対称性から組み立てる力学（発展）

対称性と保存則

著者：柚木芹香

問い

物体がどんなに複雑に動いても，変わらない量があります．前の章では，エネルギー，運動量，角運動量が保存することを，運動方程式から1つずつ確かめました．しかし，なぜこの3つなのでしょうか．保存する量は，ほかにもあるのでしょうか．そして，どんなときに保存しなくなるのでしょうか．

考えてみる

前の題材までに，すでに1つの例を見ています．自由な粒子のラグランジアン $\frac{1}{2} m v^{2}$ は位置によらないので，オイラー＝ラグランジュ方程式から $\partial L / \partial v = m v$ が一定になりました． $L$ がある座標によらないことは，その座標の向きに系をずらしても何も変わらない，という対称性です．対称性が，保存する量を生んでいるように見えます．これを一般の形にします．

一般化運動量

定義一般化運動量

一般化座標 $q_{i}$ に対して

p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}

を， $q_{i}$ の一般化運動量という．ラグランジアンが $q_{i}$ を含まないとき， $q_{i}$ を循環座標という．

オイラー＝ラグランジュ方程式は ${\dot{p}}_{i} = \partial L / \partial q_{i}$ と書けます．したがって，循環座標の一般化運動量は保存します． $L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) - U (r)$ のように中心からの距離だけによる位置エネルギーなら， $θ$ が循環座標で， $p_{θ} = m r^{2} \dot{θ}$ が保存します．第8章の面積速度一定（ケプラーの第2法則）は，これです．

時間の一様性とエネルギー

閉じた系では時間が一様なので，ラグランジアンは時刻 $t$ を直接含みません．このとき，運動に沿った $L$ の時間微分は

\frac{d L}{d t} = \sum_{i} (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\ddot{q}}_{i}) = \sum_{i} ({\dot{p}}_{i} {\dot{q}}_{i} + p_{i} {\ddot{q}}_{i}) = \frac{d}{d t} \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i}

です．2つ目の等号でオイラー＝ラグランジュ方程式 $\partial L / \partial q_{i} = {\dot{p}}_{i}$ を使いました．したがって次の量が保存します．

定理エネルギーの保存

ラグランジアンが時刻を直接含まないとき

E = \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} - L

は運動の間一定である．これを系のエネルギーという．

閉じた系 $L = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} v_{a}^{2} - U$ では， $\sum_{a} p_{a} \cdot v_{a} = \sum_{a} m_{a} v_{a}^{2}$ なので

E = \sum_{a} \frac{1}{2} m_{a} v_{a}^{2} + U

です．第1項を運動エネルギー $K$ と呼びます． $L = K - U$ で $U$ に負号を付けたのは，エネルギーが $K + U$ という和になるようにするためでした．第6章の力学的エネルギー保存は，時間の一様性の結果です．

空間の一様性と運動量

前の題材で，閉じた系の位置エネルギーは平行移動で変わらず， $\sum_{a} \partial U / \partial r_{a} = 0$ でした．各粒子のオイラー＝ラグランジュ方程式 ${\dot{p}}_{a} = - \partial U / \partial r_{a}$ （ $p_{a} = m_{a} v_{a}$ ）を足すと

\frac{d}{d t} \sum_{a} p_{a} = 0

です． $P = \sum_{a} m_{a} v_{a}$ を系の運動量といい，これが保存します．

空間の等方性と角運動量

閉じた系を，ある軸のまわりに小さな角 $δ φ$ だけ丸ごと回します．軸の向きの単位ベクトルを $n$ とすると，各粒子の位置と速度は

δ r_{a} = δ φ n \times r_{a}, δ v_{a} = δ φ n \times v_{a}

だけ変わります．空間が等方なら，このとき $L$ は変わりません． $L$ の変化を計算し，オイラー＝ラグランジュ方程式 $\partial L / \partial r_{a} = {\dot{p}}_{a}$ を使うと（数学の節）

0 = δ L = δ φ n \cdot \frac{d}{d t} \sum_{a} r_{a} \times p_{a}

となります．どの軸 $n$ についても成り立つので， $M = \sum_{a} r_{a} \times p_{a}$ が保存します．これが系の角運動量です．

**［図：対称性に対応する保存量］**
薄い粒子の集まりと濃い粒子の集まりは変換前後の同じ系．時刻のずらしは配置を変えず，平行移動と回転は系の形を保つ．それぞれE，運動量P，角運動量Mの保存に対応する．

ネーターの定理

ここまでの3つは，同じ形の定理の例です．

定理ネーターの定理

一般化座標の小さな変換 $q_{i} \to q_{i} + ε η_{i} (q, t)$ （ $ε$ は小さな定数）で，ラグランジアンの変化が全微分 $ε d Λ / d t$ になるとき（0でもよい）

Q = \sum_{i} p_{i} η_{i} - Λ

は運動の間一定である．

平行移動では $η$ は移動の向き，回転では $n \times r_{a}$ で，どちらも $Λ = 0$ です．証明は数学の節で行います． $Λ$ を許しておくと，次の4つ目の保存則も同じ形で扱えます．

ガリレイ変換と重心の運動

閉じた系を，小さな速度 $ε$ で動く慣性系から見ると，各粒子の位置は $r_{a} \to r_{a} - ε t$ と変わります．このとき $U$ は変わらず，運動エネルギーの部分は，前の題材で見たように全微分 $- \frac{d}{d t} (ε \cdot \sum_{a} m_{a} r_{a})$ だけ変わります（ $ε$ の2次は無視します）．ネーターの定理を当てはめると

\sum_{a} m_{a} r_{a} - P t = 一定

が得られます．全質量 $M = \sum_{a} m_{a}$ と重心 $R = \sum_{a} m_{a} r_{a} / M$ で書くと， $M R = P t + 一定$ ，つまり重心は等速直線運動をします．

ポイント時間と空間の対称性が生む保存量

時間の一様性 → エネルギー（1個）
空間の一様性 → 運動量（3成分）
空間の等方性 → 角運動量（3成分）
ガリレイの相対性 → 重心の等速運動（3成分）

合わせて10個．閉じた系では，相互作用の形によらずに，必ずこれらが保存する．

対称性が破れると

保存則は，対称性があるときにだけ成り立ちます．系が外から与えられた場の中にあると，対称性の一部が破れます．地表付近で $U = m g z$ の場の中にある物体では，鉛直方向にずらすと $U$ が変わるので，運動量の $z$ 成分は保存しません．水平方向の成分と，鉛直な軸のまわりの角運動量は保存します．場が時間とともに変わるなら，エネルギーも保存しません．

逆に，対称性だけでは相互作用の形 $U$ は決まりません．対称性が教えてくれるのは，どんな $U$ であっても成り立つ保存則までです． $U$ が万有引力なのか，ばねなのかは，自然を調べて決めるしかありません．

問いに戻る

エネルギー，運動量，角運動量が保存するのは，時間が一様で，空間が一様で等方だからです．ガリレイの相対性からは，重心の等速運動という4つ目の保存則も出てきて，閉じた系の保存量は合わせて10個あります．場の中の物体のように対称性が破れると，それに対応する保存則も成り立たなくなります．

ポイントここまでのまとめ

一般化運動量 $p_{i} = \partial L / \partial {\dot{q}}_{i}$ ． $L$ が $q_{i}$ を含まなければ $p_{i}$ が保存する．
ネーターの定理： $L$ が変換で全微分 $ε d Λ / d t$ しか変わらなければ， $\sum_{i} p_{i} η_{i} - Λ$ が保存する．
時間の一様性からエネルギー $E = \sum_{i} p_{i} {\dot{q}}_{i} - L = K + U$ ，空間の一様性から運動量 $P$ ，等方性から角運動量 $M$ ，ガリレイの相対性から重心の等速運動が出る．合わせて10個．
対称性が破れると，対応する保存則も破れる．対称性だけでは相互作用の形は決まらない．