対称性から組み立てる力学（発展）

勾配と距離の関数の微分

著者：柚木芹香

位置エネルギーから力を出すには，多変数の関数を位置の成分で偏微分します．距離だけで決まる位置エネルギーなら，力が2粒子を結ぶ直線に沿うことも，この計算で分かります．

定理数学の道具：勾配

位置の関数 $U (r) = U (x, y, z)$ の偏微分を並べたベクトル

\frac{\partial U}{\partial r} = (\frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z})

を， $U$ の勾配という．位置を $δ r$ だけ変えたときの $U$ の変化は，1次の近似で $δ U = \partial U / \partial r \cdot δ r$ である．

勾配は， $U$ が最も急に増える向きを向いています． $δ r$ の大きさを決めたとき， $δ U$ が最大になるのは $δ r$ が勾配と同じ向きのときだからです．力 $F = - \partial U / \partial r$ は， $U$ が最も急に減る向きを向きます．

定理数学の道具：距離の関数の勾配

$r = | r_{1} - r_{2} |$ の関数 $U (r)$ について

\frac{\partial U}{\partial r_{1}} = U^{'} (r) \frac{r_{1} - r_{2}}{r}, \frac{\partial U}{\partial r_{2}} = - U^{'} (r) \frac{r_{1} - r_{2}}{r}

である．

$r^{2} = (x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2} + (z_{1} - z_{2})^{2}$ を $x_{1}$ で偏微分すると $2 r \partial r / \partial x_{1} = 2 (x_{1} - x_{2})$ なので， $\partial r / \partial x_{1} = (x_{1} - x_{2}) / r$ です．合成関数の微分で $\partial U / \partial x_{1} = U^{'} (r) (x_{1} - x_{2}) / r$ となり， $y_{1}$ ， $z_{1}$ も同じです． $r_{2}$ で微分すると符号だけが変わります．2つの力 $- \partial U / \partial r_{1}$ と $- \partial U / \partial r_{2}$ は，大きさが等しく向きが逆で，どちらも $r_{1} - r_{2}$ に平行，つまり2粒子を結ぶ直線に沿っています．

練習1　 $U = \frac{1}{2} k (x^{2} + y^{2} + z^{2})$ の勾配を求め，力の向きを答えよ．

練習2　万有引力の位置エネルギー $U (r) = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r}$ から，粒子1に働く力を求めよ．

答え　練習1： $\partial U / \partial r = k r$ なので $F = - k r$ ．原点を向き，原点からの距離に比例する．練習2： $U^{'} (r) = \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$ なので $F_{1} = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}} \frac{r_{1} - r_{2}}{r}$ ．粒子2のほうを向き，大きさは $G m_{1} m_{2} / r^{2}$ で，第10章の万有引力の法則と同じ．

例題

例題 1

オリジナル ★☆☆☆☆

滑らかな水平面の上で，2台の台車 A，B を押し縮めたばねをはさんで静止させ，同時に手を放した．ばねが伸びている間，A の加速度の大きさは $0.60 m s^{- 2}$ ，B の加速度の大きさは $0.20 m s^{- 2}$ だった．B の質量が $1.2 kg$ のとき，A の質量を求めよ．

**［図：ばねをはさんだ2台の台車］**
水平面の左にA，右にBを置き，間に押し縮めたばねを描く．青い矢印は放した後に動き出す向きだけを示す．加速度や未知の質量は示していない．

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考え方 A と B とばねを1つの閉じた系と見る．ばねの質量を無視すると，A と B に働く力の和は0なので， $m_{A} a_{A} = m_{B} a_{B}$ （大きさ）．

m_{A} = m_{B} \frac{a_{B}}{a_{A}} = 1.2 \times \frac{0.20}{0.60} = 0.40 kg

確かめ：軽い A のほうが大きく加速している．ばねの強さを知らなくても，加速度の比だけで質量の比が決まる．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

$x$ 軸の上に，質量 $m_{1}$ と $m_{2}$ の2つの粒子が，ばね定数 $k$ ，自然の長さ $l$ の軽いばねでつながれている．粒子の位置を $x_{1} < x_{2}$ とし，位置エネルギーを $U = \frac{1}{2} k (x_{2} - x_{1} - l)^{2}$ とする．

2つの粒子の運動方程式を，オイラー＝ラグランジュ方程式から導け．
ばねの伸び $s = x_{2} - x_{1} - l$ が満たす方程式を求め， $m_{1} = 1.0 kg$ ， $m_{2} = 2.0 kg$ ， $k = 6.0 N m^{- 1}$ のときの振動の角振動数を求めよ．

**［図：ばねでつながれた2粒子］**
粒子の位置x₁，x₂を共通の原点から測る．ばねの長さは自然の長さlと伸びsに分けて示す．

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考え方 $U$ を $x_{1}$ ， $x_{2}$ で偏微分して力を出す． $U$ は差 $x_{2} - x_{1}$ だけの関数なので，2つの力の和は0になる．

$\partial U / \partial x_{1} = - k (x_{2} - x_{1} - l)$ ， $\partial U / \partial x_{2} = k (x_{2} - x_{1} - l)$ なので

m_{1} {\ddot{x}}_{1} = k (x_{2} - x_{1} - l), m_{2} {\ddot{x}}_{2} = - k (x_{2} - x_{1} - l)

右辺の和は0で，作用反作用になっている．

$\ddot{s} = {\ddot{x}}_{2} - {\ddot{x}}_{1} = - \frac{k}{m_{2}} s - \frac{k}{m_{1}} s = - k (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}) s$ ． $μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ とおくと $\ddot{s} = - \frac{k}{μ} s$ で，角振動数は $ω = \sqrt{k / μ}$ ．数値では $μ = \frac{2.0}{3.0} kg$ で

ω = \sqrt{\frac{6.0}{2.0 / 3.0}} = 3.0 s^{- 1}

確かめ： $m_{2} \to \infty$ なら $μ \to m_{1}$ で，壁につけたばねの振動 $\sqrt{k / m_{1}}$ に戻る． $μ$ は第5章の換算質量である．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

地球（質量 $M$ ，半径 $R$ ）の中心を原点とし，地表からの高さ $z$ の所にある質量 $m$ の物体の位置エネルギーを $U = - \frac{G M m}{R + z}$ とする．

$z$ が $R$ よりずっと小さいとして $U$ を $z$ の2次まで展開し，1次までで $U \approx 定数 + m g z$ となることを示せ． $g$ を $G, M, R$ で表せ．
2次の項まで入れると，鉛直方向の力は地表の値から何割変わるか． $z = 10 km$ ， $R = 6.4 \times 10^{3} km$ として答えよ．

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考え方 $\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - \dots$ を $x = z / R$ で使う．力は $- d U / d z$ ．

U = - \frac{G M m}{R} \frac{1}{1 + z / R} \approx - \frac{G M m}{R} + \frac{G M m}{R^{2}} z - \frac{G M m}{R^{3}} z^{2}

1次までで $U \approx - \frac{G M m}{R} + m g z$ ， $g = \frac{G M}{R^{2}}$ ．定数はラグランジアンに足しても運動を変えないので，地表付近では $U = m g z$ としてよい．

2次まで入れた $U$ から

F_{z} = - \frac{d U}{d z} = - m g + \frac{2 G M m}{R^{3}} z = - m g (1 - \frac{2 z}{R})

$\frac{2 z}{R} = \frac{2 \times 10}{6.4 \times 10^{3}} \approx 3.1 \times 10^{- 3}$ なので，力は地表より約 0.31 % 弱い．

確かめ：高い所ほど引力が弱いという向きに合う． $z = 0$ では $- m g$ に戻る．

ポイントここまでのまとめ

勾配 $\partial U / \partial r$ は $U$ が最も急に増える向きを向く．力 $- \partial U / \partial r$ はその逆向き．
距離 $r$ だけの関数 $U (r)$ なら，2粒子に働く力は大きさが等しく逆向きで，2粒子を結ぶ直線に沿う．
2粒子が影響し合うときの加速度の比が，質量の逆比になる．
ばねでつながれた2粒子の伸びは，換算質量 $μ$ で $ω = \sqrt{k / μ}$ の振動をする．
地表付近の $U = m g z$ は，万有引力の位置エネルギーを高さで展開した1次の近似．