対称性から組み立てる力学（発展）

相互作用と力の演習

著者：柚木芹香

$U$ から力を定義し，その対称性から作用反作用を確かめましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

平面内の質量 $0.50 kg$ の粒子に，外から位置エネルギー $U = A x y$ ， $A = 4.0 J m^{- 2}$ を与えます．

$L$ を書き，運動方程式を導いてください．
$(x, y) = (0.20, - 0.30) m$ での力と加速度を成分で求め，原点を向くか答えてください．

**［図：場の中の粒子の位置］**
x が正，y が負の位置に粒子 P を示す．力や加速度の向きは描かない．

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考え方 $U$ の勾配に負号を付けて力を決める．

$L = m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) / 2 - A x y$ ．偏微分して $m \ddot{x} = - A y$ ， $m \ddot{y} = - A x$ ．よって力は $(- A y, - A x)$ である．
力は $(1.2, - 0.80) N$ ，加速度は $(2.4, - 1.6) m s^{- 2}$ ．原点へ向く変位と逆の符号なので，原点を向かない．

確かめ：右下へ動けば $U$ は減り，力の向きと合う．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

2粒子の距離を $r = | r_{1} - r_{2} | > 0$ ，位置エネルギーを $U = C / r^{2}$ （ $C > 0$ ）とするモデルを考えます．

力をベクトルで求め，引力か斥力か答えてください．
$C = 0.18 J m^{2}$ ， $r = 0.60 m$ での力の大きさを求めてください．粒子1，2の質量が順に $0.50 kg$ ， $1.5 kg$ なら，加速度の大きさの比を求めてください．

**［図：距離だけで決まる相互作用］**
原点から各粒子への位置ベクトル r₁，r₂ と粒子間の距離 r を示す．力の向きは入れない．

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考え方 距離の関数の勾配を使う．

$U^{'} (r) = - 2 C / r^{3}$ より

F_{1} = \frac{2 C}{r^{4}} (r_{1} - r_{2}), F_{2} = - F_{1}

である．力は粒子間の直線に沿い，相手から離れる向きなので斥力となる．

大きさは $2 C / r^{3} = 0.36 / {0.60}^{3} \approx 1.7 N$ ． $a_{1} = F / m_{1}$ ， $a_{2} = F / m_{2}$ より $a_{1} : a_{2} = m_{2} : m_{1} = 3 : 1$ ．

確かめ：距離を増やすと $U$ は減る．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

質量 $m$ の粒子に，位置エネルギー $U = k (x - u t)^{2} / 2$ （ $k, u > 0$ ）を外から与えます．初期条件は $x (0) = \dot{x} (0) = 0$ です．

$L$ から方程式を立て， $ξ = x - u t$ を使って $x (t)$ を求めてください．
$m = 0.50 kg$ ， $k = 2.0 J m^{- 2}$ ， $u = 0.40 m s^{- 1}$ のとき， $t = π / 4 s$ の位置と速度を求めてください．

**［図：一定の速さで移動する最小点］**
破線は位置エネルギーが最小になる位置 x=ut で，右へ速さ u で移動する．粒子 P は別の位置に示し，その後の運動は描かない．

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考え方 最小点からのずれで単振動の式にする．

$L = m {\dot{x}}^{2} / 2 - k (x - u t)^{2} / 2$ より $m \ddot{x} = - k (x - u t)$ ． $Ω = \sqrt{k / m}$ とおけば $\ddot{ξ} = - Ω^{2} ξ$ ．初期条件は $ξ (0) = 0$ ， $\dot{ξ} (0) = - u$ なので

ξ = - \frac{u}{Ω} \sin Ω t, x = u t - \frac{u}{Ω} \sin Ω t, \dot{x} = u (1 - \cos Ω t)

$Ω = 2.0 s^{- 1}$ ， $Ω t = π / 2$ より， $x = 0.40 π / 4 - 0.20 \approx 0.11 m$ ， $\dot{x} = 0.40 m s^{- 1}$ ．

確かめ：初めは最小点にいるので力は0で，解も $\ddot{x} (0) = 0$ ．最小点が動くので静止は続かず，粒子だけでは閉じた系でない．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

特別な向きを許す仮想的な平面モデルで，

U = \frac{k}{2} [(x_{1} - x_{2})^{2} + 4 (y_{1} - y_{2})^{2}] (k > 0)

とします．

力とその和を求め，全体の平行移動で $U$ が不変になることを示してください．
相対位置 $(a, 2 a)$ （ $a > 0$ ）で力は粒子間の直線に沿いますか．全体を90度回して相対位置を $(- 2 a, a)$ にしたときの $U$ と比較してください．
等方な空間内の閉じた2粒子系として使えるモデルですか．

**［図：距離が同じで向きが異なる配置］**
粒子2を中心に粒子1の相対位置を (a，2a) から (−2a，a) へ90度回す．軸の向きは固定し，粒子間の線だけを描く．

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考え方 一様性と等方性を分ける．

$Δ x = x_{1} - x_{2}$ ， $Δ y = y_{1} - y_{2}$ とおくと

F_{1} = (- k Δ x, - 4 k Δ y), F_{2} = - F_{1}

となり，和は0．全体をずらしても差は変わらず， $U$ は不変．

力は $(- k a, - 8 k a)$ で，相対位置 $(a, 2 a)$ と成分の比が違い，平行ではない． $U$ は回転前が $17 k a^{2} / 2$ ，回転後が $4 k a^{2}$ ．同じ距離でも値は異なる．
使えない．一様だが等方でなく，逆向きの力でも作用線は一致しない．

確かめ：係数4を1に替えると $U = k {| r_{1} - r_{2} |}^{2} / 2$ で回転でも不変となり，力は粒子間の直線に沿う．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

直線上の同じ質量 $m$ の3粒子が， $U = A (x_{1} - 2 x_{2} + x_{3})^{2} / 2$ （ $A > 0$ ）を持つモデルを考えます．初期位置は $(0, a, 3 a)$ （ $a > 0$ ），速度はすべて0です．

$L$ から方程式を求め，力の和が0の理由を $U$ の対称性から説明してください．
$s = x_{1} - 2 x_{2} + x_{3}$ ， $Q = (x_{1} + x_{2} + x_{3}) / 3$ ， $d = x_{3} - x_{1}$ の方程式を作り，各粒子の位置を求めてください．

**［図：3粒子の初期配置］**
同じ質量の3粒子を，x₁=0，x₂=a，x₃=3a に置く．力や運動の答えは描かない．

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考え方 方程式の和と差で $s, Q, d$ の運動を分ける．

$L = m ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{x}}_{2}^{2} + {\dot{x}}_{3}^{2}) / 2 - A s^{2} / 2$ から

m {\ddot{x}}_{1} = - A s, m {\ddot{x}}_{2} = 2 A s, m {\ddot{x}}_{3} = - A s

となり，力の和は0．全体の変位 $ε$ に対して $s$ の変化は $ε - 2 ε + ε = 0$ ．一様性が力の和を0にする．

$\ddot{s} = - 6 A s / m$ ， $\ddot{Q} = \ddot{d} = 0$ ． $Ω = \sqrt{6 A / m}$ とおくと $s = a \cos Ω t$ ， $Q = 4 a / 3$ ， $d = 3 a$ ．逆に解けば $x_{1} = Q - d / 2 + s / 6$ ， $x_{2} = Q - s / 3$ ， $x_{3} = Q + d / 2 + s / 6$ なので

x_{1} = \frac{a}{6} (\cos Ω t - 1), x_{2} = \frac{a}{3} (4 - \cos Ω t), x_{3} = \frac{a}{6} (17 + \cos Ω t)

確かめ：(1) と初期状態を満たす．粒子1と3の力は同じ向きでも，全体の和は0である．

ポイント教える人へ

偏微分の負号と，全体の移動を確認してください．一様性と等方性を別々に問います．全体の力の和が0でも，2粒子の力が逆向きとは限りません．