材で，影響し合わない粒子が集まった系のラグランジアンは，粒子ごとの和

L = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} v_{a}^{2}

になりました． $a$ は粒子の番号です．粒子どうしが影響し合うなら，これに何かを足す必要があります．何を足せばよいかは，対称性だけでは決まりません．相互作用の形は自然が決めることで，実験で調べるしかないからです．ただし，足す項にどんな性質があるべきかは，対称性から言えます．

閉じた系のラグランジアン

外からの影響を受けない粒子の集まりを閉じた系といいます．閉じた系の相互作用を，各時刻の粒子の位置だけで決まる関数で表すことにします．

法則閉じた系のラグランジアン

閉じた系のラグランジアンを

L = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} v_{a}^{2} - U (r_{1}, r_{2}, \dots)

とする． $U$ を系の位置エネルギーという．

$U$ が速度を含まないのは，この章で扱う相互作用（ばね，万有引力，電気の力など）がそうなっているからです．磁気の力のように速度による相互作用もありますが，ここでは扱いません． $U$ に負号を付けるのは約束で，次の題材で意味が分かります．

$U$ は各時刻の位置だけで決まっています．1つの粒子を動かすと，その影響は同じ時刻に他の粒子に伝わることになります．時間がどの慣性系でも同じように進むガリレイの世界では，これは矛盾なく成り立ちます．光の速さが有限であることを取り入れると，この点を見直すことになります（この章の後半）．

運動方程式と力

閉じた系のラグランジアンで，粒子 $a$ の $x$ 座標についてオイラー＝ラグランジュ方程式を立てます． $\partial L / \partial {\dot{x}}_{a} = m_{a} {\dot{x}}_{a}$ ， $\partial L / \partial x_{a} = - \partial U / \partial x_{a}$ なので，

m_{a} {\ddot{x}}_{a} = - \frac{\partial U}{\partial x_{a}}

です． $y$ ， $z$ も同じなので，ベクトルでまとめて書きます．

定理運動方程式

閉じた系の各粒子は

m_{a} {\ddot{r}}_{a} = - \frac{\partial U}{\partial r_{a}}

にしたがって動く．右辺を，粒子 $a$ に働く力 $F_{a}$ と呼ぶ．

ここで $\partial U / \partial r_{a}$ は， $U$ を $x_{a}$ ， $y_{a}$ ， $z_{a}$ で偏微分した3つを成分とするベクトル（勾配）です．こうして第4章の運動方程式 $m a = F$ が出てきました．ただし，この章では，力は運動を決める原因として先にあるのではなく，位置エネルギー $U$ から定義される量です．

作用と反作用

閉じた系の外には何もないので，空間が一様なら，系全体をそのまま $ε$ だけ平行移動しても何も変わらないはずです．つまり

U (r_{1} + ε, r_{2} + ε, \dots) = U (r_{1}, r_{2}, \dots)

です．左辺を $ε$ について1次まで書くと，増える分は $ε \cdot \sum_{a} \partial U / \partial r_{a}$ で，これがどんな $ε$ でも0なので

\sum_{a} \frac{\partial U}{\partial r_{a}} = 0, つまり \sum_{a} F_{a} = 0

です．閉じた系の力をすべて足すと0になります．粒子が2つなら $F_{1} = - F_{2}$ で，これが作用反作用の法則です．

**［図：平行移動で変わらない相互作用］**
伸びたばねでつながった2粒子を右へ同じ距離εだけ移す．距離と位置エネルギーUは変わらない．各粒子への力は同じ大きさで互いに向かう．

さらに空間が等方なら，2つの粒子の位置エネルギーは，2粒子を結ぶ向きにもよらず，距離 $r = | r_{1} - r_{2} |$ だけの関数 $U (r)$ になります．このとき力は2粒子を結ぶ直線に沿って働きます（数学の節）．第4章の「2つの力は同じ直線上にある」も，ここから出てきます．

ポイント作用反作用の正体

作用反作用の法則は，閉じた系の位置エネルギーが平行移動で変わらないこと，つまり空間の一様性から出る．

質量の比を測る

前の題材で，意味があるのは質量の比だけでした．2つの粒子だけからなる閉じた系では， $m_{1} {\ddot{r}}_{1} = F_{1}$ ， $m_{2} {\ddot{r}}_{2} = F_{2} = - F_{1}$ なので

m_{1} {\ddot{r}}_{1} = - m_{2} {\ddot{r}}_{2}, \frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{| {\ddot{r}}_{2} |}{| {\ddot{r}}_{1} |}

です．2つを影響し合わせて加速度の大きさを比べれば，質量の比が測れます．問いのスケートで，重い人がゆっくり離れていくのはこのためです．

外から与えられた場の中の粒子

地球のまわりを回る人工衛星のように，系の一部（衛星）が，他の部分（地球）の影響を受けるけれども，他の部分の動きはほとんど変わらないことがあります．地球の動きが時刻の関数 $r_{E} (t)$ として分かっていれば，衛星のラグランジアンは

L = \frac{1}{2} m v^{2} - U (r, r_{E} (t))

と書けます． $U$ は衛星の位置と時刻の関数 $U (r, t)$ になり，これを外から与えられた場の位置エネルギーといいます．地表付近のように $U = m g z$ （ $z$ は鉛直上向きの高さ）とすると， $m \ddot{z} = - m g$ ， $\ddot{x} = \ddot{y} = 0$ となって，放物運動が出てきます．

問いに戻る

影響し合う粒子のラグランジアンは，自由な粒子の和から位置エネルギー $U$ を引いた形にとります．そこから運動方程式が出て，力は $U$ の勾配に負号を付けたものとして定義されます．作用と反作用が等しいのは，閉じた系を丸ごと平行移動しても $U$ が変わらないから，つまり空間が一様だからです．

ポイントここまでのまとめ

閉じた系のラグランジアン： $L = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} v_{a}^{2} - U$ ． $U$ は位置だけの関数で，位置エネルギーという．
オイラー＝ラグランジュ方程式から $m_{a} {\ddot{r}}_{a} = - \partial U / \partial r_{a}$ ．右辺を力 $F_{a}$ と定義する．
空間の一様性から $\sum_{a} F_{a} = 0$ ．2粒子なら作用反作用の法則．等方性から，力は2粒子を結ぶ直線に沿う．
2粒子の加速度の比から質量の比が測れる．
他の部分の動きが決まっているとき，粒子は場の位置エネルギー $U (r, t)$ の中を動く．