対称性から組み立てる力学（発展）

小さな変換と保存量の計算

著者：柚木芹香

ネーターの定理の証明と，回転で角運動量が出てくる計算を確かめます．使うのは，オイラー＝ラグランジュ方程式と，外積の性質だけです．

定理数学の道具：ネーターの定理の証明

変換 $q_{i} \to q_{i} + ε η_{i} (q, t)$ で， ${\dot{q}}_{i}$ は ${\dot{q}}_{i} + ε {\dot{η}}_{i}$ に変わる（ ${\dot{η}}_{i}$ は運動に沿った $η_{i}$ の時間微分）． $ε$ について1次で

δ L = ε \sum_{i} (\frac{\partial L}{\partial q_{i}} η_{i} + \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} {\dot{η}}_{i}) = ε \sum_{i} ({\dot{p}}_{i} η_{i} + p_{i} {\dot{η}}_{i}) = ε \frac{d}{d t} \sum_{i} p_{i} η_{i}

2つ目の等号でオイラー＝ラグランジュ方程式を使った．これが $ε d Λ / d t$ に等しいので， $\frac{d}{d t} (\sum_{i} p_{i} η_{i} - Λ) = 0$ ．

証明の中でオイラー＝ラグランジュ方程式を使ったことに注意します．保存則は，実際の運動に沿ってだけ成り立ちます．

定理数学の道具：外積の3つの積

3つのベクトルについて $a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$ が成り立つ（順に回しても同じ）．また $a \times a = 0$ ．

回転の計算をします． $δ r_{a} = δ φ n \times r_{a}$ ， $δ v_{a} = δ φ n \times v_{a}$ のとき， $\partial L / \partial r_{a} = {\dot{p}}_{a}$ ， $\partial L / \partial v_{a} = p_{a}$ を使って

δ L = δ φ \sum_{a} [{\dot{p}}_{a} \cdot (n \times r_{a}) + p_{a} \cdot (n \times v_{a})] = δ φ n \cdot \sum_{a} (r_{a} \times {\dot{p}}_{a} + v_{a} \times p_{a})

です（3つの積を順に回しました）．かっこの中は $\frac{d}{d t} (r_{a} \times p_{a})$ です．これで本体の節の式が出ました．閉じた系では $p_{a} = m_{a} v_{a}$ なので $v_{a} \times p_{a} = 0$ ですが，この計算はそれを使わなくても成り立ちます．

練習1　 $L = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) - U (y)$ で保存する一般化運動量を答えよ．

練習2　 $L = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - U (x, t)$ で， $U$ が $t$ を含むとき， $E = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} + U$ の時間変化が $\partial U / \partial t$ に等しいことを示せ．

答え　練習1： $x$ が循環座標なので $p_{x} = m \dot{x}$ ．練習2： $d E / d t = m \dot{x} \ddot{x} + \partial U / \partial x \dot{x} + \partial U / \partial t$ ．方程式 $m \ddot{x} = - \partial U / \partial x$ から最初の2項が打ち消し合い， $d E / d t = \partial U / \partial t$ ．時間の一様性が破れた分だけ，エネルギーが変わる．

例題

例題 1

オリジナル ★★☆☆☆

平面上の質量 $m$ の粒子が，原点からの距離 $r$ だけで決まる位置エネルギー $U (r)$ の中を動く．

極座標でラグランジアンを書き，保存する一般化運動量を答えよ．
エネルギー $E$ を $r, \dot{r}$ と (1) の保存量 $p_{θ}$ で表し， $r$ の運動が1次元の運動と同じ形になることを示せ．

**［図：曲線運動の極座標と速度成分］**
例として曲がった軌跡上のPを描く．緑は動径方向の成分ṙ（この点では内向き），橙は反時計回りの成分rθ̇，青はその和の速度v．保存量の式は示していない．

解答を見る

考え方 $U$ は $θ$ を含まないので， $θ$ が循環座標．エネルギーの式から $\dot{θ}$ を消す．

$L = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2}) - U (r)$ ． $θ$ が循環座標なので， $p_{θ} = m r^{2} \dot{θ}$ が保存する．
$L$ は時刻を含まないので

E = p_{r} \dot{r} + p_{θ} \dot{θ} - L = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + \frac{1}{2} m r^{2} {\dot{θ}}^{2} + U (r)

$\dot{θ} = p_{θ} / (m r^{2})$ を代入すると

E = \frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + \frac{p_{θ}^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)

これは，位置エネルギー $U_{eff} (r) = \frac{p_{θ}^{2}}{2 m r^{2}} + U (r)$ の中を1次元で動く粒子のエネルギーと同じ形である．

確かめ：第10章の実効ポテンシャルと同じ式になる（第10章では角運動量を $L$ と書いた）．

例題 2

オリジナル ★★☆☆☆

地表付近（ $U = m g z$ ， $z$ は鉛直上向き）で，質量 $0.50 kg$ の小球を，原点から水平な $x$ 方向に $4.0 m s^{- 1}$ ，鉛直上向きに $3.0 m s^{- 1}$ の速度で投げた． $g = 9.8 m s^{- 2}$ とする．

10個の保存量のうち，この運動で保存するものをすべて挙げ，対応する対称性を答えよ．
投げた直後と $0.50 s$ 後で，運動量の $x$ 成分と $z$ 成分，エネルギーを求めて比べよ．

解答を見る

考え方 $U = m g z$ は，水平方向の平行移動，鉛直な軸のまわりの回転，時刻のずらしで変わらない．鉛直方向の平行移動と，水平な軸のまわりの回転では変わる．

時刻をずらしても $U$ は変わらないので，エネルギーが保存．水平に平行移動しても変わらないので，運動量の $x$ ， $y$ 成分が保存．鉛直な軸（ $z$ 軸）のまわりに回しても変わらないので，角運動量の $z$ 成分が保存．運動量の $z$ 成分と，角運動量の $x$ ， $y$ 成分は保存しない．重心の等速運動は，水平方向については成り立つ．
投げた直後： $p_{x} = 0.50 \times 4.0 = 2.0 kg m s^{- 1}$ ， $p_{z} = 0.50 \times 3.0 = 1.5 kg m s^{- 1}$ ， $E = \frac{1}{2} \times 0.50 \times ({4.0}^{2} + {3.0}^{2}) + 0 = 6.25 J$ ．

$0.50 s$ 後： $v_{z} = 3.0 - 9.8 \times 0.50 = - 1.9 m s^{- 1}$ ， $z = 3.0 \times 0.50 - 4.9 \times {0.50}^{2} = 0.275 m$ ． $p_{x} = 2.0 kg m s^{- 1}$ （同じ）， $p_{z} = 0.50 \times (- 1.9) = - 0.95 kg m s^{- 1}$ （変わった）．

E = \frac{1}{2} \times 0.50 \times ({4.0}^{2} + {1.9}^{2}) + 0.50 \times 9.8 \times 0.275 \approx 4.90 + 1.35 = 6.25 J

で同じ．

確かめ： $p_{z}$ の変化 $- 2.45 kg m s^{- 1}$ は $- m g \times 0.50 s$ に等しい．

例題 3

オリジナル ★★★☆☆

$z$ 軸を中心とするらせん状の場の中を，質量 $m$ の粒子が動く．位置エネルギーは，粒子を $z$ 軸のまわりに角 $α$ だけ回し，同時に $z$ 方向に $\frac{h}{2 π} α$ だけずらしても変わらない（ $h$ はらせんの1巻きのピッチ）．ただし，回すだけ，ずらすだけでは変わる．

このねじれた動かし方について，ネーターの定理の $η$ を書け．
保存する量を，角運動量の $z$ 成分 $M_{z}$ と運動量の $z$ 成分 $P_{z}$ で表せ．

解答を見る

考え方 小さな角 $ε$ だけ回してずらすと， $δ r = ε (e_{z} \times r + \frac{h}{2 π} e_{z})$ ． $L$ は変わらないので $Λ = 0$ ．

$η = e_{z} \times r + \frac{h}{2 π} e_{z}$ ．
保存量は

Q = p \cdot η = p \cdot (e_{z} \times r) + \frac{h}{2 π} p_{z} = e_{z} \cdot (r \times p) + \frac{h}{2 π} p_{z} = M_{z} + \frac{h}{2 π} P_{z}

確かめ： $M_{z}$ と $P_{z}$ は別々には保存しないが，この組み合わせは保存する．対称性があれば，それが見慣れたものでなくても，保存量が1つ見つかる． $h \to 0$ なら $z$ 軸のまわりの回転の対称性になり， $M_{z}$ の保存に戻る．

ポイントここまでのまとめ

ネーターの定理は，オイラー＝ラグランジュ方程式を使えば数行で証明できる．保存則は実際の運動に沿って成り立つ．
回転の計算では，外積の3つの積を順に回す性質を使う．
中心からの距離だけによる位置エネルギーでは $p_{θ} = m r^{2} \dot{θ}$ とエネルギーが保存し， $r$ の運動は実効ポテンシャルの中の1次元の運動になる．
場の中では，場が持つ対称性の分だけ保存量が残る．らせんのような見慣れない対称性からも保存量が出る．