対称性から組み立てる力学（発展）

空間と時間の対称性の演習

著者：柚木芹香

自由な粒子の $L$ を異なる座標で書き，停留経路を調べましょう．

演習 1

オリジナル ★☆☆☆☆

慣性系の平面内で，質量 $0.40 kg$ の自由な粒子の速度は $(v_{x}, v_{y}) = (3.0, - 4.0) m s^{- 1}$ です．軸を反時計回りに90度回して $x^{'} = y$ ， $y^{'} = - x$ とします．

新しい速度成分と，両座標での $L$ の値を求めてください．
$L$ が変わらないことは，どの対称性に対応しますか．

**［図：90度回した座標軸］**
x 軸は右向き，y 軸は上向き．新しい x′ 軸は上向き，y′ 軸は左向きである．同じ速度ベクトルを右下へ描く．

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考え方 変換を微分し，速度の2乗の和を比べる．

$(v_{x}^{'}, v_{y}^{'}) = (- 4.0, - 3.0) m s^{- 1}$ ．両方とも速さの2乗は25で， $L = 0.40 \times 25 / 2 = 5.0 J$ となる．
空間の等方性に対応する．速さは変わらない．

確かめ：逆変換で元の速度に戻る．軸の回転は加速ではない．

演習 2

オリジナル ★★☆☆☆

慣性系の自由な粒子の $L = m {\dot{x}}^{2} / 2$ を，原点が $X (t) = b \sin Ω t$ と動く，軸の向きが同じ座標系で書きます． $q = x - X (t)$ ， $b, Ω > 0$ とします．

$L$ を $q, \dot{q}, t$ で書き，運動方程式を求めてください．
$x (0) = x_{0}$ ， $\dot{x} (0) = u$ を満たす $q (t)$ を求め，新しい系が慣性系か判断してください．

**［図：動く原点と粒子の位置］**
固定原点 O から動く原点 O′ までが X(t)，O′ から P までが q である．O から P までの座標 x も示す．

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考え方 一定でない原点の速度も加える．

$\dot{x} = \dot{q} + b Ω \cos Ω t$ より

L = \frac{m}{2} (\dot{q} + b Ω \cos Ω t)^{2}

である． $\partial L / \partial q = 0$ ， $\partial L / \partial \dot{q} = m (\dot{q} + b Ω \cos Ω t)$ から， $\ddot{q} = b Ω^{2} \sin Ω t$ ．

慣性系では $x = x_{0} + u t$ なので $q = x_{0} + u t - b \sin Ω t$ ．等速に見えず，慣性系ではない．交差項は

m b Ω \dot{q} \cos Ω t = \frac{d}{d t} (m b Ω q \cos Ω t) + m b Ω^{2} q \sin Ω t

となり，全微分を除いても位置に依存する項が残る．時刻だけの項は全微分として除ける．

確かめ：解の2回微分は，原点の加速度 $\ddot{X}$ と逆符号である．

演習 3

オリジナル ★★☆☆☆

平面内の自由な粒子について，

L_{0} = \frac{m}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}), L_{1} = L_{0} + α \dot{x} + β \dot{y}

を比較します． $m > 0$ ， $α, β$ は定数で，最後の2項もエネルギーの次元を持ちます．

同じ運動を与えることを示してください．
$x^{'} = y$ ， $y^{'} = - x$ と軸を回し， $L_{1}$ を書き直してください．線形の項があっても等方性を失わない理由を説明してください．

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考え方 式の見た目と，選ばれる運動を区別する．

増えた項は $d (α x + β y) / d t$ ．方程式も $d (m \dot{x} + α) / d t = 0$ ， $d (m \dot{y} + β) / d t = 0$ から $\ddot{x} = \ddot{y} = 0$ で， $L_{0}$ と同じになる．
書き直すと $m ({\dot{x}}^{' 2} + {\dot{y}}^{' 2}) / 2 + β {\dot{x}}^{'} - α {\dot{y}}^{'}$ ．同じ形の $L_{1} (x^{'}, y^{'}, {\dot{x}}^{'}, {\dot{y}}^{'})$ との差は

(β - α) {\dot{x}}^{'} - (α + β) {\dot{y}}^{'} = \frac{d}{d t} [(β - α) x^{'} - (α + β) y^{'}]

である．作用の差は両端だけで決まり，同じ等速運動を選ぶ．

確かめ： $α = β = 0$ なら式そのものも回転で不変．

演習 4

オリジナル ★★★☆☆

自由粒子の候補 $L = (A {\dot{x}}^{2} + B {\dot{y}}^{2}) / 2$ を考えます． $A, B > 0$ は質量の次元を持ちます．

運動方程式を求め， $x = x^{'} + V_{x} t$ ， $y = y^{'} + V_{y} t$ による変化が全微分になることを示してください．
軸を90度回した場合も，同じ形の候補との差が全微分になるには，どの条件が要りますか．等速運動になることだけでその条件は決まりますか．

**［図：向きだけを変えた自由運動］**
同じ速さ u の運動を x 方向と y 方向に分けて描く．各方向の候補の係数 A，B を添える．作用の比較結果は示さない．

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考え方 各対称性を分けて調べる．

方程式は $A \ddot{x} = B \ddot{y} = 0$ で，等速になる．変換による差は

A V_{x} {\dot{x}}^{'} + B V_{y} {\dot{y}}^{'} + \frac{1}{2} (A V_{x}^{2} + B V_{y}^{2}) = \frac{d}{d t} [A V_{x} x^{'} + B V_{y} y^{'} + \frac{1}{2} (A V_{x}^{2} + B V_{y}^{2}) t]

で，全微分となる．これだけなら $A \neq B$ も許される．

回転後は $(A {\dot{y}}^{' 2} + B {\dot{x}}^{' 2}) / 2$ ．同じ形の候補との差は $(A - B) ({\dot{y}}^{' 2} - {\dot{x}}^{' 2}) / 2$ ．一方， $d F (x^{'}, y^{'}, t) / d t = F_{x^{'}} {\dot{x}}^{'} + F_{y^{'}} {\dot{y}}^{'} + F_{t}$ は速度について1次式なので，2次の項が消える $A = B$ が必要である．このとき $L = m v^{2} / 2$ になる．等速運動だけでは係数の等しさは決まらない．

確かめ：同じ速さ $u$ で時間 $T$ 進む2つの作用は $A u^{2} T / 2$ ， $B u^{2} T / 2$ ．等速でも，作用に向きの違いが残りうる．

演習 5

オリジナル ★★★☆☆

影響し合わない，十分離れた2粒子に対して候補

L_{κ} = \frac{m}{2} ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{x}}_{2}^{2}) + \frac{κ}{2} ({\dot{x}}_{1} - {\dot{x}}_{2})^{2} (m > 0, κ \geq 0)

を考えます． $m, κ$ は質量の次元を持ちます．

両粒子が等速になることを示してください．
同じ速度でガリレイ変換すると， $κ$ の項は変わりますか．
「影響し合わない系の $L$ は各粒子の $L$ の和」という条件も課すと， $κ$ はどうなりますか．この項を全微分として除けますか．

**［図：独立な2粒子の配置］**
十分離れた2粒子を x₁，x₂ に置く．初期速度はそれぞれ独立に選べる．粒子間の相互作用を示す線は付けない．

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考え方 方程式の和と差，加法性を調べる．

方程式は

(m + κ) {\ddot{x}}_{1} - κ {\ddot{x}}_{2} = 0, (m + κ) {\ddot{x}}_{2} - κ {\ddot{x}}_{1} = 0

である．和は $m ({\ddot{x}}_{1} + {\ddot{x}}_{2}) = 0$ ，差は $(m + 2 κ) ({\ddot{x}}_{1} - {\ddot{x}}_{2}) = 0$ なので，両加速度は0．

${\dot{x}}_{a} = {\dot{x}}_{a}^{'} + V$ では速度差も $κ$ の項も変わらない．残りの変化は $d [m V (x_{1}^{'} + x_{2}^{'}) + m V^{2} t] / d t$ である．
展開すると $- κ {\dot{x}}_{1} {\dot{x}}_{2}$ があり，各粒子だけの関数の和には分けられない．加法性から $κ = 0$ を選ぶ．交差項は速度について2次で，全微分としても除けない．

確かめ： $κ = 0$ で独立な2粒子の和に戻る．

ポイント教える人へ

変換，回転，加速する原点を区別し，全微分の自由も確認してください．★3では，相対性，等方性，加法性がそれぞれどの係数を制限したかを問います．